Riyazi əksliklər kimi görünsələr də, diferensial və inteqral hesablamalar əslində eyni sikkənin iki tərəfidir. Diferensial hesablama, avtomobilin ani sürəti kimi müəyyən bir anda şeylərin necə dəyişdiyinə diqqət yetirir, inteqral hesablama isə ümumi nəticəni, məsələn, qət edilən ümumi məsafəni tapmaq üçün bu kiçik dəyişiklikləri cəmləyir.
Müəyyən nöqtələrdə dəyişiklik sürətlərinin və əyrilərin yamaclarının öyrənilməsi.
Əyri altında yığılmanın və ümumi sahənin və ya həcmin öyrənilməsi.
| Xüsusiyyət | Diferensial Hesablama | İnteqral Hesablama |
|---|---|---|
| Əsas Məqsəd | Dəyişiklik sürətini tapmaq | Ümumi yığımı tapmaq |
| Qrafik Təqdimat | Tangens xəttinin yamacı | Əyri altındakı sahə |
| Əsas Operator | Törəmə (d/dx) | İnteqral (∫) |
| Fizika Analogiyası | Mövqedən sürəti tapmaq | Sürətdən mövqe tapmaq |
| Mürəkkəblik Trendi | Adətən alqoritmik və sadə | Çox vaxt yaradıcı əvəzetmə və ya hissələr tələb olunur |
| Funksiya Dəyişikliyi | Bir funksiyanı parçalayır | Bir funksiya qurur |
Diferensial hesablama, əsasən, riyaziyyat üçün bir "mikroskop"dur və dəyişənin həmin anda necə davrandığını görmək üçün tək bir nöqtəni yaxınlaşdırır. Bunun əksinə olaraq, inteqral hesablama, ümumi dəyəri aşkar etmək üçün saysız-hesabsız kiçik hissələri birləşdirərək böyük mənzərəyə baxan bir "teleskop" kimi işləyir. Biri prosesin sürətini tapmaq üçün parçalayır, digəri isə səyahətin uzunluğunu tapmaq üçün bu sürətləri tərtib edir.
Vizual olaraq, bu iki sahə fərqli həndəsi problemləri həll edir. Qrafikdə əyri xəttə baxdığınız zaman, diferensiasiya xəttin istənilən konkret koordinatada nə qədər əyilmiş olduğunu dəqiq göstərir. İnteqrasiya əyilməni nəzərə almır və əvəzində həmin əyri ilə üfüqi ox arasında qalan boşluğu ölçür. Bu, dağın yamacının bucağını bilməklə dağdakı qayanın ümumi həcmini bilmək arasındakı fərqdir.
Riyazi olaraq bu iki dünyanı birləşdirən və onların tərs əməliyyatlar olduğunu sübut edən Riyazi Hesablamanın Əsas Teoremidir. Bir funksiyanı fərqləndirib sonra nəticəni inteqrallasanız, çıxmanın toplama əməliyyatını necə ləğv etdiyi kimi, başlanğıc nöqtənizə qayıdırsınız. Bu fərqləndirmə hesablamanı iki ayrı həndəsi tapmacadan müasir elm üçün vahid, güclü bir vasitəyə çevirdi.
Əksər tələbələr və mühəndislər üçün diferensiasiya, həll yoluna çatmaq üçün güc və ya zəncir qaydası kimi müəyyən edilmiş düsturları izlədiyiniz "qayda əsaslı" bir tapşırıqdır. İnteqrasiya daha çox sənət forması kimi tanınır. Bir çox funksiyanın sadə "tərs" yolu olmadığı üçün inteqralların həlli tez-tez u-əvəzləmə və ya hissələrlə inteqrasiya kimi ağıllı üsullar tələb edir ki, bu da onu duonun daha çətin yarısına çevirir.
İnteqrasiya sadəcə "daha çətin" fərqləndirmədir.
