Faktoriallar və dərəcələr həm sürətli ədədi artımla nəticələnən riyazi əməliyyatlardır, lakin onlar fərqli şəkildə miqyaslanırlar. Faktorial müstəqil tam ədədlərin azalan ardıcıllığını vurur, dərəcə isə eyni sabit əsasın təkrar vurulmasını tələb edir və bu da funksiyalarda və ardıcıllıqlarda fərqli sürətlənmə sürətlərinə səbəb olur.
1-dən müəyyən bir n ədədinə qədər bütün müsbət tam ədədlərin hasili.
Əsas ədədin özünə müəyyən sayda dəfə vurulması prosesi.
| Xüsusiyyət | Faktorial | Eksponent |
|---|---|---|
| Notasiya | n! | b^n |
| Əməliyyat növü | Vurmanın azalması | Sabit vurma |
| Artım tempi | Super-eksponensial (Daha sürətli) | Eksponensial (Yavaş) |
| Domen | Adətən mənfi olmayan tam ədədlər | Həqiqi və kompleks ədədlər |
| Əsas Məna | Əşyaların düzülməsi | Miqyaslandırma/Böyütmə |
| Sıfır Dəyər | 0! = 1 | b^0 = 1 |
Bir göstəricini sabit, yüksək sürətli qatar kimi düşünün; əgər $2^n$-ınız varsa, hər addımda ölçüsü ikiqat artırırsınız. Faktorial daha çox yüksəldikcə əlavə yanacaq qazanan raketə bənzəyir; hər addımda əvvəlki addımdan daha böyük bir ədədə vurursunuz. $2^4$ 16 olduğu halda, $4!$ 24-dür və rəqəmlər artdıqca aralarındakı boşluq kəskin şəkildə artır.
$5^3$ kimi eksponensial ifadədə 5 rəqəmi şounun "ulduzu"dur və üç dəfə görünür ($5 \times 5 \times 5$). $5!$ kimi faktorialda 1-dən 5-ə qədər hər tam ədəd iştirak edir ($5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$). Faktorialdakı "vurucu" n artdıqca artdığı üçün, eksponentin əsasının nə qədər böyük olmasından asılı olmayaraq, faktoriallar nəticədə istənilən eksponensial funksiyanı üstələyir.
Eksponentlər mövcud ölçülərinə əsasən dəyişən sistemləri təsvir edir, buna görə də virusun şəhərdə necə yayıldığını izləmək üçün mükəmməldirlər. Faktoriallar seçim və nizam məntiqini təsvir edir. Əgər 10 fərqli kitabınız varsa, faktorial onları rəfə düzməyin 3.628.800 fərqli yolunun olduğunu göstərir.
Kompüter elmində biz bunlardan bir alqoritmin işləmə müddətini ölçmək üçün istifadə edirik. "Eksponensial zaman" alqoritmi böyük verilənlər üçün çox yavaş və səmərəsiz hesab olunur. Lakin, "faktorial zaman" alqoritmi xeyli pisdir və giriş ölçüsü cəmi bir neçə düzünə çatdıqdan sonra hətta müasir superkompüterlərin belə həll etməsi çox vaxt qeyri-mümkün olur.
100^n kimi böyük eksponent həmişə n!-dən böyük olacaq.
Bu yalandır. $100^n$ daha böyük başlasa da, nəticədə faktorialdakı n-in dəyəri 100-ü keçəcək. n kifayət qədər böyük olduqda, faktorial həmişə eksponenti ötəcək.
Faktoriallar yalnız kiçik ədədlər üçün istifadə olunur.
Onları kiçik tənzimləmələr üçün istifadə etsək də, onlar yüksək səviyyəli fizikada (Statistik Mexanika) və milyardlarla dəyişəni əhatə edən mürəkkəb ehtimal nəzəriyyəsində çox vacibdir.
Mənfi ədədlərin dərəcələri olduğu kimi faktorialları da var.
Standart faktoriallar mənfi tam ədədlər üçün təyin olunmayıb. "Qamma Funksiyası" bu anlayışı digər ədədlərə də şamil etsə də, (-3) kimi sadə faktorial əsas riyaziyyatda mövcud deyil.
0! = 0, çünki siz heç nəyə vurursunuz.
0-un 0 olduğunu düşünmək geniş yayılmış bir səhvdir. Boş çoxluğu düzməyin tam bir yolu olduğu üçün 1 olaraq təyin olunur: heç bir düzənliyin olmaması.
Zamanla təkrarlanan artım və ya azalma ilə qarşılaşdığınız zaman eksponentlərdən istifadə edin. Fərqli elementlər dəstini sifariş etməyin, düzməyin və ya birləşdirməyin ümumi yollarının sayını hesablamaq lazım olduqda faktoriallardan istifadə edin.
Arifmetik orta hər bir məlumat nöqtəsini yekun orta qiymətə bərabər töhfə verən kimi qəbul edir, çəkili orta isə müxtəlif dəyərlərə müəyyən əhəmiyyət səviyyələrini təyin edir. Bu fərqi anlamaq sadə sinif orta qiymətlərinin hesablanmasından tutmuş bəzi aktivlərin digərlərindən daha çox əhəmiyyət kəsb etdiyi mürəkkəb maliyyə portfellərinin müəyyən edilməsinə qədər hər şey üçün vacibdir.
Əsasən, hesab və həndəsi ardıcıllıqlar ədədlər siyahısını böyütməyin və ya kiçiltməyin iki fərqli yoludur. Arifmetik ardıcıllıq toplama və ya çıxma zamanı sabit, xətti tempdə dəyişir, həndəsi ardıcıllıq isə vurma və ya bölmə zamanı eksponensial olaraq sürətlənir və ya yavaşlayır.
Bucaq və maillik xəttin "dikliyini" kəmiyyətcə göstərir, lakin onlar fərqli riyazi dillərdə danışırlar. Bucaq iki kəsişən xətt arasındakı dairəvi fırlanmanı dərəcə və ya radianla ölçsə də, maillik üfüqi "axışa" nisbətən şaquli "qalxmanı" ədədi nisbət kimi ölçür.
Cəbr mücərrəd əməliyyat qaydalarına və naməlumları həll etmək üçün simvolların manipulyasiyasına diqqət yetirsə də, həndəsə fəzanın fiziki xüsusiyyətlərini, o cümlədən fiqurların ölçüsünü, formasını və nisbi mövqeyini araşdırır. Birlikdə, onlar riyaziyyatın əsasını təşkil edir və məntiqi əlaqələri vizual strukturlara çevirir.
Bu müqayisə cüt və tək ədədlər arasındakı fərqləri aydınlaşdırır, hər bir növün necə təyin olunduğunu, əsas hesablamalarda necə davrandığını və tam ədədləri 2-yə bölünmə və sayma ilə hesablamalardakı nümunələrə əsasən təsnif etməyə kömək edən ümumi xüsusiyyətləri göstərir.
