Həqiqi ədədlər fiziki dünyanı ölçmək üçün adətən istifadə etdiyimiz bütün dəyərləri - tam ədədlərdən sonsuz onluq kəsrlərə qədər - əhatə etsə də, kompleks ədədlər xəyali vahid $i$-ı təqdim etməklə bu üfüqü genişləndirir. Bu əlavə riyaziyyatçılara real həlli olmayan tənlikləri həll etməyə imkan verir və müasir fizika və mühəndislik üçün vacib olan ikiölçülü say sistemi yaradır.
Kəsilməz birölçülü ədəd xəttində tapıla bilən bütün rasional və irrasional ədədlər çoxluğu.
Ədədlər $a + bi$ şəklində ifadə olunur, burada $a$ və $b$ həqiqi, $i$ isə xəyali vahiddir.
| Xüsusiyyət | Həqiqi Ədədlər | Kompleks Ədədlər |
|---|---|---|
| Ümumi Forma | $x$ (burada $x$ istənilən real dəyərdir) | $a + bi$ (burada $i = \sqrt{-1}$) |
| Ölçülülük | 1D (Rəqəm Xətti) | 2D (Mürəkkəb Müstəvi) |
| Ədədin kvadratı | Həmişə mənfi olmayan ($x^2 \geq 0$) | Mənfi ola bilər (məsələn, $(2i)^2 = -4$) |
| Sifariş | Sifariş verilə bilər ($1 < 2 < 3$) | Standart "böyük" və ya "kiçik" əlaqəsi yoxdur |
| Komponentlər | Tamamilə real | Həqiqi hissə və xəyali hissə |
| Fiziki İntuisiya | Birbaşa ölçülə bilən kəmiyyətlər | Fırlanma, faza və salınımı təsvir edir |
Həqiqi ədədlər hər iki istiqamətdə sonsuzluğa qədər uzanan sadə, düz bir xətt üzərində yaşayır. Lakin mürəkkəb ədədlərin mövcud olması üçün bütün bir müstəvi tələb olunur; həqiqi hissə sizi sola və ya sağa, xəyali hissə isə sizi yuxarı və ya aşağıya doğru hərəkət etdirir. 1D-dən 2D-yə bu keçid mürəkkəb riyaziyyatı bu qədər güclü edən fundamental sıçrayışdır.
Yalnız real ədədlərdən istifadə edərək -9-un kvadrat kökünü tapmağa çalışsanız, çıxılmaz vəziyyətə düşəcəksiniz, çünki heç bir real ədədin özünə vurulması mənfi ədədlə nəticələnmir. Kompleks ədədlər bunu cavab olaraq $3i$ təyin etməklə həll edir. Mənfi kökləri idarə etmək qabiliyyəti elektronika və kvant mexanikasında riyazi modellərin mənfi ədədlərin kvadrat kökləri ilə qarşılaşdıqda sadəcə "qırılmamasını" təmin edir.
Real dünyada "ölçü" sadədir - 5 2-dən böyükdür. Mürəkkəb dünyada biz müstəvidəki başlanğıc nöqtəsindən (sıfır) məsafə kimi "böyüklük" və ya "mütləq dəyər"dən danışırıq. Kompleks ədədlər bir bucaq və məsafəni əhatə etdiyindən, onlar vektorlar kimi davranırlar və bu da onları alternativ cərəyanları və ya səs dalğalarını təhlil etmək üçün mükəmməl bir vasitəyə çevirir.
Bu iki qrupun tamamilə ayrı olduğunu düşünmək geniş yayılmış bir səhvdir. Əslində, hər bir real ədəd əslində xəyali hissəsi sıfır olan kompleks ədəddir ($a + 0i$). Həqiqi say sistemi sadəcə kompleks müstəvinin geniş, sonsuz okeanının içərisindəki müəyyən bir alt çoxluqdur - tək bir xətt.
Xəyali rəqəmlər real dünyada "real" və ya faydalı deyil.
