trigonometrijamatemātiskā analīzeģeometrijaviļņi

Sinuss pret kosinusu

Sinuss un kosinuss ir trigonometrijas pamatelementi, kas attēlo punkta horizontālās un vertikālās koordinātas, pārvietojoties pa vienības riņķa līniju. Lai gan tiem ir vienāda periodiska forma un īpašības, tos atšķir 90 grādu fāzes nobīde, kur sinuss sākas no nulles, bet kosinuss - no maksimālās vērtības.

Iezīmes

Sinuss un kosinuss ir identiski viļņi, kas nobīdīti par 90 grādiem viens no otra.
Sinuss izseko vertikālo kustību; kosinuss izseko horizontālo kustību.
To kvadrātu summa vienmēr ir tieši viens ($sin^2(x) + cos^2(x) = 1$).
Kosinuss ir simetrisks pāri y asij, savukārt sinusam ir rotācijas simetrija.

Kas ir Sinuss (sinuss)?

Trigonometriskā funkcija, kas attēlo punkta y koordinātu uz vienības riņķa līnijas.

Taisnleņķa trijstūrī tā ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu.
Funkcija ir nepāra, kas nozīmē, ka sin(-x) ir vienāds ar -sin(x).
Tas sākas ar vērtību 0, ja leņķis ir 0 grādi.
Sinusa funkcijas atvasinājums ir kosinusa funkcija.
Tas sasniedz savu maksimālo vērtību 1 pie 90 grādiem (π/2 radiāni).

Kas ir Kosinuss (cos)?

Trigonometriskā funkcija, kas attēlo punkta x koordinātu uz vienības riņķa līnijas.

Taisnleņķa trijstūrī tā ir blakus esošās malas attiecība pret hipotenūzu.
Funkcija ir pāra skaitlis, kas nozīmē, ka cos(-x) ir vienāds ar cos(x).
Tas sākas ar maksimālo vērtību 1, kad leņķis ir 0 grādi.
Kosinusa funkcijas atvasinājums ir negatīvā sinusa funkcija.
Tas šķērso x asi (vērtība 0) 90 grādu leņķī (π/2 radiāni).

Salīdzinājuma tabula

Funkcija	Sinuss (sinuss)	Kosinuss (cos)
Vienības apļa vērtība	y koordināta	x koordināta
Vērtība pie 0°	0	1
Vērtība pie 90°	1	0
Paritāte	Nepāra funkcija	Pāra funkcija
Labā trijstūra attiecība	Pretējā / hipotenūza	Blakus esošā / hipotenūza
Atvasinājums	cos(x)	-sin(x)
Integrāls	-cos(x) + C	sin(x) + C

Detalizēts salīdzinājums

Vienības apļa savienojums

Vizualizējot punktu, kas pārvietojas pa apli ar rādiusu viens, sinuss un kosinuss izseko tā pozīciju. Sinuss mēra, cik tālu punkts atrodas uz augšu vai uz leju no centra, savukārt kosinuss izseko, cik tālu pa kreisi vai pa labi tas ir pārvietojies. Tā kā abi apraksta vienu un to pašu apļveida kustību, tie būtībā ir viens un tas pats vilnis, tikai skatoties no dažādiem sākuma punktiem.

Fāzes nobīde un viļņu formas

Ja uzzīmēsiet abas funkcijas grafikā, redzēsiet divus identiskus "S" formas viļņus, kas atkārtojas ik pēc 360 grādiem. Vienīgā atšķirība ir tā, ka kosinusa vilnis izskatās nobīdīts pa kreisi par 90 grādiem salīdzinājumā ar sinusa vilni. Tehniskā terminoloģijā mēs sakām, ka to fāze ir nobīdīta par π/2 radiāniem, padarot tās par viena otras "līdzfunkcijām".

Taisnā trijstūra trigonometrija

Ikvienam, kurš apgūst ģeometrijas pamatus, šīs funkcijas nosaka taisnleņķa trijstūra malas. Sinuss koncentrējas uz malu, kas atrodas "pretējā" leņķī, uz kuru skatāties, savukārt kosinuss koncentrējas uz "blakus" malu, kas palīdz veidot leņķi. Abas funkcijas kā saucēju izmanto hipotenūzu, nodrošinot, ka to vērtības paliek starp -1 un 1.

