जबकि रियल नंबर में वे सभी वैल्यू शामिल होती हैं जिनका इस्तेमाल हम आम तौर पर फिजिकल दुनिया को मापने के लिए करते हैं—पूरे इंटीजर से लेकर इनफिनिट डेसिमल तक—कॉम्प्लेक्स नंबर इमेजिनरी यूनिट $i$ को लाकर इस दायरे को बढ़ाते हैं। यह जोड़ मैथमैटिशियन को उन इक्वेशन को हल करने में मदद करता है जिनका कोई असली सॉल्यूशन नहीं होता, जिससे एक टू-डायमेंशनल नंबर सिस्टम बनता है जो मॉडर्न फिजिक्स और इंजीनियरिंग के लिए ज़रूरी है।
सभी रैशनल और इर्रेशनल नंबरों का सेट जो एक कंटीन्यूअस वन-डायमेंशनल नंबर लाइन पर पाया जा सकता है।
$a + bi$ के रूप में व्यक्त संख्याएँ, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक हैं और $i$ काल्पनिक इकाई है।
| विशेषता | वास्तविक संख्या | जटिल संख्याएँ |
|---|---|---|
| सामान्य फ़ॉर्म | $x$ (जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक मान है) | $a + bi$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) |
| परिमाणिकता | 1D (संख्या रेखा) | 2डी (जटिल तल) |
| संख्या का वर्ग | हमेशा गैर-ऋणात्मक ($x^2 \geq 0$) | नेगेटिव हो सकता है (जैसे, $(2i)^2 = -4$) |
| आदेश | ऑर्डर किया जा सकता है ($1 < 2 < 3$) | कोई मानक 'से ज़्यादा' या 'से कम' संबंध नहीं |
| अवयव | पूरी तरह से वास्तविक | वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग |
| शारीरिक अंतर्ज्ञान | सीधे मापने योग्य मात्राएँ | रोटेशन, फेज़ और ऑसिलेशन का वर्णन करता है |
रियल नंबर एक आसान, सीधी लाइन पर होते हैं जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है। लेकिन, कॉम्प्लेक्स नंबर के लिए एक पूरे प्लेन की ज़रूरत होती है; रियल हिस्सा आपको बाएं या दाएं ले जाता है, जबकि इमेजिनरी हिस्सा आपको ऊपर या नीचे ले जाता है। 1D से 2D में यह बदलाव ही वह बुनियादी छलांग है जो कॉम्प्लेक्स मैथ को इतना पावरफुल बनाती है।
अगर आप सिर्फ़ रियल नंबर्स का इस्तेमाल करके -9 का स्क्वेयर रूट निकालने की कोशिश करते हैं, तो आप एक डेड एंड पर पहुँच जाएँगे क्योंकि किसी भी रियल नंबर को खुद से गुणा करने पर नेगेटिव नंबर नहीं आता। कॉम्प्लेक्स नंबर्स $3i$ को जवाब मानकर इसे हल करते हैं। नेगेटिव रूट्स को हैंडल करने की यह क्षमता यह पक्का करती है कि इलेक्ट्रॉनिक्स और क्वांटम मैकेनिक्स में मैथमेटिकल मॉडल्स नेगेटिव के स्क्वेयर रूट्स का सामना करने पर बस 'ब्रेक' न करें।
असल दुनिया में, 'साइज़' सीधा है—5, 2 से बड़ा है। कॉम्प्लेक्स दुनिया में, हम 'मैग्नीट्यूड' या 'एब्सोल्यूट वैल्यू' को प्लेन पर ओरिजिन (ज़ीरो) से दूरी के तौर पर देखते हैं। क्योंकि कॉम्प्लेक्स नंबर में एक एंगल और एक दूरी होती है, इसलिए वे वेक्टर की तरह ही काम करते हैं, जिससे वे अल्टरनेटिंग करंट या साउंड वेव का एनालिसिस करने के लिए एकदम सही टूल बन जाते हैं।
यह सोचना एक आम गलती है कि ये दोनों ग्रुप पूरी तरह से अलग हैं। असल में, हर रियल नंबर असल में एक कॉम्प्लेक्स नंबर होता है, जिसका इमेजिनरी हिस्सा ज़ीरो ($a + 0i$) होता है। रियल नंबर सिस्टम बस एक खास सबसेट है—एक सिंगल लाइन—जो कॉम्प्लेक्स प्लेन के विशाल, अनंत महासागर के अंदर है।
काल्पनिक नंबर असली दुनिया में 'असली' या उपयोगी नहीं होते।
भले ही नाम खराब हो, लेकिन असल दुनिया की टेक्नोलॉजी के लिए काल्पनिक नंबर बहुत ज़रूरी हैं। इनका इस्तेमाल हर दिन पावर ग्रिड डिज़ाइन करने, हवाई जहाज़ को स्थिर करने और आपके स्मार्टफ़ोन में डिजिटल सिग्नल को प्रोसेस करने के लिए किया जाता है।
एक नंबर या तो रियल होता है या कॉम्प्लेक्स, लेकिन कभी भी दोनों नहीं।
सभी रियल नंबर कॉम्प्लेक्स नंबर होते हैं। अगर आपके पास नंबर 5 है, तो इसे $5 + 0i$ के तौर पर लिखा जा सकता है। इसमें बस ज़ीरो का एक इमेजिनरी कंपोनेंट होता है।
कॉम्प्लेक्स नंबर्स बस दो अलग-अलग रियल नंबर्स हैं जो एक साथ जुड़े हुए हैं।
हालांकि उनके दो हिस्से होते हैं, लेकिन वे गुणा और भाग के लिए खास नियमों का पालन करते हैं (जैसे $i \times i = -1$) जिन्हें रियल नंबरों के सिंपल जोड़े नहीं मानते। वे एक सिंगल, कोहेसिव मैथमेटिकल एंटिटी की तरह काम करते हैं।
कॉम्प्लेक्स नंबर्स का आविष्कार इसलिए किया गया क्योंकि मैथमैटिशियन बोर हो गए थे।
असल में इन्हें 16वीं सदी में क्यूबिक इक्वेशन को हल करने के लिए बनाया गया था। मैथमैटिशियन को एहसास हुआ कि वे अपनी कैलकुलेशन के बीच में 'काल्पनिक' स्टेप्स से गुज़रे बिना सही 'असली' जवाब नहीं पा सकते।
रोज़मर्रा की ज़िंदगी, स्टैंडर्ड अकाउंटिंग और बेसिक मेज़रमेंट के लिए रियल नंबर्स का इस्तेमाल करें, जहाँ वैल्यूज़ सिंपल स्केल पर होती हैं। जब आप मल्टीडाइमेंशनल प्रॉब्लम्स, वेव एनालिसिस या एडवांस्ड इंजीनियरिंग पर काम कर रहे हों, जहाँ 'रोटेशन' और 'फ़ेज़' उतने ही ज़रूरी हैं जितने 'अमाउंट', तो कॉम्प्लेक्स नंबर्स का इस्तेमाल करें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
