जहां एक सर्कल को एक सेंटर पॉइंट और एक कॉन्सटेंट रेडियस से डिफाइन किया जाता है, वहीं एक एलिप्स इस कॉन्सेप्ट को दो फोकल पॉइंट तक बढ़ाता है, जिससे एक लंबा शेप बनता है जहां इन फोकी की दूरियों का जोड़ कॉन्सटेंट रहता है। हर सर्कल टेक्निकली एक खास तरह का एलिप्स होता है जहां दो फोकी पूरी तरह से ओवरलैप होते हैं, जिससे वे कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में सबसे करीबी संबंधित फिगर बन जाते हैं।
एक बिल्कुल गोल, टू-डाइमेंशनल आकार जिसमें किनारे पर हर पॉइंट सेंटर से बिल्कुल एक ही दूरी पर होता है।
एक लंबा घुमावदार आकार जो दो अंदरूनी पॉइंट्स से बना होता है, जिन्हें foci कहते हैं, और जो एक चपटे या फैले हुए सर्कल जैसा दिखता है।
| विशेषता | घेरा | अंडाकार |
|---|---|---|
| फ़ोकस की संख्या | 1 (केंद्र) | 2 अलग-अलग बिंदु |
| उत्केंद्रितता (e) | ई = 0 | 0 < ई < 1 |
| त्रिज्या/अक्ष | स्थिर त्रिज्या | परिवर्तनीय प्रमुख और लघु अक्ष |
| समरूपता रेखाएँ | अनंत (कोई भी व्यास) | दो (प्रमुख और लघु अक्ष) |
| मानक समीकरण | x² + y² = r² | (x²/a²) + (y²/b²) = 1 |
| प्राकृतिक घटना | साबुन के बुलबुले, लहरें | ग्रहों की कक्षाएँ, छायाएँ |
| परिमाप सूत्र | 2πr (सरल) | जटिल एकीकरण की आवश्यकता है |
मैथमेटिकली, एक सर्कल, एलिप्स का ही एक खास रूप है। दो फोकस वाले एक एलिप्स की कल्पना करें; जैसे-जैसे वे दो पॉइंट एक-दूसरे के करीब आते हैं और आखिर में एक ही जगह पर मिल जाते हैं, लंबा आकार धीरे-धीरे गोल होता जाता है जब तक कि वह एक परफेक्ट सर्कल न बन जाए। यही वजह है कि एलिप्स पर लागू होने वाले कई ज्योमेट्रिक नियम सर्कल के लिए भी काम करते हैं, लेकिन आसान वेरिएबल के साथ।
एक सर्कल सिमिट्री की सबसे अच्छी चीज़ है, इसे कैसे भी घुमाएँ, यह एक जैसा दिखता है। हालाँकि, एक एलिप्स ज़्यादा सीमित होता है; यह सिर्फ़ अपने दो मुख्य एक्सिस पर सिमिट्री बनाए रखता है। इसी अंतर की वजह से गोल चीज़ों को पहियों जैसे घूमने वाले हिस्सों के लिए पसंद किया जाता है, जबकि एलिप्टिकल शेप का इस्तेमाल लाइट को फोकस करने या एयरोडायनामिक प्रोफाइल डिज़ाइन करने जैसे खास कामों के लिए किया जाता है।
सर्कल का घेरा पता करना स्टूडेंट्स की पहली सीखी हुई चीज़ों में से एक है क्योंकि इसका फ़ॉर्मूला सीधा है। इसके उलट, एक एलिप्स का सही घेरा पता करना हैरानी की बात है कि मुश्किल है और इसके लिए एडवांस्ड कैलकुलस या हाई-लेवल अंदाज़े की ज़रूरत होती है। यह मुश्किल इसलिए आती है क्योंकि एलिप्स का कर्वेचर लगातार बदलता रहता है जब आप उसके किनारे पर चलते हैं।
गियर और पाइप जैसी चीज़ों के लिए इंसानी इंजीनियरिंग में सर्कल आम हैं क्योंकि वे प्रेशर को बराबर बांटते हैं। एलिप्स फिजिक्स की कुदरती दुनिया में हावी हैं; उदाहरण के लिए, पृथ्वी सूरज के चारों ओर गोल चक्कर में नहीं घूमती, बल्कि एक एलिप्टिकल रास्ते पर घूमती है। इससे अलग-अलग स्पीड और दूरियां बनती हैं जो हमारे ऑर्बिटल मैकेनिक्स को तय करती हैं।
एक सर्कल और एक एलिप्स दो पूरी तरह से अलग आकार हैं।
कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में, वे 'कॉनिक सेक्शन' नाम की एक ही फ़ैमिली का हिस्सा हैं। एक सर्कल, एलिप्स की एक सब-कैटेगरी है, जहाँ हॉरिजॉन्टल एक्सिस की लंबाई वर्टिकल एक्सिस के बराबर होती है।
सभी अंडाकार एलिप्सिस होते हैं।
एलिप्स एक बहुत ही खास मैथमेटिकल कर्व है। वैसे तो सभी एलिप्स ओवल होते हैं, लेकिन कई ओवल—जैसे एक स्टैंडर्ड अंडे का आकार—एक असली एलिप्स होने के लिए ज़रूरी कॉन्सटेंट-सम-ऑफ-डिस्टेंस रूल को फॉलो नहीं करते हैं।
ग्रह एकदम गोल घूमते हैं।
ज़्यादातर लोग मानते हैं कि ऑर्बिट गोल होते हैं, लेकिन असल में वे थोड़े अंडाकार होते हैं। यह जोहान्स केप्लर की एक बड़ी खोज थी जिसने सदियों पुरानी एस्ट्रोनॉमिकल थ्योरी को ठीक किया।
आप एक एलिप्स का पेरिमीटर उतनी ही आसानी से कैलकुलेट कर सकते हैं जितनी आसानी से एक सर्कल का।
एलिप्स के लिए 2πr जैसा कोई आसान फ़ॉर्मूला नहीं है। एलिप्स के पेरिमीटर के लिए सबसे आम 'आसान' फ़ॉर्मूले भी सिर्फ़ अंदाज़े हैं, एकदम सही जवाब नहीं।
जब आपको परफेक्ट सिमिट्री, यूनिफॉर्म प्रेशर डिस्ट्रीब्यूशन, या आसान मैथमेटिकल कैलकुलेशन की ज़रूरत हो, तो सर्कल चुनें। नेचुरल ऑर्बिट की मॉडलिंग करते समय, रिफ्लेक्टिव ऑप्टिक्स डिज़ाइन करते समय, या पर्सपेक्टिव ड्राइंग में गोल चीज़ों को दिखाते समय एलिप्स चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
