Edhe pse duken të ngjashëm dhe ndajnë të njëjtat rrënjë në analizën matematike, një derivat është një shkallë ndryshimi që përfaqëson mënyrën se si një ndryshore reagon ndaj një tjetre, ndërsa një diferencial përfaqëson një ndryshim real, infinitezimal në vetë ndryshoret. Mendoni për derivatin si 'shpejtësinë' e një funksioni në një pikë specifike dhe diferencialin si 'hapin e vogël' të ndërmarrë përgjatë vijës tangjente.
Kufiri i raportit të ndryshimit në një funksion me ndryshimin në hyrjen e tij.
Një objekt matematik që përfaqëson një ndryshim infinitimal në një koordinatë ose ndryshore.
| Veçori | Derivat | Diferencial |
|---|---|---|
| Natyra | Një raport / shkallë ndryshimi | Një sasi e vogël / ndryshim |
| Notacioni | $dy/dx$ ose $f'(x)$ | $dy$ ose $dx$ |
| Rrethi njësi/Grafiku | Pjerrësia e vijës tangjente | Ngritja/rrjedhja përgjatë vijës tangjente |
| Lloji i ndryshueshëm | Një funksion i derivuar | Një ndryshore e pavarur/infinitezimale |
| Qëllimi kryesor | Gjetja e optimizimit/shpejtësisë | Përafrim/Integrim |
| Dimensionaliteti | Prodhimi për njësi të hyrjes | Të njëjtat njësi si vetë variabli |
Derivati është një raport—ju tregon se për çdo njësi që lëviz $x$, $y$ do të lëvizë $f'(x)$ njësi. Megjithatë, diferenciali është 'pjesa' aktuale e ndryshimit. Nëse imagjinoni një makinë që lëviz, shpejtësimatësi tregon derivatin (milje në orë), ndërsa distanca e vogël e përshkuar në një pjesë të sekondës është diferenciali.
Diferencialet janë jashtëzakonisht të dobishme për vlerësimin e vlerave pa një kalkulator. Meqenëse $dy = f'(x) dx$, nëse e dini derivatin në një pikë, mund ta shumëzoni atë me një ndryshim të vogël në $x$ për të gjetur afërsisht se sa do të ndryshojë vlera e funksionit. Kjo në mënyrë efektive përdor vijën tangjente si një zëvendësim të përkohshëm për kurbën aktuale.
Shumë studentë ngatërrohen sepse derivati shkruhet si $dy/dx$, që duket si një thyesë e dy diferencialeve. Në shumë pjesë të analizës matematike, ne e trajtojmë atë pikërisht si një thyesë - për shembull, kur 'shumëzojmë' me $dx$ për të zgjidhur ekuacionet diferenciale - por në kuptimin e ngushtë të fjalës, derivati është rezultat i një procesi limit, jo vetëm i një pjesëtimi të thjeshtë.
Në një integral si $\int f(x) dx$, $dx$ është një diferencial. Ai vepron si 'gjerësia' e pafundësisht shumë drejtkëndëshave që mbledhim për të gjetur sipërfaqen nën një kurbë. Pa diferencialin, integrali do të ishte thjesht një lartësi pa bazë, duke e bërë të pamundur llogaritjen e sipërfaqes.
Vlera $dx$ në fund të një integrali është thjesht dekorim.
Është një pjesë thelbësore e llogaritjeve. Ju tregon se me cilën variabël po integroni dhe përfaqëson gjerësinë infinitezimale të segmenteve të sipërfaqes.
Diferencialet dhe derivatet janë e njëjta gjë.
Ato janë të lidhura, por të dallueshme. Derivati është kufiri i raportit të diferencialeve. Njëra është një shpejtësi ($60$ mph), tjetra është një distancë ($0.0001$ milje).
Gjithmonë mund të anulosh $dx$ në $dy/dx$.
Edhe pse funksionon në shumë teknika hyrëse të analizës (si Rregulli i Zinxhirit), $dy/dx$ është teknikisht një operator i vetëm. Trajtimi i tij si thyesë është një shkurtim i dobishëm që mund të jetë matematikisht i rrezikshëm në analizat e nivelit të lartë.
Diferencialet janë vetëm për matematikën 2D.
Diferencialet janë thelbësore në analizën shumëvariabël, ku 'Diferenciali Total' ($dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$) gjurmon se si ndryshon një sipërfaqe në të gjitha drejtimet menjëherë.
Përdorni derivatin kur doni të gjeni pjerrësinë, shpejtësinë ose shkallën me të cilën ndryshon një sistem. Zgjidhni diferencialet kur duhet të përafroni ndryshime të vogla, të kryeni zëvendësimin u në integrale ose të zgjidhni ekuacione diferenciale ku variablat duhet të ndahen.
Ndërsa algjebra përqendrohet në rregullat abstrakte të operacioneve dhe manipulimin e simboleve për të zgjidhur të panjohurat, gjeometria eksploron vetitë fizike të hapësirës, duke përfshirë madhësinë, formën dhe pozicionin relativ të figurave. Së bashku, ato formojnë themelin e matematikës, duke përkthyer marrëdhëniet logjike në struktura vizuale.
Ekuacionet dhe pabarazitë shërbejnë si gjuhët kryesore të algjebrës, megjithatë ato përshkruajnë marrëdhënie shumë të ndryshme midis shprehjeve matematikore. Ndërsa një ekuacion përcakton një ekuilibër të saktë ku dy anët janë krejtësisht identike, një pabarazi eksploron kufijtë e 'më të madh se' ose 'më të vogël se', shpesh duke zbuluar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme në vend të një vlere të vetme numerike.
Dallimi themelor midis ekuacioneve lineare dhe atyre kuadratike qëndron në 'shkallën' e ndryshores. Një ekuacion linear përfaqëson një shkallë konstante ndryshimi që formon një vijë të drejtë, ndërsa një ekuacion kuadratik përfshin një ndryshore në katror, duke krijuar një 'formë U' të lakuar që modelon marrëdhëniet në përshpejtim ose ngadalësim.
Faktoriali dhe eksponentët janë të dy operacione matematikore që rezultojnë në rritje të shpejtë numerike, por ato shkallëzohen ndryshe. Një faktorial shumëzon një sekuencë në rënie të numrave të plotë të pavarur, ndërsa një eksponent përfshin shumëzimin e përsëritur të së njëjtës bazë konstante, duke çuar në shkallë të ndryshme të përshpejtimit në funksione dhe sekuenca.
Faktorizimi i thjeshtë është qëllimi matematik i ndarjes së një numri të përbërë në blloqet e tij themelore të ndërtimit të numrave të thjeshtë, ndërsa një pemë faktorizuese është një mjet vizual, degëzues që përdoret për të arritur atë rezultat. Ndërsa njëra është shprehja numerike përfundimtare, tjetra është udhërrëfyesi hap pas hapi që përdoret për ta zbuluar atë.