Aprēķins un izmaiņu ātrumi

Aprēķinos šīm funkcijām ir skaista, apļveida saistība, izmantojot diferenciāciju. Sinusa vērtībai palielinoties, tās izmaiņu ātrumu precīzi apraksta kosinusa vērtība. Un otrādi, mainoties kosinusam, tā izmaiņu ātrums atbilst spoguļattēlam sinusa modelim. Tas padara tās neaizstājamas jebkura svārstoša, piemēram, skaņas viļņu vai svārsta, modelēšanai.

Priekšrocības un trūkumi

Sinuss

Iepriekšējumi

+ Vienkārša izcelsmes sākšana
+ Vertikālo viļņu modeļi
+ Vienkāršo sinusu likumu
+ Tieša augstuma kartēšana

Ievietots

− Fāzes aizturi maksimumiem
− Nepieciešamas zīmju pārbaudes
− Nepāra simetrijas sarežģītība
− Mazāk intuitīvs platuma ziņā

Kosinuss

Iepriekšējumi

+ Sākas maksimālās slodzes laikā
+ Modeļu horizontālais platums
+ Kosinusu likuma lietderība
+ Pat simetrijas vienkāršība

Ievietots

− Šķērso nulli pie π/2
− Negatīvs atvasinājums
− Sarežģītāka vertikālā kartēšana
− Nobīde no izcelsmes vietas

Biežas maldības

Mīts

Sinuss un kosinuss ir pilnīgi dažādi viļņu veidi.

Realitāte

Tās patiesībā ir viena un tā pati matemātiska forma, kas pazīstama kā sinusoīds. Ja sinusoīdu nobīda par 90 grādiem, tas perfekti kļūst par kosinusa vilni.

Mīts

Tos var izmantot tikai trijstūriem ar 90 grādu leņķiem.

Realitāte

Lai gan tos māca, izmantojot taisnleņķa trijstūrus, sinuss un kosinuss ir jebkura leņķa funkcijas un tiek izmantoti, lai noteiktu malu garumus visu formu trijstūros.

Mīts

Sinuss vienmēr apzīmē 'y', un kosinuss vienmēr apzīmē 'x'.

Realitāte

Standarta polārajās koordinātēs tas ir taisnība. Tomēr, ja pagriežat koordinātu sistēmu, varat piešķirt jebkuru funkciju jebkurai asij atkarībā no tā, no kurienes mērāt leņķi.

Mīts

Sinusa un kosinusa vērtības var būt lielākas par vienu.

Realitāte

Reāli skaitītu leņķu gadījumā vērtības ir stingri iesprostotas starp -1 un 1. Tikai komplekso skaitļu jomā šīs funkcijas var pārsniegt šīs robežas.

Bieži uzdotie jautājumi

Kāpēc to sauc par "kosinusu"?

“Ko-” apzīmē komplementāro leņķa leņķi. Leņķa kosinuss burtiski ir tā komplementārā leņķa sinuss (leņķis, kura summa ir 90 grādi). Piemēram, 30 grādu kosinuss ir tieši tāds pats kā 60 grādu sinuss.

Kas ir Pitagora identitāte?

Tā ir formula $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Tā izriet tieši no Pitagora teorēmas, kas piemērota vienības riņķa līnijai, kur hipotenūza ir 1, un kājiņas ir sinusa un kosinusa vērtības.

Kā atcerēties, kurš ir kurš trijstūrī?

Lielākā daļa studentu izmanto mnemoniku SOH CAH TOA. SOH apzīmē sinusu = pretējo pusi / hipotenūzu, un CAH apzīmē kosinusu = blakus esošo pusi / hipotenūzu. Ja atceraties, ka “A” ir “blakus esošais”, kosinusu vienmēr savienosiet pārī ar malu, kas pieskaras leņķim.

Kur šie tiek izmantoti reālajā dzīvē?

Tie ir visur inženierzinātnēs un fizikā. Sinuss un kosinuss tiek izmantoti audio signālu apstrādei, tiltu projektēšanai, lai tie izturētu vēju, planētu trajektoriju aprēķināšanai un pat grafikas programmēšanai iecienītākajās videospēlēs.

Kas notiek 45 grādu temperatūrā?

45 grādu leņķī (jeb π/4 radiānos) sinuss un kosinuss ir pilnīgi vienādi. Abu vērtība ir $\frac{\sqrt{2}}{2}$, kas ir aptuveni 0,707. Tas ir tāpēc, ka 45 grādu taisnleņķa trijstūris ir vienādsānu, kas nozīmē, ka tā abas kājas ir vienāda garuma.