İnteqrallama həlli çox vaxt daha mürəkkəb olsa da, cəmləmənin fərqli bir məntiqi prosesidir. Bu, sadəcə eyni şeyin çətin bir versiyası deyil; yığılma ilə bağlı tamamilə fərqli bir suala cavab verir.
İstənilən funksiya üçün həmişə dəqiq bir inteqral tapa bilərsiniz.
Əslində, bir çox sadə görünən funksiyaların "elementar" inteqralı yoxdur. Bu hallarda riyaziyyatçılar təxmini cavab tapmaq üçün ədədi metodlardan istifadə etməlidirlər, halbuki demək olar ki, istənilən standart funksiya fərqləndirilə bilər.
İnteqralın sonundakı '+ C' işarəsinin əslində heç bir əhəmiyyəti yoxdur.
Bu sabit vacibdir, çünki bir funksiyanı fərqləndirdikdə istənilən müstəqil ədəd sıfıra çevrilir. İnteqrallama zamanı həmin 'C'-ni geri əlavə etməsəniz, mümkün orijinal funksiyaların bütöv bir ailəsini itirirsiniz.
Riyazi hesablama yalnız yüksək səviyyəli fizika üçün istifadə olunur.
Sığorta haqlarınızı təyin edən alqoritmlərdən tutmuş video oyunlarda qrafika göstərən proqram təminatına qədər riyazi hesablamalar hər yerdə mövcuddur. Zamanla bir şey dəyişərsə, riyazi hesablamalar da çox güman ki, bu məsələdə iştirak edir.
Sistemi optimallaşdırmaq və ya dəqiq sürət sürətini tapmaq lazım olduqda diferensial hesablamanı seçin. Dəyərlərin daim dəyişdiyi cəmləri, sahələri və ya həcmləri hesablamaq lazım olduqda inteqral hesablamaya müraciət edin.
Arifmetik orta hər bir məlumat nöqtəsini yekun orta qiymətə bərabər töhfə verən kimi qəbul edir, çəkili orta isə müxtəlif dəyərlərə müəyyən əhəmiyyət səviyyələrini təyin edir. Bu fərqi anlamaq sadə sinif orta qiymətlərinin hesablanmasından tutmuş bəzi aktivlərin digərlərindən daha çox əhəmiyyət kəsb etdiyi mürəkkəb maliyyə portfellərinin müəyyən edilməsinə qədər hər şey üçün vacibdir.
Əsasən, hesab və həndəsi ardıcıllıqlar ədədlər siyahısını böyütməyin və ya kiçiltməyin iki fərqli yoludur. Arifmetik ardıcıllıq toplama və ya çıxma zamanı sabit, xətti tempdə dəyişir, həndəsi ardıcıllıq isə vurma və ya bölmə zamanı eksponensial olaraq sürətlənir və ya yavaşlayır.
Bucaq və maillik xəttin "dikliyini" kəmiyyətcə göstərir, lakin onlar fərqli riyazi dillərdə danışırlar. Bucaq iki kəsişən xətt arasındakı dairəvi fırlanmanı dərəcə və ya radianla ölçsə də, maillik üfüqi "axışa" nisbətən şaquli "qalxmanı" ədədi nisbət kimi ölçür.
Cəbr mücərrəd əməliyyat qaydalarına və naməlumları həll etmək üçün simvolların manipulyasiyasına diqqət yetirsə də, həndəsə fəzanın fiziki xüsusiyyətlərini, o cümlədən fiqurların ölçüsünü, formasını və nisbi mövqeyini araşdırır. Birlikdə, onlar riyaziyyatın əsasını təşkil edir və məntiqi əlaqələri vizual strukturlara çevirir.
Bu müqayisə cüt və tək ədədlər arasındakı fərqləri aydınlaşdırır, hər bir növün necə təyin olunduğunu, əsas hesablamalarda necə davrandığını və tam ədədləri 2-yə bölünmə və sayma ilə hesablamalardakı nümunələrə əsasən təsnif etməyə kömək edən ümumi xüsusiyyətləri göstərir.
