یہ موازنہ صحیح اعداد اور ناطق اعداد کے درمیان ریاضیاتی فرق کی وضاحت کرتا ہے، جس میں ہر عدد کی قسم کی تعریف، وسیع عددی نظام میں ان کے تعلقات، اور ان حالات کو دکھایا گیا ہے جہاں عددی قدروں کی وضاحت کے لیے ایک درجہ بندی دوسری سے زیادہ موزوں ہوتی ہے۔
مکمل اعداد جن میں منفی، صفر اور مثبت شامل ہوں اور ان میں کسریں یا اعشاریہ نہ ہوں۔
ایسے اعداد جو دو صحیح اعداد کے کسروں کی صورت میں لکھے جا سکیں جن کا ہار صفر نہ ہو۔
| خصوصیت | مکمل عدد | عقلانی |
|---|---|---|
| تعریف | مکمل عدد بغیر حصوں کے | دو صحیح اعداد کا جزو |
| علامتی سیٹ | ℤ (صحیح اعداد) | ناطق اعداد |
| کیا اس میں انٹیجرز شامل ہیں؟ | جی ہاں (یہ صحیح اعداد ہیں) | جی ہاں (تمام صحیح اعداد شامل ہیں) |
| غیر صحیح کسرات شامل ہیں | نہیں | ہاں |
| اعشاری نمائندگی | جزوی/اعشاری حصہ نہیں | بار بار ہو سکتا ہے یا ختم ہونے والا |
| عام طور پر استعمال ہونے والی فارمیں | …،-2، -1، 0، 1، 2،… | ب/a جہاں a ≠ 0 |
| مثال | -5، 0، 7 | ۱/۳، ۴.۵، -۲/۵ |
مکمل صحیح اعداد بغیر کسی جزوی جز کے ہوتے ہیں، جن میں تمام منفی اعداد، صفر اور مثبت اعداد شامل ہیں۔ ناطق اعداد ایسے کسی بھی عدد پر مشتمل ہوتے ہیں جو ایک صحیح عدد کو کسی غیر صفر صحیح عدد سے تقسیم کرنے پر حاصل ہو سکتا ہے، یعنی ناطق اعداد میں صحیح اعداد بھی شامل ہوتے ہیں جب کہ مقسوم علیہ ایک ہو۔
اعداد صحیح معقول اعداد کا ایک ذیلی مجموعہ بناتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ہر عدد صحیح ایک معقول عدد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے اگر اسے ایک کے ہار سے کسری شکل میں لکھا جائے۔ معقول اعداد میں غیر صحیح کسریں بھی شامل ہوتی ہیں، جو مجموعے کو صرف مکمل اقدار سے آگے بڑھاتی ہیں۔
ایک عدد کبھی بھی جزوی یا اعشاریہ حصہ نہیں رکھتا، اس لیے اس کی اعشاریہ اظہار فوراً ختم ہو جاتا ہے۔ ناطق اعداد اعشاریہ کی صورت میں آ سکتے ہیں جو یا تو ختم ہو جاتے ہیں یا کسی نمونے کو دہراتے ہیں، کیونکہ ایک عدد کو دوسرے عدد سے تقسیم کرنے سے ایک پیش گوئی کے قابل اعشاریہ پھیلاؤ حاصل ہوتا ہے۔
اعداد صحیح عام طور پر گنتی، قدموں اور ان صورتوں میں استعمال ہوتے ہیں جہاں جزوی اقدار کی ضرورت نہیں ہوتی۔ ناطق اعداد پورے کے حصوں، تناسب، نسبتوں اور ان پیمائشوں کو بیان کرنے میں مفید ہوتے ہیں جن میں جزوی اجزاء شامل ہوتے ہیں۔
اعداد صحیح اور ناطق اعداد مکمل طور پر الگ زمرے ہیں۔
اعداد صحیح معقول اعداد کا ایک ذیلی گروپ ہیں، کیونکہ کوئی بھی صحیح عدد ایک کے ہار سے ایک کسر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جس سے ہر صحیح عدد ایک معقول عدد بھی بن جاتا ہے۔
منطقی اعداد صرفاً کسروں پر مشتمل ہونے چاہئیں۔
منطقی اعداد میں کسر شامل ہیں، لیکن ان میں صحیح اعداد بھی شامل ہیں کیونکہ صحیح عدد ایک منطقی عدد ہوتا ہے جب اسے ایک کے ہار سے کسر کی شکل میں لکھا جائے۔
