Në botën e matematikës, çdo funksion është një relacion, por jo çdo relacion kualifikohet si funksion. Ndërsa një relacion thjesht përshkruan çdo lidhje midis dy grupeve numrash, një funksion është një nëngrup i disiplinuar që kërkon që çdo input të çojë në saktësisht një rezultat specifik.
Çdo grup çiftesh të renditura që përcakton një lidhje midis hyrjeve dhe daljeve.
Një lloj specifik relacioni ku çdo hyrje ka një dalje të vetme dhe unike.
| Veçori | Marrëdhënie | Funksioni |
|---|---|---|
| Përkufizim | Çdo koleksion i çifteve të renditura | Një rregull që cakton një dalje për hyrje |
| Raporti Hyrje/Dalje | Lejohet një-me-shumë | Vetëm një-me-një ose shumë-me-një |
| Testi i Vijës Vertikale | Mund të dështojë (kryqet dy herë ose më shumë) | Duhet të kalohet (kryqëzohet një herë ose më pak) |
| Shembuj Grafikë | Rrathë, parabola anash, kthesa S | Linjat, parabolat lart, valët sinus |
| Fushëveprimi matematikor | Kategoria e përgjithshme | Nënkategoria e marrëdhënieve |
| Parashikueshmëria | I ulët (Shumë përgjigje të mundshme) | I lartë (Një përgjigje e caktuar) |
Dallimi kryesor qëndron në sjelljen e domenit. Në një relacion, mund të futni numrin 5 dhe të merrni përsëri 10 ose 20, duke krijuar një skenar 'një-me-shumë'. Një funksion e ndalon këtë paqartësi; nëse futni 5, duhet të merrni një rezultat të vetëm dhe të qëndrueshëm çdo herë, duke siguruar që sistemi të jetë determinist.
Mund ta dallosh menjëherë ndryshimin në një grafik duke përdorur Testin e Vijës Vertikale. Nëse mund të vizatosh një vijë vertikale kudo në grafik që prek kurbën në më shumë se një vend, po shikon një relacion. Funksionet janë më të 'aerodinamikuara' dhe nuk dyfishohen kurrë horizontalisht.
Mendoni për gjatësinë e një personi me kalimin e kohës; në çdo moshë specifike, një person ka saktësisht një gjatësi, duke e bërë atë një funksion. Anasjelltas, mendoni për një listë njerëzish dhe makinash që zotërojnë. Meqenëse një person mund të zotërojë tre makina të ndryshme, kjo lidhje është një marrëdhënie, por jo një funksion.
Funksionet janë shtyllat kryesore të analizës matematike dhe fizikës, sepse parashikueshmëria e tyre na lejon të llogarisim shkallët e ndryshimit. Ne përdorim simbolin 'f(x)' posaçërisht për funksionet për të treguar se rezultati varet vetëm nga 'x'. Marrëdhëniet janë të dobishme në gjeometri për përcaktimin e formave si elipsat që nuk ndjekin këto rregulla të rrepta.
Një funksion nuk mund të ketë dy hyrje të ndryshme që rezultojnë në të njëjtin dalje.
Kjo në fakt lejohet. Për shembull, në funksionin f(x) = x², si -2 ashtu edhe 2 rezultojnë në 4. Ky është një marrëdhënie 'shumë-me-një', e cila është plotësisht e vlefshme për një funksion.
Ekuacionet për rrathët janë funksione.
Rrathët janë marrëdhënie, jo funksione. Nëse vizatoni një vijë vertikale përmes një rrethi, ajo godet pjesën e sipërme dhe të poshtme, që do të thotë se një vlerë x ka dy vlera y.
Termat 'relacion' dhe 'funksion' mund të përdoren në mënyrë të ndërsjellë.
Ato janë terma të ndërthurur. Ndërsa mund ta quani një funksion relacion, quajtja e një relacioni të përgjithshëm funksion është matematikisht e pasaktë nëse shkel rregullin me një dalje.
Funksionet duhet të shkruhen gjithmonë si ekuacione.
Funksionet mund të përfaqësohen nga tabela, grafikë ose edhe grupe koordinatash. Për sa kohë që ruhet rregulli i 'një dalje për hyrje', formati nuk ka rëndësi.
Përdorni një relacion kur duhet të përshkruani një lidhje të përgjithshme ose një formë gjeometrike që kthehet në vetvete. Kaloni në një funksion kur keni nevojë për një model të parashikueshëm ku çdo veprim rezulton në një reagim specifik dhe të përsëritshëm.
Ndërsa algjebra përqendrohet në rregullat abstrakte të operacioneve dhe manipulimin e simboleve për të zgjidhur të panjohurat, gjeometria eksploron vetitë fizike të hapësirës, duke përfshirë madhësinë, formën dhe pozicionin relativ të figurave. Së bashku, ato formojnë themelin e matematikës, duke përkthyer marrëdhëniet logjike në struktura vizuale.
Edhe pse duken të ngjashëm dhe ndajnë të njëjtat rrënjë në analizën matematike, një derivat është një shkallë ndryshimi që përfaqëson mënyrën se si një ndryshore reagon ndaj një tjetre, ndërsa një diferencial përfaqëson një ndryshim real, infinitezimal në vetë ndryshoret. Mendoni për derivatin si 'shpejtësinë' e një funksioni në një pikë specifike dhe diferencialin si 'hapin e vogël' të ndërmarrë përgjatë vijës tangjente.
Ekuacionet dhe pabarazitë shërbejnë si gjuhët kryesore të algjebrës, megjithatë ato përshkruajnë marrëdhënie shumë të ndryshme midis shprehjeve matematikore. Ndërsa një ekuacion përcakton një ekuilibër të saktë ku dy anët janë krejtësisht identike, një pabarazi eksploron kufijtë e 'më të madh se' ose 'më të vogël se', shpesh duke zbuluar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme në vend të një vlere të vetme numerike.
Dallimi themelor midis ekuacioneve lineare dhe atyre kuadratike qëndron në 'shkallën' e ndryshores. Një ekuacion linear përfaqëson një shkallë konstante ndryshimi që formon një vijë të drejtë, ndërsa një ekuacion kuadratik përfshin një ndryshore në katror, duke krijuar një 'formë U' të lakuar që modelon marrëdhëniet në përshpejtim ose ngadalësim.
Faktoriali dhe eksponentët janë të dy operacione matematikore që rezultojnë në rritje të shpejtë numerike, por ato shkallëzohen ndryshe. Një faktorial shumëzon një sekuencë në rënie të numrave të plotë të pavarur, ndërsa një eksponent përfshin shumëzimin e përsëritur të së njëjtës bazë konstante, duke çuar në shkallë të ndryshme të përshpejtimit në funksione dhe sekuenca.