Xoşagəlməz ada baxmayaraq, xəyali rəqəmlər real dünya texnologiyası üçün çox vacibdir. Onlardan hər gün elektrik şəbəkələrinin dizaynı, təyyarələrin sabitləşdirilməsi və smartfonunuzda rəqəmsal siqnalların emalı üçün istifadə olunur.
Bir ədəd ya həqiqi, ya da mürəkkəbdir, lakin heç vaxt hər ikisi deyil.
Bütün həqiqi ədədlər kompleks ədədlərdir. Əgər 5 ədədiniz varsa, onu 5 + 0i$ kimi yazmaq olar. Sadəcə sıfırın xəyali komponenti var.
Kompleks ədədlər sadəcə bir-birinə bağlı olan iki ayrı həqiqi ədəddir.
İki hissədən ibarət olsalar da, vurma və bölmə üçün sadə həqiqi ədəd cütlərinin əməl etmədiyi unikal qaydalara (məsələn, $i \times i = -1$) əməl edirlər. Onlar tək, əlaqəli riyazi varlıq kimi davranırlar.
Kompleks ədədlər riyaziyyatçıların darıxdığı üçün icad edilmişdir.
Əslində, onlar 16-cı əsrdə kub tənliklərini həll etmək üçün hazırlanmışdır. Riyaziyyatçılar hesablamalarının ortasında "xəyali" addımlardan keçmədən düzgün "real" cavabları əldə edə bilməyəcəklərini anladılar.
Gündəlik həyat, standart mühasibat uçotu və dəyərlərin sadə miqyasda mövcud olduğu əsas ölçmələr üçün real ədədlərdən istifadə edin. Çoxölçülü məsələlər, dalğa analizi və ya "fırlanma" və "faza"nın "miqdar" qədər vacib olduğu qabaqcıl mühəndislik ilə işləyərkən kompleks ədədlərə müraciət edin.
Arifmetik orta hər bir məlumat nöqtəsini yekun orta qiymətə bərabər töhfə verən kimi qəbul edir, çəkili orta isə müxtəlif dəyərlərə müəyyən əhəmiyyət səviyyələrini təyin edir. Bu fərqi anlamaq sadə sinif orta qiymətlərinin hesablanmasından tutmuş bəzi aktivlərin digərlərindən daha çox əhəmiyyət kəsb etdiyi mürəkkəb maliyyə portfellərinin müəyyən edilməsinə qədər hər şey üçün vacibdir.
Əsasən, hesab və həndəsi ardıcıllıqlar ədədlər siyahısını böyütməyin və ya kiçiltməyin iki fərqli yoludur. Arifmetik ardıcıllıq toplama və ya çıxma zamanı sabit, xətti tempdə dəyişir, həndəsi ardıcıllıq isə vurma və ya bölmə zamanı eksponensial olaraq sürətlənir və ya yavaşlayır.
Bucaq və maillik xəttin "dikliyini" kəmiyyətcə göstərir, lakin onlar fərqli riyazi dillərdə danışırlar. Bucaq iki kəsişən xətt arasındakı dairəvi fırlanmanı dərəcə və ya radianla ölçsə də, maillik üfüqi "axışa" nisbətən şaquli "qalxmanı" ədədi nisbət kimi ölçür.
Cəbr mücərrəd əməliyyat qaydalarına və naməlumları həll etmək üçün simvolların manipulyasiyasına diqqət yetirsə də, həndəsə fəzanın fiziki xüsusiyyətlərini, o cümlədən fiqurların ölçüsünü, formasını və nisbi mövqeyini araşdırır. Birlikdə, onlar riyaziyyatın əsasını təşkil edir və məntiqi əlaqələri vizual strukturlara çevirir.
Bu müqayisə cüt və tək ədədlər arasındakı fərqləri aydınlaşdırır, hər bir növün necə təyin olunduğunu, əsas hesablamalarda necə davrandığını və tam ədədləri 2-yə bölünmə və sayma ilə hesablamalardakı nümunələrə əsasən təsnif etməyə kömək edən ümumi xüsusiyyətləri göstərir.
