मैथ की दुनिया में, हर फंक्शन एक रिलेशन होता है, लेकिन हर रिलेशन फंक्शन नहीं होता। जबकि एक रिलेशन सिर्फ़ दो नंबरों के सेट के बीच किसी भी जुड़ाव को बताता है, एक फंक्शन एक डिसिप्लिन्ड सबसेट होता है जिसके लिए हर इनपुट से ठीक एक खास आउटपुट की ज़रूरत होती है।
ऑर्डर्ड पेयर्स का कोई भी सेट जो इनपुट और आउटपुट के बीच कनेक्शन बताता है।
एक खास तरह का रिलेशन जिसमें हर इनपुट का एक सिंगल, यूनिक आउटपुट होता है।
| विशेषता | रिश्ता | समारोह |
|---|---|---|
| परिभाषा | क्रमित युग्मों का कोई भी संग्रह | हर इनपुट पर एक आउटपुट असाइन करने का नियम |
| इनपुट/आउटपुट अनुपात | एक-से-कई की अनुमति है | केवल एक-से-एक या अनेक-से-एक |
| ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण | फेल हो सकता है (दो या ज़्यादा बार इंटरसेक्ट करता है) | पास होना चाहिए (एक या कम बार प्रतिच्छेद करता है) |
| ग्राफिक उदाहरण | वृत्त, पार्श्व परवलय, S-वक्र | रेखाएँ, ऊपर की ओर परवलय, साइन तरंगें |
| गणितीय क्षेत्र | सामान्य श्रेणी | संबंधों की उप-श्रेणी |
| पूर्वानुमान | कम (कई संभावित उत्तर) | हाई (एक निश्चित उत्तर) |
मुख्य अंतर डोमेन के व्यवहार में है। एक रिलेशन में, आप नंबर 5 डाल सकते हैं और वापस 10 या 20 पा सकते हैं, जिससे 'वन-टू-मैनी' सिनेरियो बनता है। एक फ़ंक्शन इस कन्फ्यूजन को रोकता है; अगर आप 5 डालते हैं, तो आपको हर बार एक ही, एक जैसा रिज़ल्ट मिलना चाहिए, जिससे यह पक्का हो सके कि सिस्टम डिटरमिनिस्टिक है।
आप वर्टिकल लाइन टेस्ट का इस्तेमाल करके ग्राफ पर तुरंत अंतर देख सकते हैं। अगर आप प्लॉट पर कहीं भी एक वर्टिकल लाइन खींच सकते हैं जो कर्व को एक से ज़्यादा जगहों पर छूती है, तो आप एक रिलेशन देख रहे हैं। फंक्शन ज़्यादा 'स्ट्रीमलाइन्ड' होते हैं और कभी भी हॉरिजॉन्टली खुद पर डबल बैक नहीं होते हैं।
समय के साथ किसी व्यक्ति की हाइट के बारे में सोचें; किसी भी खास उम्र में, व्यक्ति की हाइट ठीक एक होती है, जो इसे एक फंक्शन बनाता है। इसके उलट, लोगों और उनकी कारों की लिस्ट के बारे में सोचें। क्योंकि एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग कारें हो सकती हैं, इसलिए यह कनेक्शन एक रिलेशन है, फंक्शन नहीं।
फंक्शन कैलकुलस और फिजिक्स के लिए सबसे अच्छे होते हैं क्योंकि उनकी प्रेडिक्टेबिलिटी हमें रेट्स ऑफ़ चेंज को कैलकुलेट करने देती है। हम खास तौर पर फंक्शन के लिए 'f(x)' नोटेशन का इस्तेमाल करते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि आउटपुट पूरी तरह से 'x' पर निर्भर करता है। रिलेशन ज्योमेट्री में एलिप्स जैसे शेप्स को डिफाइन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो इन सख्त नियमों का पालन नहीं करते हैं।
एक फ़ंक्शन में दो अलग-अलग इनपुट का नतीजा एक जैसा नहीं हो सकता।
असल में इसकी इजाज़त है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x² में, -2 और 2 दोनों का रिज़ल्ट 4 होता है। यह एक 'मैनी-टू-वन' रिलेशनशिप है, जो फ़ंक्शन के लिए पूरी तरह से वैलिड है।
सर्कल के लिए इक्वेशन फ़ंक्शन होते हैं।
सर्कल रिलेशन होते हैं, फंक्शन नहीं। अगर आप सर्कल में एक वर्टिकल लाइन खींचते हैं, तो यह ऊपर और नीचे दोनों तरफ से टकराती है, जिसका मतलब है कि एक x-वैल्यू में दो y-वैल्यू होती हैं।
'रिलेशन' और 'फ़ंक्शन' शब्दों का इस्तेमाल एक दूसरे की जगह किया जा सकता है।
वे नेस्टेड टर्म्स हैं। आप किसी फ़ंक्शन को रिलेशन कह सकते हैं, लेकिन अगर किसी जनरल रिलेशन को फ़ंक्शन कहना वन-आउटपुट रूल को तोड़ता है, तो यह मैथमेटिकली गलत है।
फ़ंक्शन को हमेशा इक्वेशन के रूप में लिखा जाना चाहिए।
फ़ंक्शन को टेबल, ग्राफ़ या कोऑर्डिनेट के सेट से भी दिखाया जा सकता है। जब तक 'एक इनपुट पर एक आउटपुट' का नियम बना रहता है, तब तक फ़ॉर्मेट से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
जब आपको कोई आम कनेक्शन या कोई ज्योमेट्रिक शेप बताना हो जो खुद पर लूप करता हो, तो रिलेशन का इस्तेमाल करें। जब आपको एक ऐसा मॉडल चाहिए जिसका अंदाज़ा लगाया जा सके और हर एक्शन का नतीजा एक खास, बार-बार होने वाला रिएक्शन हो, तो फ़ंक्शन पर स्विच करें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