Kura no tām ir pāra skaitļa funkcija?

Kosinuss ir pāra funkcija. Tas nozīmē, ka, ja ievadāt negatīvu leņķi, iegūstat tādu pašu rezultātu kā ar pozitīvu versiju ($cos(-45) = cos(45)$). Sinuss ir nepāra funkcija, tāpēc zīme mainās ($sin(-45) = -sin(45)$).

Vai sinuss un kosinuss var vienlaikus būt nulle?

Nē, tie abi nekad nevar būt nulle vienam un tam pašam leņķim. Pitagora identitātes dēļ, ja viens ir nulle, otram jābūt vai nu 1, vai -1, lai izpildītu vienādojumu.

Kā tie ir saistīti ar tangentu?

Tangenss ir vienkārši sinusa un kosinusa attiecība. Tas attēlo līnijas slīpumu uz vienības riņķa līnijas. Kad kosinuss ir nulle, tangenss kļūst nedefinēts, kas izskaidro, kāpēc tangentes grafikam ir vertikālas asimptotes.

Kāds ir šo funkciju periods?

Gan sinusam, gan kosinusam ir standarta periods 360 grādi jeb 2π radiāni. Tas nozīmē, ka vilnis atkārto visu savu ciklu katru reizi, kad leņķis veic vienu pilnu apli ap apli.

Vai fizikā biežāk tiek izmantots sinuss vai kosinuss?

Abi tiek izmantoti vienādi, taču izvēle bieži vien ir atkarīga no sākuma punkta. Ja svārsts tiek atlaists no tā augstākā punkta, parasti izmanto kosinusu. Ja tas sāk kustēties no tā zemākā punkta (miera stāvokļa), parasti izmanto sinusu.

Spriedums

Izmantojiet sinusu, ja jums ir darīšana ar vertikāliem augstumiem, vertikāliem spēkiem vai svārstībām, kas sākas no neitrāla viduspunkta. Izvēlieties kosinusu, mērot horizontālus attālumus, sānu projekcijas vai ciklus, kas sākas ar maksimālo virsotni.

Saistītie salīdzinājumi

Absolūtā vērtība pret moduli

Lai gan ievadmatemātikā absolūtā vērtība bieži tiek lietota kā sinonīms, tā parasti attiecas uz reālā skaitļa attālumu no nulles, savukārt modulis paplašina šo jēdzienu, iekļaujot kompleksos skaitļus un vektorus. Abiem ir viens un tas pats pamatmērķis: noņemt virziena zīmes, lai atklātu matemātiskas vienības tīro lielumu.

Algebra pret ģeometriju

Kamēr algebra koncentrējas uz abstraktiem darbību noteikumiem un simbolu manipulācijām, lai atrisinātu nezināmos, ģeometrija pēta telpas fizikālās īpašības, tostarp figūru izmēru, formu un relatīvo novietojumu. Kopā tie veido matemātikas pamatu, pārvēršot loģiskās attiecības vizuālās struktūrās.

Aplis pret elipsi

Lai gan apli nosaka viens centra punkts un nemainīgs rādiuss, elipse paplašina šo koncepciju līdz diviem fokusa punktiem, radot iegarenu formu, kur attālumu summa līdz šiem fokusiem paliek nemainīga. Katrs aplis tehniski ir īpašs elipses veids, kur abi fokusi perfekti pārklājas, padarot tos par visciešāk saistītajām figūrām koordinātu ģeometrijā.

Aritmētiskā pret ģeometrisko secību

Aritmētiskās un ģeometriskās secības būtībā ir divi dažādi veidi, kā palielināt vai samazināt skaitļu sarakstu. Aritmētiskā secība mainās vienmērīgā, lineārā tempā, veicot saskaitīšanu vai atņemšanu, savukārt ģeometriskā secība paātrinās vai palēninās eksponenciāli, veicot reizināšanu vai dalīšanu.

Aritmētiskais vidējais pret svērto vidējo

Aritmētiskais vidējais katru datu punktu uzskata par vienlīdzīgu ieguldījumu galīgajā vidējā vērtībā, savukārt svērtais vidējais piešķir noteiktus svarīguma līmeņus dažādām vērtībām. Šīs atšķirības izpratne ir ļoti svarīga visam, sākot no vienkāršu klases vidējo vērtību aprēķināšanas līdz sarežģītu finanšu portfeļu noteikšanai, kur dažiem aktīviem ir lielāka nozīme nekā citiem.