पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ विरुद्ध आकारमान
त्रिमितीय वस्तूंचे प्रमाण मोजण्यासाठी पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आणि आकारमान हे दोन प्राथमिक मापदंड वापरले जातात. पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ एखाद्या वस्तूच्या बाह्य चेहऱ्यांचा एकूण आकार मोजते - मूलतः त्याची 'त्वचा' - तर आकारमान वस्तूमध्ये असलेल्या त्रिमितीय जागेचे प्रमाण किंवा तिची 'क्षमता' मोजते.
ठळक मुद्दे
- पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 'रॅपर' इतके आहे; आकारमान 'भरणे' इतके आहे.
- वस्तू मोठ्या होत असताना त्यांचे आकारमान पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळापेक्षा वेगाने वाढते.
- पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची एकके नेहमी वर्गात असतात, तर आकारमानाची एकके नेहमी घनात असतात.
- दिलेल्या आकारमानाच्या तुलनेत गोलाचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्वात लहान असते.
पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काय आहे?
त्रिमितीय वस्तूच्या सर्व बाह्यमुखी पृष्ठभागांच्या क्षेत्रफळांची एकूण बेरीज.
- जरी ते त्रिमितीय वस्तूचे वर्णन करत असले तरी ते द्विमितीय मापन आहे.
- चौरस मीटर ($m^2$) किंवा चौरस इंच ($in^2$) सारख्या चौरस एककांमध्ये मोजले जाते.
- प्रत्येक चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधून आणि त्यांना एकत्र जोडून गणना केली जाते.
- एखाद्या वस्तूला झाकण्यासाठी किती साहित्य आवश्यक आहे हे ठरवते, जसे की रंग किंवा रॅपिंग पेपर.
- आकाराच्या पोताची जटिलता वाढल्याने आकारमान न बदलता पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ वाढते.
खंड काय आहे?
एखादी वस्तू किती त्रिमितीय जागा व्यापते किंवा ती किती धारण करू शकते.
- हे एक त्रिमितीय मापन आहे जे वस्तूच्या मोठ्या प्रमाणाचे प्रतिनिधित्व करते.
- क्यूबिक सेंटीमीटर ($cm^3$) किंवा लिटर ($L$) सारख्या क्यूबिक युनिट्समध्ये मोजले जाते.
- मूलभूत आकारांसाठी तीन परिमाणे (लांबी, रुंदी आणि उंची) गुणाकार करून गणना केली जाते.
- कंटेनरमध्ये किती सामावून घेता येईल हे ठरवते, जसे की टाकीतील पाणी किंवा फुग्यातील हवा.
- जेव्हा एखादी वस्तू आकारात बदलली जाते तेव्हा ती स्थिर राहते, जर कोणतेही साहित्य जोडले किंवा काढले नाही.
तुलना सारणी
| वैशिष्ट्ये | पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ | खंड |
|---|---|---|
| परिमाण | २डी (पृष्ठभाग) | 3D (स्पेस) |
| ते काय मोजते | बाह्य सीमा / बाह्य सीमा | अंतर्गत क्षमता / मोठ्या प्रमाणात |
| मानक युनिट्स | $मी^२, फूट^२, सेमी^२$ | $मी^३, फूट^३, सेमी^३, एल$ |
| भौतिक उपमा | बॉक्स रंगवणे | वाळूने पेटी भरणे |
| घन सूत्र | $६से^२$ | $s^3$ |
| गोल सूत्र | $४\पाई आर^२$ | $\frac{4}{3}\pi r^3$ |
| स्केलिंग प्रभाव | स्केलच्या वर्गाने वाढते | स्केलच्या घनाने वाढते |
तपशीलवार तुलना
लिफाफा विरुद्ध आतील भाग
सोडा कॅनचा विचार करा. पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे कॅन तयार करण्यासाठी लागणारे अॅल्युमिनियमचे प्रमाण आणि त्याभोवती गुंडाळलेले लेबल. तथापि, आकारमान म्हणजे कॅनमध्ये साठवता येणारे द्रवपदार्थाचे वास्तविक प्रमाण.
स्क्वेअर-क्यूब कायदा
गणित आणि जीवशास्त्रातील सर्वात महत्त्वाचा संबंध म्हणजे एखादी वस्तू वाढत असताना तिचे आकारमान तिच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळापेक्षा खूप वेगाने वाढते. जर तुम्ही घनाचा आकार दुप्पट केला तर तुमच्याकडे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ चार पट असते परंतु आकारमान आठ पट असते. यावरूनच लहान प्राणी मोठ्या प्राण्यांपेक्षा उष्णता लवकर का गमावतात हे स्पष्ट होते - त्यांच्या 'आतल्या' तुलनेत त्यांची 'त्वचा' जास्त असते.
गणना पद्धती
पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्ही सामान्यतः 3D आकाराला 2D सपाट रेखाचित्रात 'उलगडता' ज्याला नेट म्हणतात आणि त्या सपाट तुकड्यांचे क्षेत्रफळ काढता. आकारमानासाठी, तुम्ही सामान्यतः बेसचे क्षेत्रफळ वस्तूच्या उंचीने गुणाकार करता, ज्यामुळे 2D बेस संपूर्ण तिसऱ्या परिमाणात प्रभावीपणे 'स्टॅक' होतो.
व्यावहारिक औद्योगिक उपयोग
रेडिएटर्स किंवा कूलिंग फिन डिझाइन करताना अभियंते पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पाहतात कारण जास्त पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ उष्णता जलद बाहेर पडू देते. दुसरीकडे, इंधन टाक्या किंवा शिपिंग कंटेनर डिझाइन करताना ते एकाच ट्रिपमध्ये जास्तीत जास्त उत्पादन वाहून नेण्यासाठी आकारमान पाहतात.
गुण आणि दोष
पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ
गुणदोष
- +उष्णता विनिमयासाठी आवश्यक
- +साहित्याचा खर्च ठरवते
- +वायुगतिकीसाठी उपयुक्त
- +घर्षणाशी संबंधित
संरक्षित केले
- −वक्र आकारांसाठी कॉम्प्लेक्स
- −वजन दर्शवत नाही.
- −गणना त्रुटींचे संयोजन
- −क्षेत्रासह सहज गोंधळलेले
खंड
गुणदोष
- +एकूण क्षमता दर्शवते
- +वस्तुमानाशी थेट संबंधित आहे
- +प्रिझमसाठी सोपी सूत्रे
- +आकार बदलताना स्थिर
संरक्षित केले
- −एकके गोंधळात टाकणारी असू शकतात (L विरुद्ध cm³)
- −पोकळी मोजणे कठीण
- −तीन परिमाणे आवश्यक आहेत
- −थंड होण्याचा दर दाखवत नाही.
सामान्य गैरसमजुती
जर दोन वस्तूंचे आकारमान समान असेल तर त्यांचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान असेल.
हा एक सामान्य गैरसमज आहे. तुम्ही मातीचा गोळा (निश्चित आकारमानाचा) घेऊन तो पातळ पत्र्यात सपाट करू शकता, ज्यामुळे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोठ्या प्रमाणात वाढते तर आकारमान तेवढेच राहते.
पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ हे फक्त 3D वस्तूंसाठी 'क्षेत्रफळ' आहे.
संबंधित असताना, 'क्षेत्रफळ' सहसा 2D आकारांना सूचित करते. पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ विशेषतः 3D आकृतीच्या सर्व बाह्य सीमांचे एकूण क्षेत्रफळ असते.
पात्राचे आकारमान नेहमीच वस्तूच्या आकारमानाइतकेच असते.
आवश्यक नाही. एका कंटेनरमध्ये 'बाह्य आकारमान' (बॉक्समध्ये किती जागा व्यापते) आणि 'आतील आकारमान' (त्याची क्षमता) असते. हे कंटेनरच्या भिंतींच्या जाडीनुसार बदलते.
उंच वस्तूंचे आकारमान नेहमीच रुंद वस्तूंपेक्षा जास्त असते.
एक अतिशय रुंद, लहान सिलेंडर उंच, पातळ सिलेंडरपेक्षा लक्षणीयरीत्या जास्त आकारमान धारण करू शकतो, कारण त्रिज्या आकारमान सूत्रात वर्ग केली जाते ($V = \pi r^2 h$).
वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न
भूमितीमध्ये 'नेट' म्हणजे काय?
अनियमित वस्तूचे आकारमान कसे शोधायचे?
गोल हा सर्वात 'कार्यक्षम' आकार का आहे?
पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काहीतरी किती वेगाने वितळते यावर परिणाम करते का?
क्षमता विरुद्ध आकारमानाचे एकके काय आहेत?
गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे मोजता?
पार्श्व पृष्ठभाग क्षेत्र आणि एकूण पृष्ठभाग क्षेत्रामध्ये काय फरक आहे?
एखाद्या वस्तूचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ अनंत असू शकते पण आकारमान मर्यादित असू शकते का?
निकाल
एखादी वस्तू गुंडाळण्यासाठी, कोट करण्यासाठी किंवा थंड करण्यासाठी किती साहित्य आवश्यक आहे हे जाणून घेण्यासाठी पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ निवडा. क्षमता, वजन किंवा खोलीत एखादी वस्तू किती जागा व्यापेल याची गणना करण्यासाठी आकारमान निवडा.
संबंधित तुलना
अंकगणित विरुद्ध भौमितिक क्रम
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणितीय सरासरी विरुद्ध भारित सरासरी
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
एक-ते-एक विरुद्ध ऑन्टू फंक्शन्स
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
कन्व्हर्जंट विरुद्ध डायव्हर्जंट मालिका
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
कार्टेशियन विरुद्ध ध्रुवीय निर्देशांक
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.