हालांकि दोनों शब्द बताते हैं कि दो सेट के बीच एलिमेंट कैसे मैप किए जाते हैं, वे इक्वेशन के अलग-अलग साइड को बताते हैं। वन-टू-वन (इंजेक्टिव) फ़ंक्शन इनपुट की यूनिकनेस पर फ़ोकस करते हैं, यह पक्का करते हैं कि कोई भी दो रास्ते एक ही डेस्टिनेशन तक न जाएं, जबकि ऑनटू (सर्जेक्टिव) फ़ंक्शन यह पक्का करते हैं कि हर पॉसिबल डेस्टिनेशन तक असल में पहुंचा जाए।
एक मैपिंग जहां हर यूनिक इनपुट एक अलग, यूनिक आउटपुट देता है।
एक मैपिंग जहां टारगेट सेट का हर एलिमेंट कम से कम एक इनपुट से कवर होता है।
| विशेषता | एक-से-एक (इंजेक्टिव) | आच्छादित (सर्वेक्षणिक) |
|---|---|---|
| औपचारिक नाम | इंजेक्शन | प्रक्षेप्य |
| मुख्य आवश्यकता | अद्वितीय इनपुट के लिए अद्वितीय आउटपुट | लक्ष्य सेट का कुल कवरेज |
| क्षैतिज रेखा परीक्षण | पास होना चाहिए (ज़्यादा से ज़्यादा एक बार काटता है) | कम से कम एक बार प्रतिच्छेद करना चाहिए |
| संबंध फोकस | विशिष्टता | समावेशिता |
| आकार सीमा निर्धारित करें | डोमेन ≤ कोडोमेन | डोमेन ≥ कोडोमेन |
| शेयर्ड आउटपुट? | कड़ाई से निषेध | अनुमत और सामान्य |
वन-टू-वन फ़ंक्शन एक हाई-एंड रेस्टोरेंट जैसा है जहाँ हर टेबल सिर्फ़ एक पार्टी के लिए रिज़र्व होती है; आप कभी भी दो अलग-अलग ग्रुप को एक ही सीट शेयर करते हुए नहीं देखेंगे। मैथमेटिकली, अगर $f(a) = f(b)$, तो $a$ का मतलब $b$ होना चाहिए। यही एक्सक्लूसिविटी इन फ़ंक्शन को 'अनडन' या इनवर्ट करने की इजाज़त देती है।
ऑनटू फ़ंक्शन का ज़्यादा ध्यान टारगेट सेट में कोई कसर नहीं छोड़ने पर होता है। एक बस की कल्पना करें जहाँ हर एक सीट पर कम से कम एक व्यक्ति का होना ज़रूरी है। इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि दो लोगों को एक ही बेंच पर बैठना पड़े (कई-से-एक), जब तक बस में एक भी खाली सीट न हो।
मैपिंग डायग्राम में, वन-टू-वन की पहचान सिंगल एरो से होती है जो सिंगल डॉट्स की ओर इशारा करते हैं—कोई भी दो एरो कभी एक साथ नहीं आते। एक ऑनटू फ़ंक्शन के लिए, दूसरे सर्कल के हर डॉट पर कम से कम एक एरो होना चाहिए जो उस ओर इशारा करता हो। एक फ़ंक्शन दोनों हो सकता है, जिसे मैथमैटिशियन बाईजेक्शन कहते हैं।
एक स्टैंडर्ड ग्राफ़ पर, आप एक हॉरिजॉन्टल लाइन को ऊपर और नीचे स्लाइड करके वन-टू-वन स्टेटस के लिए टेस्ट करते हैं; अगर यह कर्व से एक से ज़्यादा बार टकराती है, तो फ़ंक्शन वन-टू-वन नहीं होता है। 'ऑनटू' के लिए टेस्टिंग के लिए ग्राफ़ के वर्टिकल स्पैन को देखना ज़रूरी है ताकि यह पक्का हो सके कि यह बिना किसी गैप के पूरी तय रेंज को कवर करता है।
सभी फ़ंक्शन या तो वन-टू-वन या ऑनटू हैं।
कई फ़ंक्शन दोनों में से कोई नहीं हैं। उदाहरण के लिए, $f(x) = x^2$ (सभी रियल नंबरों से सभी रियल नंबरों तक) वन-टू-वन नहीं है क्योंकि $2$ और $-2$ दोनों का रिज़ल्ट $4$ होता है, और यह ऑनटू नहीं है क्योंकि यह कभी भी नेगेटिव नंबर नहीं देता है।
वन-टू-वन का मतलब फ़ंक्शन जैसा ही है।
एक फ़ंक्शन के लिए बस यह ज़रूरी है कि हर इनपुट का एक आउटपुट हो। वन-टू-वन 'स्ट्रिक्टनेस' की एक एक्स्ट्रा लेयर है जो दो इनपुट को उस आउटपुट को शेयर करने से रोकती है।
Onto सिर्फ़ फ़ॉर्मूले पर निर्भर करता है।
ऑनटू इस बात पर बहुत ज़्यादा निर्भर करता है कि आप टारगेट सेट को कैसे डिफाइन करते हैं। अगर आप टारगेट को 'सभी नॉन-नेगेटिव नंबर' के तौर पर डिफाइन करते हैं, तो फ़ंक्शन $f(x) = x^2$ ऑनटू है, लेकिन अगर टारगेट 'सभी रियल नंबर' हैं, तो यह फेल हो जाता है।
अगर कोई फ़ंक्शन ऑनटू है, तो उसे रिवर्सिबल होना चाहिए।
रिवर्सिबिलिटी के लिए वन-टू-वन स्टेटस की ज़रूरत होती है। अगर कोई फ़ंक्शन ऑनटू है लेकिन वन-टू-वन नहीं है, तो आपको पता चल सकता है कि आपका आउटपुट क्या है, लेकिन आपको यह नहीं पता होगा कि कई इनपुट में से किसने इसे बनाया है।
जब आपको यह पक्का करना हो कि हर रिज़ल्ट को एक खास, यूनिक शुरुआती पॉइंट तक वापस ट्रेस किया जा सके, तो वन-टू-वन मैपिंग का इस्तेमाल करें। जब आपका मकसद यह पक्का करना हो कि सिस्टम में हर मुमकिन आउटपुट वैल्यू का इस्तेमाल हो या उसे पाया जा सके, तो ऑनटू मैपिंग चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
