Tangenss un kotangenss ir apgrieztas trigonometriskās funkcijas, kas apraksta taisnleņķa trijstūra kāju attiecības. Tangenss koncentrējas uz pretējās malas attiecību pret blakus esošo malu, savukārt kotangenss apgriež šo perspektīvu, norādot blakus esošās malas attiecību pret pretējo malu.
Leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu, kas attēlo līnijas slīpumu.
Tangences funkcijas apgrieztā vērtība, kas attēlo kosinusa un sinusa attiecību.
| Funkcija | Tangents (tangents) | Kotangenss (gultiņa) |
|---|---|---|
| Trigonometriskā attiecība | sin(x) / cos(x) | cos(x) / sin(x) |
| Trijstūra attiecība | Pretējā/blakus | Blakus / pretī |
| Nenoteikts plkst. | π/2 + nπ | nπ |
| Vērtība pie 45° | 1 | 1 |
| Funkcija Virziens | Pieaugošs (starp asimptotēm) | Dilstošs (starp asimptotēm) |
| Atvasinājums | sek²(x) | -csc²(x) |
| Savstarpējas attiecības | 1 / bērnu gultiņa(x) | 1 / iedegums(x) |
Tangensam un kotangensam ir divas atšķirīgas saites. Pirmkārt, tie ir apgriezti lielumi; ja leņķa tangenss ir 3/4, tad kotangenss automātiski ir 4/3. Otrkārt, tie ir kofunkcijas, kas nozīmē, ka viena leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir tieši otra netaisnā leņķa kotangenss.
Tangenss ir slavens ar savu uz augšu vērsto formu, kas atkārtojas starp vertikālām sienām, ko sauc par asimptotēm. Kotangenss izskatās diezgan līdzīgs, bet atspoguļo virzienu, izliekoties uz leju, virzoties no kreisās puses uz labo. Tā kā to nedefinētie punkti ir nobīdīti, tur, kur tangensam ir asimptote, kotangensam bieži ir nulles šķērsojums.
Koordinātu plaknē pieskare ir intuitīvākais veids, kā aprakstīt līnijas, kas iet caur sākumpunktu, "stāvumu" vai slīpumu. Kotangenss, lai gan retāk sastopams pamata slīpuma aprēķinos, ir svarīgs ģeodēzijā un navigācijā, ja vertikālais kāpums ir zināma konstante un horizontālais attālums ir mainīgais, kas jāatrisina.
Runājot par izmaiņu ātrumiem, tangenss ir saistīts ar sekanta funkciju, savukārt kotangenss ir saistīts ar kosekanta funkciju. To atvasinājumi un integrāļi atspoguļo šo simetriju, kotangensam savās darbībās bieži vien uzņemot negatīvu zīmi, atspoguļojot uzvedību, kas novērojama sinusa un kosinusa attiecībās.
Tangensam un kotangensam ir 360 grādu periods.
Atšķirībā no sinusa un kosinusa, tangenss un kotangenss atkārto savus ciklus ik pēc 180 grādiem (π radiāniem). Tas ir tāpēc, ka x un y attiecība atkārtojas ik pēc pusapļa.
Kotangenss ir tikai apgrieztais tangenss ($tan^{-1}$).
Šis ir galvenais neskaidrības iemesls. Kotangenss ir *reizinošā inversā funkcija* ($1/tan$), savukārt $tan^{-1}$ (arktans) ir *inversā funkcija*, ko izmanto, lai no attiecības atrastu leņķi.
Kotangenss mūsdienu matemātikā tiek izmantots reti.
Lai gan kalkulatoros bieži vien nav īpašas pogas “gultiņa”, šī funkcija ir būtiska augstāka līmeņa aprēķinos, polārajās koordinātēs un kompleksā analīzē.
Tangenci var izmantot tikai leņķiem no 0 līdz 90 grādiem.
Tangenss ir definēts gandrīz visiem reālajiem skaitļiem, lai gan dažādos kvadrantos tas uzvedas atšķirīgi, uzrādot pozitīvas vērtības I un III kvadrantā.
Izmantojiet pieskari, aprēķinot slīpumus vai nosakot vertikālo augstumu, pamatojoties uz horizontālo attālumu. Izvēlieties kotangensu, ja aprēķinos strādājat ar abpusējām identitātēm vai ja trijstūra "pretējā" mala ir zināmais atskaites garums.
Lai gan ievadmatemātikā absolūtā vērtība bieži tiek lietota kā sinonīms, tā parasti attiecas uz reālā skaitļa attālumu no nulles, savukārt modulis paplašina šo jēdzienu, iekļaujot kompleksos skaitļus un vektorus. Abiem ir viens un tas pats pamatmērķis: noņemt virziena zīmes, lai atklātu matemātiskas vienības tīro lielumu.
Kamēr algebra koncentrējas uz abstraktiem darbību noteikumiem un simbolu manipulācijām, lai atrisinātu nezināmos, ģeometrija pēta telpas fizikālās īpašības, tostarp figūru izmēru, formu un relatīvo novietojumu. Kopā tie veido matemātikas pamatu, pārvēršot loģiskās attiecības vizuālās struktūrās.
Lai gan apli nosaka viens centra punkts un nemainīgs rādiuss, elipse paplašina šo koncepciju līdz diviem fokusa punktiem, radot iegarenu formu, kur attālumu summa līdz šiem fokusiem paliek nemainīga. Katrs aplis tehniski ir īpašs elipses veids, kur abi fokusi perfekti pārklājas, padarot tos par visciešāk saistītajām figūrām koordinātu ģeometrijā.
Aritmētiskās un ģeometriskās secības būtībā ir divi dažādi veidi, kā palielināt vai samazināt skaitļu sarakstu. Aritmētiskā secība mainās vienmērīgā, lineārā tempā, veicot saskaitīšanu vai atņemšanu, savukārt ģeometriskā secība paātrinās vai palēninās eksponenciāli, veicot reizināšanu vai dalīšanu.
Aritmētiskais vidējais katru datu punktu uzskata par vienlīdzīgu ieguldījumu galīgajā vidējā vērtībā, savukārt svērtais vidējais piešķir noteiktus svarīguma līmeņus dažādām vērtībām. Šīs atšķirības izpratne ir ļoti svarīga visam, sākot no vienkāršu klases vidējo vērtību aprēķināšanas līdz sarežģītu finanšu portfeļu noteikšanai, kur dažiem aktīviem ir lielāka nozīme nekā citiem.
