Mitas
Sinusas ir kosinusas yra visiškai skirtingi bangų tipai.
Realybė
Jie iš tikrųjų yra ta pati matematinė forma, vadinama sinusoidu. Jei sinusoidę pastumsite 90 laipsnių, ji idealiai taps kosinusine banga.
trigonometrijaskaičiavimasgeometrijabangos
Sinusas ir kosinusas
Sinusas ir kosinusas yra pagrindiniai trigonometrijos elementai, vaizduojantys horizontalias ir vertikalias taško, judančio vienetiniu apskritimu, koordinates. Nors jie turi tą pačią periodinę formą ir savybes, juos skiria 90 laipsnių fazės poslinkis, kai sinusas prasideda nuo nulio, o kosinusas – nuo didžiausios vertės.
Akcentai
- Sinusas ir kosinusas yra identiškos bangos, pasislinkusios 90 laipsnių kampu viena nuo kitos.
- Sinusas seka vertikalų judėjimą; kosinusas seka horizontalų judėjimą.
- Jų kvadratų suma visada lygi lygiai vienetui ($sin^2(x) + cos^2(x) = 1$).
- Kosinusas yra simetriškas y ašies atžvilgiu, o sinusas turi sukimosi simetriją.
Kas yra Sinusas (sinusas)?
Trigonometrinė funkcija, vaizduojanti taško y koordinatę vienetiniame apskritime.
- Stačiajame trikampyje tai yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis.
- Funkcija yra nelyginė, tai reiškia, kad sin(-x) lygi -sin(x).
- Jis prasideda nuo 0 reikšmės, kai kampas yra 0 laipsnių.
- Sinusinės funkcijos išvestinė yra kosinusinė funkcija.
- Didžiausia 1 vertė pasiekiama esant 90 laipsnių kampu (π/2 radianai).
Kas yra Kosinusas (cos)?
Trigonometrinė funkcija, vaizduojanti taško x koordinatę vienetiniame apskritime.
- Stačiajame trikampyje tai yra gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis.
- Funkcija yra lyginė, tai reiškia, kad cos(-x) yra lygi cos(x).
- Jis prasideda nuo maksimalios vertės 1, kai kampas yra 0 laipsnių.
- Kosinuso funkcijos išvestinė yra neigiama sinuso funkcija.
- Jis kerta x ašį (0 reikšmė) 90 laipsnių kampu (π/2 radianų).
Palyginimo lentelė
| