जहां एक लाइन दो दिशाओं में अनगिनत रूप से फैले एक-डाइमेंशनल रास्ते को दिखाती है, वहीं एक प्लेन इस कॉन्सेप्ट को दो डाइमेंशन में फैलाता है, जिससे एक सपाट, अनगिनत सतह बनती है। लाइन से प्लेन में बदलाव, आसान दूरी से एरिया के माप तक की छलांग को दिखाता है, जो सभी ज्योमेट्रिक आकृतियों के लिए कैनवस बनाता है।
एक सीधी, एक-डाइमेंशनल आकृति जिसकी लंबाई अनंत है लेकिन चौड़ाई या गहराई नहीं है।
एक टू-डाइमेंशनल, फ्लैट सतह जो बिना मोटाई के सभी दिशाओं में बहुत ज़्यादा फैली हुई है।
| विशेषता | रेखा | विमान |
|---|---|---|
| DIMENSIONS | 1 (लंबाई) | 2 (लंबाई और चौड़ाई) |
| परिभाषित करने के लिए न्यूनतम बिंदु | 2 अंक | 3 असंरेख बिंदु |
| निर्देशांक चर | आमतौर पर x (या एक सिंगल पैरामीटर) | आमतौर पर x और y |
| मानक समीकरण | y = mx + b (2D में) | ax + by + cz = d (3D में) |
| माप प्रकार | रैखिक दूरी | सतह क्षेत्रफल |
| दृश्य सादृश्य | एक तना हुआ, अनंत तार | कागज़ की एक अनंत शीट |
| प्रतिच्छेदन परिणाम | एक सिंगल पॉइंट (अगर पैरेलल नहीं है) | एक सीधी रेखा (यदि समांतर नहीं है) |
बुनियादी फ़र्क यह है कि वे कितनी 'जगह' घेरते हैं। एक लाइन सिर्फ़ एक ही रास्ते पर आगे या पीछे जाने देती है। एक प्लेन यात्रा की दूसरी दिशा लाता है, जिससे साइड में मूवमेंट होता है और ट्रायंगल, सर्कल और स्क्वेयर जैसे चपटे आकार बनते हैं।
एक लाइन को एंकर करने के लिए आपको सिर्फ़ दो पॉइंट्स की ज़रूरत होती है, लेकिन प्लेन के लिए ज़्यादा मेहनत करनी पड़ती है; इसे अपनी दिशा बनाने के लिए तीन ऐसे पॉइंट्स की ज़रूरत होती है जो एक सीधी लाइन में न हों। एक ट्राइपॉड के बारे में सोचें—दो पैर (पॉइंट्स) सिर्फ़ एक लाइन को सपोर्ट कर सकते हैं, लेकिन तीसरा पैर टॉप को एक स्थिर सतह या प्लेन पर सपाट रखने देता है।
3D दुनिया में, ये दोनों चीज़ें ऐसे तरीकों से इंटरैक्ट करती हैं जिनका अंदाज़ा लगाया जा सकता है। जब कोई लाइन किसी प्लेन से गुज़रती है, तो वह आम तौर पर उसे ठीक एक पॉइंट पर छेदती है। लेकिन, जब दो प्लेन मिलते हैं, तो वे सिर्फ़ एक पॉइंट पर टच नहीं करते; वे एक पूरी लाइन बनाते हैं जहाँ उनकी सतहें ओवरलैप होती हैं।
दूरी, रास्ते या बाउंड्री मापने के लिए लाइनें सबसे अच्छा टूल हैं। इसके उलट, प्लेन एरिया कैलकुलेट करने और सपाट सतहों को बताने के लिए ज़रूरी माहौल देते हैं। जहाँ एक लाइन मैप पर सड़क दिखा सकती है, वहीं प्लेन पूरे मैप को दिखाता है।
एक प्लेन में ऊपर और नीचे की तरफ होती है।
मैथ्स में, प्लेन की मोटाई ज़ीरो होती है। यह कोई मटीरियल का स्लैब नहीं है; यह पूरी तरह से टू-डायमेंशनल कॉन्सेप्ट है जिसका कागज़ के टुकड़े की तरह कोई 'साइड' नहीं होता।
अगर प्लेन काफी बड़ा हो तो पैरेलल लाइनें आखिरकार मिल सकती हैं।
परिभाषा के अनुसार, यूक्लिडियन प्लेन पर पैरेलल लाइनें हमेशा एक ही दूरी पर रहती हैं और कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटेंगी, चाहे वे कितनी भी दूर तक फैली हों।
एक लाइन बस एक बहुत पतला प्लेन है।
वे एकदम अलग हैं। एक प्लेन की चौड़ाई का डायमेंशन होता है, भले ही वह छोटा हो, जबकि एक लाइन की चौड़ाई बिल्कुल ज़ीरो होती है। आप किसी लाइन को 'मोटा' करके उसे कभी भी प्लेन में नहीं बदल सकते।
पॉइंट्स, लाइन्स और प्लेन फिजिकल ऑब्जेक्ट्स हैं।
ये आइडियल मैथमेटिकल कॉन्सेप्ट हैं। कोई भी चीज़ जिसे आप छू सकते हैं, जैसे कोई डोरी या मेटल की शीट, असल में उसके तीन डायमेंशन (ऊंचाई, चौड़ाई और गहराई) होते हैं, भले ही वे डायमेंशन बहुत छोटे हों।
जब आपका फ़ोकस किसी खास रास्ते, दिशा या दो पॉइंट के बीच की दूरी पर हो, तो लाइन का इस्तेमाल करें। जब आपको किसी सतह, एरिया या समतल माहौल के बारे में बताना हो, जहाँ कई रास्ते हो सकते हैं, तो प्लेन चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
