हालांकि दोनों ही बेसिक कोनिक सेक्शन हैं जो एक प्लेन से कोन को काटकर बनाए जाते हैं, लेकिन वे बहुत अलग ज्योमेट्रिक बिहेवियर दिखाते हैं। एक पैराबोला में एक सिंगल, कंटीन्यूअस ओपन कर्व होता है जिसका एक फोकल पॉइंट इनफिनिटी पर होता है, जबकि एक हाइपरबोला में दो सिमेट्रिकल, मिरर-इमेज ब्रांच होती हैं जो खास लीनियर बाउंड्री तक पहुंचती हैं जिन्हें एसिम्प्टोट्स कहा जाता है।
एक U-शेप का खुला कर्व जहां हर पॉइंट एक फिक्स्ड फोकस और एक सीधी डायरेक्ट्रिक्स से बराबर दूरी पर होता है।
दो अलग-अलग ब्रांच वाला एक कर्व, जो दो फिक्स्ड फोकस की दूरी के लगातार अंतर से तय होता है।
| विशेषता | परवलय | अतिशयोक्ति |
|---|---|---|
| उत्केंद्रितता (e) | ई = 1 | ई > 1 |
| शाखाओं की संख्या | 1 | 2 |
| फ़ोकस की संख्या | 1 | 2 |
| असिम्प्टोट | कोई नहीं | दो प्रतिच्छेदित रेखाएँ |
| कुंजी परिभाषा | फोकस और डायरेक्ट्रिक्स से समान दूरी | फोकस से दूरियों के बीच स्थिर अंतर |
| सामान्य समीकरण | y = ax² | (x²/a²) - (y²/b²) = 1 |
| परावर्तक गुण | प्रकाश को एक बिंदु पर एकत्रित करता है | प्रकाश को दूसरे फोकस से दूर या उसकी ओर परावर्तित करता है |
दोनों आकार एक प्लेन को डबल कोन से काटने से बनते हैं, लेकिन एंगल से फर्क पड़ता है। पैराबोला तब होता है जब प्लेन कोन के किनारे के बिल्कुल पैरेलल होता है, जिससे एक सिंगल बैलेंस्ड लूप बनता है। इसके उलट, हाइपरबोला तब होता है जब प्लेन ज़्यादा स्टीप होता है, जो डबल कोन के दोनों हिस्सों को काटकर दो मिरर्ड कर्व बनाता है।
एक पैराबोला अपने वर्टेक्स से दूर जाने पर और चौड़ा होता जाता है, लेकिन यह लिमिट पर सीधी लाइन का रास्ता नहीं अपनाता। हाइपरबोला यूनिक होते हैं क्योंकि वे आखिर में एक बहुत ही प्रेडिक्टेबल सीधी लाइन ग्रोथ में सेट हो जाते हैं। ये कर्व अपने एसिम्पटोट्स को बिना छुए उनके और करीब आते जाते हैं, जिससे वे पैराबोला के डीप कर्व के मुकाबले बहुत दूर होने पर भी 'फ्लैट' दिखते हैं।
जिस तरह से ये कर्व लाइट या साउंड वेव्ज़ को हैंडल करते हैं, वह इंजीनियरिंग में एक बड़ा फ़र्क पैदा करता है। क्योंकि पैराबोला का एक फ़ोकस होता है, यह सैटेलाइट डिश और फ़्लैशलाइट के लिए एकदम सही है जहाँ आपको सिग्नल को एक दिशा में कॉन्सेंट्रेट या बीम करने की ज़रूरत होती है। हाइपरबोला में दो फ़ोकस होते हैं; एक फ़ोकस पर टारगेट की गई रे कर्व से सीधे दूसरे की ओर रिफ्लेक्ट होगी, जो एडवांस्ड टेलीस्कोप डिज़ाइन में इस्तेमाल होने वाला एक प्रिंसिपल है।
आप हर दिन फेंके गए बास्केटबॉल या पानी के फव्वारे की धारा के रास्ते में पैराबोला देखते हैं। हाइपरबोला ज़मीन पर रहने वाले जीवों में कम आम हैं लेकिन गहरे अंतरिक्ष में ज़्यादा पाए जाते हैं। जब कोई कॉमेट सूरज के पास से इतनी तेज़ स्पीड से गुज़रता है कि उसे एलिप्टिकल ऑर्बिट में कैप्चर नहीं किया जा सकता, तो वह एक हाइपरबोलिक आर्क में घूमता है, और सोलर सिस्टम में हमेशा के लिए आता-जाता रहता है।
हाइपरबोला बस दो पैराबोला होते हैं जो एक दूसरे से दूर होते हैं।
यह एक आम गलती है; हालांकि वे एक जैसे दिखते हैं, लेकिन मैथमेटिकली उनका कर्वेचर अलग होता है। हाइपरबोला एसिम्पटोट के पास पहुंचने पर सीधे हो जाते हैं, जबकि पैराबोला समय के साथ और तेज़ी से कर्व होते रहते हैं।
अगर आप काफी दूर तक जाते हैं तो दोनों कर्व आखिरकार बंद हो जाते हैं।
कोई भी कर्व कभी बंद नहीं होता। सर्कल या एलिप्स के उलट, ये 'ओपन' कोनिक हैं जो इनफिनिटी तक फैलते हैं, हालांकि वे अलग-अलग रेट और एंगल पर ऐसा करते हैं।
हाइपरबोला में 'U' शेप, पैराबोला में 'U' शेप जैसा ही होता है।
हाइपरबोला का 'U' असल में सिरों पर ज़्यादा चौड़ा और चपटा होता है क्योंकि यह डायगोनल बाउंड्री से बंधा होता है, जबकि पैराबोला एक डायरेक्ट्रिक्स और एक फोकस से बंधा होता है।
आप एक नंबर बदलकर पैराबोला को हाइपरबोला में बदल सकते हैं।
इसके लिए एक्सेंट्रिसिटी और वेरिएबल्स के बीच के संबंध में एक बुनियादी बदलाव की ज़रूरत होती है। e=1 से e>1 पर जाने से प्लेन के कोन को काटने के तरीके का नेचर ही बदल जाता है।
ऑप्टिमाइज़ेशन, रिफ्लेक्टिव फोकस, या स्टैंडर्ड ग्रेविटी-बेस्ड मोशन के साथ काम करते समय पैराबोला चुनें। कॉन्सटेंट डिफरेंस, डुअल-ब्रांच सिस्टम, या सेंट्रल मास से बचने वाले हाई-स्पीड ऑर्बिटल ट्रैजेक्टरी वाले रिलेशनशिप की मॉडलिंग करते समय हाइपरबोला चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