منطقی اعداد ہمیشہ لامتناہی اعشاریہ پیدا کرتے ہیں۔
کچھ ناطق اعداد لامحدود دہراتے ہوئے اعشاریے پیدا کرتے ہیں، لیکن کچھ دوسرے اعداد ایسے اعشاریے پیدا کرتے ہیں جو مخصوص ہندسوں کے بعد ختم ہو جاتے ہیں، یہ نسب نما پر منحصر ہوتا ہے۔
اعداد صحیح کوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتے ہیں۔
اعداد صحیح میں کسریں یا اعشاریہ شامل نہیں ہو سکتے؛ صرف مکمل اقدار جن میں کوئی کسری جزو نہ ہو، اعداد صحیح کہلاتے ہیں۔
عدد کے لیے 'integer' کا لفظ استعمال کریں جب آپ خاص طور پر بغیر کسروں کے مکمل اعداد کی بات کر رہے ہوں۔ 'rational' کا لفظ استعمال کریں جب آپ ایسے اعداد کی وضاحت کرنا چاہیں جو کسروں یا اعشاریوں پر مشتمل ہوں جو صحیح اعداد کے تناسب سے بیان کیے جاتے ہیں۔
جبکہ اسکیلرز اور ویکٹر دونوں ہمارے اردگرد کی دنیا کی مقدار درست کرتے ہیں، بنیادی فرق ان کی پیچیدگی میں ہے۔ اسکیلر طول و عرض کی ایک سادہ پیمائش ہے، جب کہ ایک ویکٹر اس سائز کو ایک مخصوص سمت کے ساتھ جوڑتا ہے، جو اسے جسمانی خلا میں حرکت اور قوت کو بیان کرنے کے لیے ضروری بناتا ہے۔
جبکہ حقیقی اعداد ان تمام اقدار کو گھیرے ہوئے ہیں جنہیں ہم عام طور پر طبعی دنیا کی پیمائش کے لیے استعمال کرتے ہیں—پورے عدد سے لے کر لامحدود اعشاریہ تک—پیچیدہ اعداد خیالی اکائی $i$ کو متعارف کروا کر اس افق کو بڑھاتے ہیں۔ یہ اضافہ ریاضی دانوں کو ان مساواتوں کو حل کرنے کی اجازت دیتا ہے جن کا کوئی حقیقی حل نہیں ہے، جس سے ایک دو جہتی نمبر کا نظام تشکیل پاتا ہے جو جدید طبیعیات اور انجینئرنگ کے لیے ضروری ہے۔
جب کہ الجبرا عمل کے تجریدی اصولوں اور نامعلوم کو حل کرنے کے لیے علامتوں کی ہیرا پھیری پر توجہ مرکوز کرتا ہے، جیومیٹری خلا کی طبعی خصوصیات کو دریافت کرتی ہے، بشمول سائز، شکل، اور اعداد و شمار کی رشتہ دار پوزیشن۔ ایک ساتھ مل کر، وہ ریاضی کی بنیاد بناتے ہیں، منطقی تعلقات کو بصری ڈھانچے میں ترجمہ کرتے ہیں۔
امکان اور اعدادوشمار ایک ہی ریاضی کے سکے کے دو رخ ہیں، جو مخالف سمتوں سے آنے والی غیر یقینی صورتحال سے نمٹتے ہیں۔ اگرچہ امکان معلوم ماڈلز کی بنیاد پر مستقبل کے نتائج کے امکان کی پیشین گوئی کرتا ہے، اعداد و شمار ان ماڈلز کی تعمیر یا تصدیق کے لیے ماضی کے ڈیٹا کا تجزیہ کرتے ہیں، بنیادی سچائی کو تلاش کرنے کے لیے مشاہدات سے پیچھے ہٹ کر مؤثر طریقے سے کام کرتے ہیں۔
اگرچہ اکثر آرام دہ گفتگو میں ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے، امکان اور مشکلات واقعہ کے امکان کو ظاہر کرنے کے دو مختلف طریقوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ امکان سازگار نتائج کی تعداد کا موازنہ امکانات کی کل تعداد سے کرتا ہے، جب کہ مشکلات موافق نتائج کی تعداد کا موازنہ براہ راست غیر موافق نتائج کی تعداد سے کرتی ہیں۔
