टैंजेंट और कोटैंजेंट रेसिप्रोकल ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन हैं जो एक समकोण त्रिभुज के लेग्स के बीच के संबंध को बताते हैं। जबकि टैंजेंट विपरीत भुजा और बगल वाली भुजा के अनुपात पर फ़ोकस करता है, कोटैंजेंट इस नज़रिए को पलट देता है, जिससे बगल वाली भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात मिलता है।
किसी एंगल के साइन और उसके कोसाइन का रेश्यो, जो एक लाइन के स्लोप को दिखाता है।
टैंजेंट फ़ंक्शन का रेसिप्रोकल, जो कोसाइन और साइन के अनुपात को दिखाता है।
| विशेषता | स्पर्शरेखा (tan) | कोटैंजेंट (cot) |
|---|---|---|
| त्रिकोणमितीय अनुपात | sin(x) / cos(x) | cos(x) / sin(x) |
| त्रिभुज अनुपात | विपरीत / आसन्न | आसन्न / विपरीत |
| अपरिभाषित पर | π/2 + nπ | एनπ |
| 45° पर मान | 1 | 1 |
| फ़ंक्शन दिशा | बढ़ते हुए (अस्पर्शी के बीच) | घटते हुए (अस्पर्शी के बीच) |
| यौगिक | सेकंड²(x) | -सीएससी²(x) |
| पारस्परिक संबंध | 1 / cot(x) | 1 / टैन(x) |
टैंजेंट और कोटैंजेंट में दो अलग-अलग बॉन्ड होते हैं। पहला, वे रेसिप्रोकल होते हैं; अगर किसी एंगल का टैंजेंट 3/4 है, तो कोटैंजेंट अपने आप 4/3 हो जाता है। दूसरा, वे को-फंक्शन होते हैं, जिसका मतलब है कि एक राइट ट्राएंगल में एक एंगल का टैंजेंट दूसरे नॉन-राइट एंगल के कोटैंजेंट के ठीक बराबर होता है।
टैंजेंट ग्राफ अपने ऊपर की ओर मुड़ने वाले आकार के लिए मशहूर है जो एसिम्टोट्स नाम की सीधी दीवारों के बीच दोहराता है। कोटैंजेंट काफी मिलता-जुलता दिखता है लेकिन दिशा को दिखाता है, जैसे-जैसे आप बाएं से दाएं जाते हैं, यह नीचे की ओर मुड़ता है। क्योंकि उनके अनडिफाइंड पॉइंट्स स्टैगर्ड होते हैं, जहां टैंजेंट में एक एसिम्टोट होता है, वहीं कोटैंजेंट में अक्सर ज़ीरो-क्रॉसिंग होती है।
एक कोऑर्डिनेट प्लेन में, टेंगेंट, ओरिजिन से गुज़रने वाली लाइन की 'स्टीपनेस' या स्लोप को बताने का सबसे आसान तरीका है। कोटैंजेंट, हालांकि बेसिक स्लोप कैलकुलेशन में कम आम है, लेकिन सर्वे और नेविगेशन में यह बहुत ज़रूरी है, जब वर्टिकल राइज़ एक जाना-माना कॉन्स्टेंट होता है और हॉरिजॉन्टल दूरी वह वेरिएबल होती है जिसे सॉल्व किया जा रहा होता है।
जब बदलाव की दरों की बात आती है, तो टैंजेंट, सेकेंट फ़ंक्शन से जुड़ा होता है, जबकि कोटैंजेंट, कोसेकेंट फ़ंक्शन से जुड़ा होता है। उनके डेरिवेटिव और इंटीग्रल इस सिमिट्री को दिखाते हैं, जिसमें कोटैंजेंट अक्सर अपने ऑपरेशन में नेगेटिव साइन लेता है, जो साइन और कोसाइन के बीच के रिश्ते में देखे जाने वाले व्यवहार को दिखाता है।
टेंगेंट और कोटैंगेंट का पीरियड 360 डिग्री का होता है।
साइन और कोसाइन के उलट, टैंजेंट और कोटैंजेंट हर 180 डिग्री (π रेडियन) पर अपने साइकिल दोहराते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि x और y का रेश्यो हर हाफ-सर्कल में दोहराता है।
कोटैंजेंट बस व्युत्क्रम टैंजेंट ($tan^{-1}$) है।
यह कन्फ्यूजन की एक बड़ी बात है। कोटैंजेंट *मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स* ($1/tan$) है, जबकि $tan^{-1}$ (आर्कटैन) *इनवर्स फंक्शन* है जिसका इस्तेमाल रेश्यो से एंगल निकालने के लिए किया जाता है।
मॉडर्न मैथ में कोटैंजेंट का इस्तेमाल बहुत कम होता है।
हालांकि कैलकुलेटर में अक्सर एक खास 'कॉट' बटन नहीं होता, लेकिन यह फ़ंक्शन हायर-लेवल कैलकुलस, पोलर कोऑर्डिनेट्स और कॉम्प्लेक्स एनालिसिस में ज़रूरी है।
टेंगेंट का इस्तेमाल सिर्फ़ 0 और 90 डिग्री के बीच के एंगल के लिए किया जा सकता है।
टैंजेंट लगभग सभी रियल नंबरों के लिए डिफाइन किया गया है, हालांकि यह अलग-अलग क्वाड्रेंट में अलग-अलग तरह से काम करता है, क्वाड्रेंट I और III में पॉजिटिव वैल्यू दिखाता है।
जब आप स्लोप कैलकुलेट कर रहे हों या हॉरिजॉन्टल दूरी के आधार पर वर्टिकल ऊंचाई पता करनी हो, तो टैंजेंट का इस्तेमाल करें। जब आप कैलकुलस में रेसिप्रोकल आइडेंटिटी के साथ काम कर रहे हों या जब आपके ट्राएंगल की 'उल्टी' साइड जानी-पहचानी रेफरेंस लंबाई हो, तो कोटैंजेंट चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
