Këndi dhe pjerrësia përcaktojnë 'pjerrësinë' e një vije, por flasin gjuhë të ndryshme matematikore. Ndërsa një kënd mat rrotullimin rrethor midis dy vijave që kryqëzohen në gradë ose radianë, pjerrësia mat 'ngritjen' vertikale në lidhje me 'rrjedhjen' horizontale si një raport numerik.
Sasia e rrotullimit midis dy vijave që takohen në një kulm të përbashkët.
Një numër që përshkruan si drejtimin ashtu edhe pjerrësinë e një vije në një plan koordinativ.
| Veçori | Kënd | Pjerrësi |
|---|---|---|
| Përfaqësimi | Rrotullimi / Shkalla e hapjes | Raporti i ndryshimit vertikal me atë horizontal |
| Njësitë Standarde | Gradë ($^\circ$) ose Radianë (rad) | Numër i pastër (Raport) |
| Formula | $\theta = \tan^{-1}(m)$ | $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| Diapazoni | $0^\circ$ deri në $360^\circ$ (zakonisht) | $-\infty$ në $+\infty$ |
| Vijë vertikale | $90^\circ$ | I papërcaktuar |
| Vijë horizontale | $0^\circ$ | 0 |
| Mjeti i përdorur | Raportues | Rrjeti koordinativ / Formula |
Lidhja midis këndit dhe pjerrësisë është funksioni tangjent. Në mënyrë specifike, pjerrësia e një vije është e barabartë me tangjenten e këndit që ajo formon me boshtin pozitiv x ($m = \tan \theta$). Kjo do të thotë që ndërsa një kënd i afrohet 90 gradëve, pjerrësia rritet drejt pafundësisë sepse 'rrjedhja' (distanca horizontale) zhduket.
Pjerrësia dhe këndi nuk ndryshojnë me të njëjtën shpejtësi. Nëse dyfishoni një kënd nga $10^\circ$ në $20^\circ$, pjerrësia më shumë se dyfishohet. Ndërsa i afroheni një pozicioni vertikal, ndryshimet e vogla në kënd shkaktojnë ndryshime masive dhe shpërthyese në pjerrësi. Kjo është arsyeja pse një kënd $45^\circ$ ka një pjerrësi të thjeshtë prej 1, por një kënd $89^\circ$ ka një pjerrësi mbi 57.
Pjerrësia ju tregon me një shikim nëse një vijë po shkon lart (pozitive) apo poshtë (negative) ndërsa lëvizni nga e majta në të djathtë. Këndet gjithashtu mund të tregojnë drejtimin, por ato zakonisht kërkojnë një sistem referimi - si 'pozicioni standard' duke filluar nga boshti pozitiv x - për të dalluar midis një pjerrësi prej $30^\circ$ dhe një rënieje prej $30^\circ$.
Arkitektët dhe marangozët shpesh përdorin kënde kur presin trarët ose kur caktojnë pjerrësinë e një çatie me një sharrë këndore. Inxhinierët civilë, megjithatë, preferojnë pjerrësinë (shpesh të quajtur 'gradë') kur projektojnë rrugë ose rampa për karrige me rrota. Një rampë me një pjerrësi 1:12 është më e lehtë për t'u llogaritur në vend duke matur lartësinë dhe gjatësinë sesa duke u përpjekur të matni një shkallë specifike të pjerrësisë.
Një pjerrësi prej 1 do të thotë një kënd prej $1^\circ$.
Ky është një gabim i zakonshëm për fillestarët. Një pjerrësi prej 1 në fakt korrespondon me një kënd prej $45^\circ$, sepse në $45^\circ$, ngritja dhe vrapimi janë saktësisht të barabarta ($1/1$).
Pjerrësia dhe pjerrësia janë e njëjta gjë.
Ato janë shumë afër, por 'Pjesë' zakonisht është pjerrësia e shprehur si përqindje. Një pjerrësi prej 0.05 është një pjerrësi prej 5%.
Këndet negative nuk ekzistojnë.
Në trigonometri, një kënd negativ thjesht do të thotë që po rrotulloheni në drejtim të akrepave të orës në vend të drejtimit standard kundër akrepave të orës. Kjo korrespondon në mënyrë të përkryer me një pjerrësi negative.
Një pjerrësi e papërcaktuar do të thotë që vija nuk ka kënd.
Një pjerrësi e papërcaktuar ndodh saktësisht në $90^\circ$ (ose $270^\circ$). Këndi ekziston dhe është plotësisht i matshëm, por 'rrjedhja' është zero, duke e bërë të pamundur llogaritjen e fraksionit të pjerrësisë.
Përdorni këndin kur keni të bëni me rrotullime, pjesë mekanike ose forma gjeometrike ku marrëdhënia midis vijave të shumëfishta është thelbësore. Zgjidhni pjerrësinë kur punoni brenda një sistemi koordinativ, llogaritni shkallën e ndryshimit në analizë ose projektoni pjerrësi fizike si rrugë dhe rampa.
Ndërsa algjebra përqendrohet në rregullat abstrakte të operacioneve dhe manipulimin e simboleve për të zgjidhur të panjohurat, gjeometria eksploron vetitë fizike të hapësirës, duke përfshirë madhësinë, formën dhe pozicionin relativ të figurave. Së bashku, ato formojnë themelin e matematikës, duke përkthyer marrëdhëniet logjike në struktura vizuale.
Edhe pse duken të ngjashëm dhe ndajnë të njëjtat rrënjë në analizën matematike, një derivat është një shkallë ndryshimi që përfaqëson mënyrën se si një ndryshore reagon ndaj një tjetre, ndërsa një diferencial përfaqëson një ndryshim real, infinitezimal në vetë ndryshoret. Mendoni për derivatin si 'shpejtësinë' e një funksioni në një pikë specifike dhe diferencialin si 'hapin e vogël' të ndërmarrë përgjatë vijës tangjente.
Ekuacionet dhe pabarazitë shërbejnë si gjuhët kryesore të algjebrës, megjithatë ato përshkruajnë marrëdhënie shumë të ndryshme midis shprehjeve matematikore. Ndërsa një ekuacion përcakton një ekuilibër të saktë ku dy anët janë krejtësisht identike, një pabarazi eksploron kufijtë e 'më të madh se' ose 'më të vogël se', shpesh duke zbuluar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme në vend të një vlere të vetme numerike.
Dallimi themelor midis ekuacioneve lineare dhe atyre kuadratike qëndron në 'shkallën' e ndryshores. Një ekuacion linear përfaqëson një shkallë konstante ndryshimi që formon një vijë të drejtë, ndërsa një ekuacion kuadratik përfshin një ndryshore në katror, duke krijuar një 'formë U' të lakuar që modelon marrëdhëniet në përshpejtim ose ngadalësim.
Faktoriali dhe eksponentët janë të dy operacione matematikore që rezultojnë në rritje të shpejtë numerike, por ato shkallëzohen ndryshe. Një faktorial shumëzon një sekuencë në rënie të numrave të plotë të pavarur, ndërsa një eksponent përfshin shumëzimin e përsëritur të së njëjtës bazë konstante, duke çuar në shkallë të ndryshme të përshpejtimit në funksione dhe sekuenca.
