एक-ते-एक विरुद्ध ऑन्टू फंक्शन्स
दोन्ही संज्ञा दोन संचांमधील घटकांचे मॅपिंग कसे केले जाते याचे वर्णन करतात, परंतु ते समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंना संबोधित करतात. एक-ते-एक (इंजेक्टिव्ह) फंक्शन्स इनपुटच्या विशिष्टतेवर लक्ष केंद्रित करतात, हे सुनिश्चित करतात की कोणतेही दोन मार्ग एकाच गंतव्यस्थानाकडे जात नाहीत, तर (सर्जेक्टिव्ह) फंक्शन्स प्रत्येक संभाव्य गंतव्यस्थान प्रत्यक्षात पोहोचले आहे याची खात्री करतात.
ठळक मुद्दे
- एकाहून एक वेगळेपणा सुनिश्चित करते; वर पूर्णता सुनिश्चित करते.
- ज्या फंक्शनमध्ये एक ते एक आणि एक असे दोन्ही असते त्याला बायजेक्शन म्हणतात.
- क्षैतिज रेषा चाचणी एका दृष्टीक्षेपात एक-ते-एक फंक्शन्स ओळखते.
- फंक्शन्समध्ये रेंज आणि कोडोमेन एकसारखे असणे आवश्यक आहे.
एक-एक (इंजेक्टिव्ह) काय आहे?
एक मॅपिंग जिथे प्रत्येक अद्वितीय इनपुट एक वेगळे, अद्वितीय आउटपुट तयार करते.
- सेट थिअरीमध्ये औपचारिकपणे इंजेक्टिव्ह फंक्शन म्हणतात.
- निर्देशांक समतलावर प्लॉट केल्यावर ते क्षैतिज रेषा चाचणी उत्तीर्ण होते.
- कोडोमेनमध्ये डोमेनमधील कोणतेही दोन भिन्न घटक समान प्रतिमा सामायिक करत नाहीत.
- डोमेनमधील घटकांची संख्या कोडोमेनमधील संख्येपेक्षा जास्त असू शकत नाही.
- व्यस्त कार्ये तयार करण्यासाठी आवश्यक आहे कारण मॅपिंग अस्पष्टतेशिवाय उलट करता येते.
वर (सर्जेक्टिव्ह) काय आहे?
एक मॅपिंग जिथे लक्ष्य संचातील प्रत्येक घटक किमान एका इनपुटने कव्हर केला जातो.
- औपचारिकपणे सर्जेक्टिव्ह फंक्शन म्हणून ओळखले जाते.
- फंक्शनची श्रेणी त्याच्या कोडोमेनइतकीच आहे.
- जोपर्यंत काहीही सोडले जात नाही तोपर्यंत अनेक इनपुट एकाच आउटपुटकडे निर्देशित करण्याची परवानगी आहे.
- डोमेनचा आकार कोडोमेनच्या आकारापेक्षा मोठा किंवा समान असणे आवश्यक आहे.
- आउटपुट सेटमधील प्रत्येक मूल्यामध्ये किमान एक 'प्री-इमेज' असल्याची हमी देते.
तुलना सारणी
| वैशिष्ट्ये | एक-एक (इंजेक्टिव्ह) | वर (सर्जेक्टिव्ह) |
|---|---|---|
| औपचारिक नाव | इंजेक्टिव्ह | उपयोजन |
| मुख्य आवश्यकता | अद्वितीय इनपुटसाठी अद्वितीय आउटपुट | लक्ष्य संचाचे एकूण कव्हरेज |
| क्षैतिज रेषा चाचणी | पुढे जाणे आवश्यक आहे (जास्तीत जास्त एकदा छेदते) | किमान एकदा तरी छेदणे आवश्यक आहे |
| नातेसंबंधांवर लक्ष केंद्रित करा | विशिष्टता | समावेशकता |
| आकार मर्यादा सेट करा | डोमेन ≤ कोडोमेन | डोमेन ≥ कोडोमेन |
| सामायिक आउटपुट? | सक्त मनाई आहे | परवानगी असलेले आणि सामान्य |
तपशीलवार तुलना
अनन्यतेची संकल्पना
एक-एक फंक्शन हे एका उच्च दर्जाच्या रेस्टॉरंटसारखे आहे जिथे प्रत्येक टेबल एकाच पार्टीसाठी राखीव असते; तुम्हाला कधीही दोन वेगवेगळे गट एकाच सीटवर बसलेले दिसणार नाहीत. गणितीयदृष्ट्या, जर $f(a) = f(b)$ असेल, तर $a$ $b$ च्या बरोबरीचे असले पाहिजे. ही एक्सक्लुझिव्हिटी ही फंक्शन्स 'अनडून' किंवा उलट करण्यास अनुमती देते.
