combinatorics کے دائرے میں، 'Premutation' اور 'Arrangement' اکثر ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے تاکہ آئٹمز کے سیٹ کی مخصوص ترتیب کو بیان کیا جا سکے جہاں ترتیب اہمیت رکھتی ہے۔ جب کہ ایک ترتیب عناصر کو ترتیب دینے کا رسمی ریاضیاتی عمل ہے، ایک ترتیب اس عمل کا جسمانی یا تصوراتی نتیجہ ہے، جو انہیں سادہ امتزاج سے ممتاز کرتا ہے جہاں ترتیب غیر متعلق ہے۔
ایک ریاضیاتی تکنیک جو سیٹ کو آرڈر کرنے کے ممکنہ طریقوں کی تعداد کا تعین کرتی ہے۔
ایک متعین جگہ یا ترتیب کے اندر عناصر کی مخصوص مقامی ترتیب یا ترتیب۔
| خصوصیت | پرموٹیشن | بندوبست |
|---|---|---|
| بنیادی تعریف | ترتیب دینے کا ریاضیاتی عمل | نتیجے میں ترتیب دی گئی ترتیب |
| آرڈر کا کردار | تنقیدی (آرڈر قدر کی وضاحت کرتا ہے) | تنقیدی (آرڈر ترتیب کی وضاحت کرتا ہے) |
| استعمال کا سیاق و سباق | رسمی امکان اور گنتی کا نظریہ | لاگو مسائل اور وضاحتی منظرنامے۔ |
| ریاضیاتی دائرہ کار | خلاصہ سیٹ تھیوری | بصری یا مقامی کنفیگریشنز |
| مثال نوٹیشن | n! / (این آر)! | بصری ترتیب (ABC) |
| عام پابندی | الگ بمقابلہ غیر الگ آئٹمز | لکیری بمقابلہ سرکلر حدود |
پردے کے پیچھے کی ریاضی اور اسٹیج پر جو کچھ آپ دیکھتے ہیں اس ترتیب کے طور پر ترتیب کے بارے میں سوچیں۔ ایک ترتیب وہ حساب ہے جسے ہم یہ جاننے کے لیے کرتے ہیں کہ چھ افراد کو بٹھانے کے 720 طریقے ہیں۔ ترتیب ایک مخصوص نشست کا چارٹ ہے جسے آپ ایونٹ کے لیے پرنٹ کرتے ہیں۔ جبکہ ریاضی ان کے ساتھ تقریباً یکساں سلوک کرتا ہے، انتظام ایک مقامی سیاق و سباق رکھتا ہے جو کہ خام نمبر نہیں کرتا۔
لکیری ترتیب میں، ہر پوزیشن منفرد ہے (پہلا، دوسرا، تیسرا)۔ تاہم، سرکلر انتظامات میں، عہدے رشتہ دار ہیں؛ اگر گول میز پر موجود ہر شخص ایک نشست کو بائیں طرف لے جاتا ہے، تو ترتیب اکثر ایک جیسا سمجھا جاتا ہے کیونکہ پڑوسی تبدیل نہیں ہوئے ہیں۔ یہ وہ جگہ ہے جہاں 'انتظام' کی اصطلاح اکثر معیاری ترتیب کے فارمولے سے زیادہ مخصوص ہندسی اصولوں کو اپناتی ہے۔
لفظ 'MISSISSIPPI' کے ساتھ کام کرتے وقت، ترتیب ہمیں یہ حساب لگانے میں مدد کرتی ہے کہ ہم بار بار حروف کے باوجود کتنی منفرد تاریں بنا سکتے ہیں۔ 'انتظامات' اصل الفاظ بنتے ہیں۔ اگر آپ دو ایک جیسے 'S' حروف کو تبدیل کرتے ہیں، تو ترتیب ریاضی کو اس کا حساب دینا چاہیے تاکہ آپ کو دوگنا شمار نہ کیا جائے، کیونکہ جسمانی ترتیب کھلی آنکھوں کو بالکل ایک جیسی نظر آئے گی۔
دونوں تصورات 'مجموعے' کے مخالف ہیں۔ ایک مجموعہ میں، دو لوگوں (باب اور ایلس) کی ٹیم کا انتخاب ایک واقعہ ہے۔ ترتیب اور ترتیب دونوں میں، باب پھر ایلس اور ایلس پھر باب دو بالکل مختلف منظرنامے ہیں۔ یہ امتیاز کوڈ بریکنگ، شیڈول سازی، اور ساختی ڈیزائن کی بنیاد ہے۔
Permutations اور Combinations ایک ہی چیز ہیں۔
یہ شماریات میں سب سے عام غلطی ہے۔ مجموعے آرڈر کو نظر انداز کرتے ہیں (جیسے فروٹ سلاد)، جبکہ ترتیب/انتظامات مکمل طور پر آرڈر پر انحصار کرتے ہیں (جیسے فون نمبر)۔
ایک 'کمبینیشن لاک' کا نام صحیح رکھا گیا ہے۔
