कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
एक इर्रेशनल नंबर जिसे एक रैशनल नंबर के रूट के तौर पर दिखाया जाता है, जिसे एक होल नंबर में आसान नहीं बनाया जा सकता।
कोई भी संख्या जिसे सिंपल फ्रैक्शन के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ ऊपर और नीचे दोनों इंटीजर हों।
| विशेषता | करणी | तर्कसंगत संख्या |
|---|---|---|
| दशमलव विस्तार | अनंत और गैर-पुनरावृत्ति | समाप्त करना या दोहराना |
| भिन्न रूप | a/b के रूप में नहीं लिखा जा सकता | हमेशा a/b के रूप में लिखा जाता है |
| मूल सरलीकरण | रेडिकल साइन के तहत रहता है | पूर्णांक या भिन्न में सरलीकृत करता है |
| शुद्धता | केवल मूल रूप में सटीक | दशमलव या भिन्न रूप में सटीक |
| उदाहरण | √5 (लगभग 2.236...) | √4 (ठीक 2) |
| श्रेणी सेट करें | तर्कहीन संख्या | भिन्नात्मक संख्याएं |
इन्हें अलग-अलग बताने का सबसे आसान तरीका है कि वैल्यू को दो पूरे नंबरों के फ्रैक्शन के तौर पर लिखने की कोशिश करें। अगर आप इसे 3/4 या 10/1 के तौर पर भी लिख सकते हैं, तो यह रैशनल है। सर्ड्स, जैसे 2 का स्क्वेयर रूट, फिजिकली फ्रैक्शन के तौर पर नहीं बताए जा सकते, चाहे आप न्यूमरेटर और डिनॉमिनेटर के लिए कितने भी बड़े नंबर चुनें।
रैशनल नंबर खास, अंदाज़ा लगाने लायक जगहों पर होते हैं, जहाँ हम सेगमेंट को बांटकर पहुँच सकते हैं। सर्ड उन रैशनल पॉइंट्स के बीच के 'गैप' पर होते हैं। भले ही वे इर्रेशनल हों, फिर भी वे एक बहुत ही असली, खास लंबाई दिखाते हैं, जैसे कि एक साइड वाले स्क्वेयर का डायगोनल जिसकी लंबाई एक हो।
रैशनल नंबरों के साथ काम करना आम तौर पर सीधा-सादा अरिथमेटिक होता है। हालांकि, सर्ड्स ज़्यादातर वेरिएबल्स (जैसे 'x') की तरह काम करते हैं। आप सिर्फ़ 'एक जैसे' सर्ड्स को ही एक साथ जोड़ सकते हैं, जैसे 2√3 + 4√3 = 6√3। अगर आप √2 और √3 को जोड़ने की कोशिश करते हैं, तो आप उन्हें एक ही रूट में आसान नहीं बना सकते; वे अलग-अलग रहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे सेब और संतरे को जोड़ना।
इंजीनियरिंग और साइंस में, surd के डेसिमल वर्शन (जैसे √2 के लिए 1.41) का इस्तेमाल करने से हमेशा एक छोटी सी गलती होती है। लंबे कैलकुलेशन के दौरान एकदम सही एक्यूरेसी बनाए रखने के लिए, मैथमैटिशियन नंबरों को आखिरी स्टेप तक उनके 'surd फ़ॉर्म' में रखते हैं। रैशनल नंबरों को यह प्रॉब्लम अक्सर नहीं होती क्योंकि उनके डेसिमल या तो फाइनाइट होते हैं या उनका एक प्रेडिक्टेबल पैटर्न होता है।
स्क्वेयर रूट सिंबल वाली हर संख्या एक कर्सर होती है।
यह एक आम गलती है। 9 (√9) का वर्गमूल एक सर्ड नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से सिंपल होकर 3 नंबर बन जाता है, जो एक रैशनल नंबर है। सिर्फ़ 'अनरिज़ॉल्व्ड' रूट्स ही सर्ड होते हैं।
कर्स्ड और इर्रेशनल नंबर एक ही चीज़ हैं।
सभी surds इर्रेशनल होते हैं, लेकिन इसका उल्टा सच नहीं है। Pi (π) और Euler's number (e) जैसे ट्रांसेंडेंटल नंबर इर्रेशनल होते हैं, लेकिन वे surds नहीं हैं क्योंकि वे अलजेब्रिक इक्वेशन के रूट नहीं हैं।
0.333... एक कर्सर है क्योंकि यह हमेशा चलता रहता है।
रिपीटिंग डेसिमल असल में रैशनल नंबर होते हैं। क्योंकि 0.333... को ठीक फ्रैक्शन 1/3 के तौर पर लिखा जा सकता है, इसलिए यह रैशनल नंबर माना जाता है। सर्ड नॉन-रिपीटिंग होने चाहिए।
आप असली दुनिया में surds का इस्तेमाल नहीं कर सकते।
कर्व हर जगह हैं! अगर आपने कभी कंस्ट्रक्शन या डिज़ाइन में 45-डिग्री वाले ट्रायंगल का इस्तेमाल किया है, तो आप हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई कैलकुलेट करने के लिए कर्व √2 के साथ काम कर रहे हैं।
रोज़ाना की गिनती, फाइनेंशियल ट्रांज़ैक्शन और आसान मेज़रमेंट के लिए रैशनल नंबर चुनें। जब आप ज्योमेट्री, ट्रिगोनोमेट्री या हाई-लेवल फ़िज़िक्स के साथ काम कर रहे हों, जहाँ एकदम सही सटीकता बनाए रखना, साफ़ डेसिमल से ज़्यादा ज़रूरी है, तो सर्ड का इस्तेमाल करें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
हालांकि दोनों सिस्टम का मुख्य मकसद टू-डायमेंशनल प्लेन में जगहों को पिनपॉइंट करना है, लेकिन वे इस काम को अलग-अलग ज्योमेट्रिक सोच से करते हैं। कार्टेशियन कोऑर्डिनेट्स हॉरिजॉन्टल और वर्टिकल दूरियों के एक रिजिड ग्रिड पर निर्भर करते हैं, जबकि पोलर कोऑर्डिनेट्स एक सेंट्रल फिक्स्ड पॉइंट से सीधी दूरी और एंगल पर फोकस करते हैं।