कव्हरेजची संकल्पना
ऑन्टो फंक्शन हे लक्ष्य निश्चित करण्यात कोणतीही कसर सोडण्यावर जास्त लक्ष केंद्रित करते. अशी बस कल्पना करा जिथे प्रत्येक सीटवर किमान एक व्यक्ती असावी. एकाच बेंचवर (अनेक जणांना) बसावे लागले तरी काही फरक पडत नाही, जोपर्यंत बसमध्ये एकही सीट रिकामी नसते.
मॅपिंग डायग्रामसह व्हिज्युअलायझिंग
मॅपिंग आकृतीमध्ये, एका बिंदूकडे निर्देशित करणाऱ्या एकाच बाणाने एक-ते-एक ओळखले जाते—दोन बाण कधीही एकत्र येत नाहीत. ऑन्टो फंक्शनसाठी, दुसऱ्या वर्तुळातील प्रत्येक बिंदूकडे निर्देशित करणारा किमान एक बाण असणे आवश्यक आहे. एक फंक्शन दोन्ही असू शकते, ज्याला गणितज्ञ द्विजन म्हणतात.
ग्राफिंगमधील फरक
एका मानक आलेखावर, तुम्ही एका आडव्या रेषेला वर आणि खाली सरकवून एक-ते-एक स्थितीची चाचणी करता; जर ती वक्र एकापेक्षा जास्त वेळा आदळली तर, फंक्शन एक-ते-एक नसते. 'onto' साठी चाचणी करण्यासाठी आलेखाच्या उभ्या स्पॅनकडे पाहणे आवश्यक आहे जेणेकरून ते अंतरांशिवाय संपूर्ण इच्छित श्रेणी व्यापते.
गुण आणि दोष
एकाहून एक
गुणदोष
- +व्यस्त कार्यांना अनुमती देते
- +डेटा टक्कर नाही
- +वेगळेपणा जपतो
- +उलट करणे सोपे
संरक्षित केले
- −आउटपुट न वापरलेले सोडू शकते
- −मोठ्या कोडोमेनची आवश्यकता आहे
- −कडक इनपुट नियम
- −साध्य करणे कठीण
वर
गुणदोष
- +संपूर्ण लक्ष्य संच व्यापतो
- +आउटपुट जागा वाया जाणार नाही
- +लहान संच बसवणे सोपे
- +सर्व संसाधनांचा वापर करते
संरक्षित केले
- −वेगळेपणा गमावणे
- −नेहमीच उलट करता येत नाही
- −टक्कर सामान्य आहेत.
- −मागे जाणे कठीण
सामान्य गैरसमजुती
सर्व फंक्शन्स एकतर एक-ते-एक किंवा ऑन-टू आहेत.
अनेक फंक्शन्स दोन्हीपैकी एकही नाहीत. उदाहरणार्थ, $f(x) = x^2$ (सर्व वास्तविक संख्यांपासून सर्व वास्तविक संख्यांपर्यंत) हे एक-ते-एक नाही कारण $2$ आणि $-2$ दोन्ही $4$ मध्ये परिणाम करतात, आणि ते onto नाही कारण ते कधीही ऋण संख्या निर्माण करत नाही.
एक-ते-एक म्हणजे फंक्शन सारखेच आहे.
फंक्शनसाठी प्रत्येक इनपुटला फक्त एकच आउटपुट असणे आवश्यक आहे. वन-टू-वन हा 'स्ट्रिकनेस'चा एक अतिरिक्त थर आहे जो दोन इनपुटना तो आउटपुट शेअर करण्यापासून रोखतो.
हे फक्त सूत्रावर अवलंबून आहे.
तुम्ही लक्ष्य संच कसा परिभाषित करता यावर ते बरेच अवलंबून असते. जर तुम्ही लक्ष्य 'सर्व नॉन-ऋण संख्या' म्हणून परिभाषित केले तर $f(x) = x^2$ हे फंक्शन चालू असते, परंतु जर लक्ष्य 'सर्व वास्तविक संख्या' असेल तर ते अयशस्वी होते.
जर एखादे फंक्शन चालू असेल तर ते उलट करता येण्यासारखे असले पाहिजे.
रिव्हर्सिबिलिटीसाठी वन-टू-वन स्टेटस आवश्यक आहे. जर एखादे फंक्शन ऑन असेल पण वन-टू-वन नसेल, तर तुम्हाला कोणते आउटपुट आहे हे कळेल, परंतु ते कोणत्या मल्टीपल इनपुटने तयार केले आहे हे कळणार नाही.
वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न
एक-ते-एक फंक्शनचे साधे उदाहरण काय आहे?
ऑन्टो फंक्शनचे साधे उदाहरण काय आहे?
क्षैतिज रेषा चाचणी कशी कार्य करते?
संगणक शास्त्रात या संकल्पना का महत्त्वाच्या आहेत?
जेव्हा एखादे फंक्शन एक-ते-एक आणि वर दोन्ही असते तेव्हा काय होते?
एखादे फंक्शन ऑन असू शकते पण वन-टू-वन नाही?
रेंज आणि कोडोमेनमध्ये काय फरक आहे?
$f(x) = \sin(x)$ एक-एक आहे का?
निकाल
जेव्हा तुम्हाला प्रत्येक निकाल एका विशिष्ट, अद्वितीय सुरुवातीच्या बिंदूपर्यंत परत शोधता येईल याची खात्री करायची असेल तेव्हा एक-ते-एक मॅपिंग वापरा. जेव्हा तुमचे ध्येय सिस्टममधील प्रत्येक संभाव्य आउटपुट मूल्य वापरले जाईल किंवा साध्य करता येईल याची खात्री करणे असेल तेव्हा ऑन-टू-वन मॅपिंग निवडा.
संबंधित तुलना
अंकगणित विरुद्ध भौमितिक क्रम
त्यांच्या गाभ्यामध्ये, अंकगणित आणि भूमितीय क्रम हे संख्यांची यादी वाढवण्याचे किंवा कमी करण्याचे दोन वेगवेगळे मार्ग आहेत. अंकगणित क्रम बेरीज किंवा वजाबाकीद्वारे स्थिर, रेषीय वेगाने बदलतो, तर भौमितिक क्रम गुणाकार किंवा भागाकाराद्वारे घातांकीय गतीने वाढतो किंवा कमी होतो.
अंकगणितीय सरासरी विरुद्ध भारित सरासरी
अंकगणित सरासरी प्रत्येक डेटा पॉइंटला अंतिम सरासरीमध्ये समान योगदानकर्ता मानते, तर भारित सरासरी वेगवेगळ्या मूल्यांना विशिष्ट पातळीचे महत्त्व देते. साध्या वर्ग सरासरीची गणना करण्यापासून ते जटिल आर्थिक पोर्टफोलिओ निश्चित करण्यापर्यंत जिथे काही मालमत्ता इतरांपेक्षा अधिक महत्त्वाच्या असतात अशा प्रत्येक गोष्टीसाठी हा फरक समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.
कन्व्हर्जंट विरुद्ध डायव्हर्जंट मालिका
अभिसरण आणि भिन्न श्रेणीतील फरक हे ठरवतो की संख्यांची अनंत बेरीज विशिष्ट, मर्यादित मूल्यात स्थिर होते की अनंताकडे जाते. एक अभिसरण श्रेणी हळूहळू त्यांच्या पदांना 'संकुचित' करते जोपर्यंत त्यांची एकूण संख्या स्थिर मर्यादेपर्यंत पोहोचत नाही, परंतु भिन्न श्रेणी स्थिर होण्यास अपयशी ठरते, एकतर बंधनाशिवाय वाढते किंवा कायमचे दोलन करते.
कार्टेशियन विरुद्ध ध्रुवीय निर्देशांक
दोन्ही प्रणाली द्विमितीय समतलातील स्थाने निश्चित करण्याचा प्राथमिक उद्देश पूर्ण करतात, परंतु त्या वेगवेगळ्या भौमितिक तत्वज्ञानातून या कार्याकडे जातात. कार्टेशियन निर्देशांक क्षैतिज आणि उभ्या अंतरांच्या कठोर ग्रिडवर अवलंबून असतात, तर ध्रुवीय निर्देशांक मध्यवर्ती स्थिर बिंदूपासून थेट अंतर आणि कोनावर लक्ष केंद्रित करतात.
कोन विरुद्ध उतार
कोन आणि उतार दोन्ही रेषेची 'उभीपणा' मोजतात, परंतु ते वेगवेगळ्या गणितीय भाषा बोलतात. कोन दोन छेदणाऱ्या रेषांमधील वर्तुळाकार परिभ्रमण अंश किंवा रेडियनमध्ये मोजतो, तर उतार संख्यात्मक गुणोत्तर म्हणून क्षैतिज 'धावण्याच्या' सापेक्ष उभ्या 'वाढ' मोजतो.