دراصل، ایک مجموعہ لاک کو 'پرمیوٹیشن لاک' کہا جانا چاہیے۔ اگر آپ کا کوڈ 1-2-3 ہے اور آپ 3-2-1 درج کرتے ہیں، تو یہ نہیں کھلے گا، یعنی آرڈر کی اہمیت ہوتی ہے — ترتیب کی ایک پہچان۔
انتظامات صرف سیدھی لائنوں میں ہوتے ہیں۔
انتظامات سرکلر، گرڈ پر مبنی، یا تین جہتی بھی ہوسکتے ہیں۔ بھری ہوئی جگہ کی شکل کے لحاظ سے ریاضی نمایاں طور پر تبدیل ہوتی ہے۔
آپ ہمیشہ آرڈر کرنے کے ہر مسئلے کے لیے nPr فارمولہ استعمال کرتے ہیں۔
معیاری nPr فارمولہ صرف اس صورت میں کام کرتا ہے جب آپ آئٹمز کو دہرا نہیں رہے ہیں۔ اگر آپ ایک ہی نمبر کو دو بار استعمال کر سکتے ہیں (جیسے PIN کوڈ)، تو آپ اجازت نامے کی بجائے اختیارات (n^r) استعمال کرتے ہیں۔
جب آپ رسمی ریاضیاتی ثبوتوں پر کام کر رہے ہوں یا امکانات کی کل تعداد کا حساب لگا رہے ہوں تو 'پرموٹیشن' استعمال کریں۔ مخصوص جسمانی ترتیب کو بیان کرتے وقت یا مخصوص جگہوں پر حقیقی دنیا کی اشیاء کو شامل کرنے والے الفاظ کے مسائل کو حل کرتے وقت 'انتظام' کا استعمال کریں۔
جبکہ اسکیلرز اور ویکٹر دونوں ہمارے اردگرد کی دنیا کی مقدار درست کرتے ہیں، بنیادی فرق ان کی پیچیدگی میں ہے۔ اسکیلر طول و عرض کی ایک سادہ پیمائش ہے، جب کہ ایک ویکٹر اس سائز کو ایک مخصوص سمت کے ساتھ جوڑتا ہے، جو اسے جسمانی خلا میں حرکت اور قوت کو بیان کرنے کے لیے ضروری بناتا ہے۔
جبکہ حقیقی اعداد ان تمام اقدار کو گھیرے ہوئے ہیں جنہیں ہم عام طور پر طبعی دنیا کی پیمائش کے لیے استعمال کرتے ہیں—پورے عدد سے لے کر لامحدود اعشاریہ تک—پیچیدہ اعداد خیالی اکائی $i$ کو متعارف کروا کر اس افق کو بڑھاتے ہیں۔ یہ اضافہ ریاضی دانوں کو ان مساواتوں کو حل کرنے کی اجازت دیتا ہے جن کا کوئی حقیقی حل نہیں ہے، جس سے ایک دو جہتی نمبر کا نظام تشکیل پاتا ہے جو جدید طبیعیات اور انجینئرنگ کے لیے ضروری ہے۔
جب کہ الجبرا عمل کے تجریدی اصولوں اور نامعلوم کو حل کرنے کے لیے علامتوں کی ہیرا پھیری پر توجہ مرکوز کرتا ہے، جیومیٹری خلا کی طبعی خصوصیات کو دریافت کرتی ہے، بشمول سائز، شکل، اور اعداد و شمار کی رشتہ دار پوزیشن۔ ایک ساتھ مل کر، وہ ریاضی کی بنیاد بناتے ہیں، منطقی تعلقات کو بصری ڈھانچے میں ترجمہ کرتے ہیں۔
امکان اور اعدادوشمار ایک ہی ریاضی کے سکے کے دو رخ ہیں، جو مخالف سمتوں سے آنے والی غیر یقینی صورتحال سے نمٹتے ہیں۔ اگرچہ امکان معلوم ماڈلز کی بنیاد پر مستقبل کے نتائج کے امکان کی پیشین گوئی کرتا ہے، اعداد و شمار ان ماڈلز کی تعمیر یا تصدیق کے لیے ماضی کے ڈیٹا کا تجزیہ کرتے ہیں، بنیادی سچائی کو تلاش کرنے کے لیے مشاہدات سے پیچھے ہٹ کر مؤثر طریقے سے کام کرتے ہیں۔
اگرچہ اکثر آرام دہ گفتگو میں ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے، امکان اور مشکلات واقعہ کے امکان کو ظاہر کرنے کے دو مختلف طریقوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ امکان سازگار نتائج کی تعداد کا موازنہ امکانات کی کل تعداد سے کرتا ہے، جب کہ مشکلات موافق نتائج کی تعداد کا موازنہ براہ راست غیر موافق نتائج کی تعداد سے کرتی ہیں۔
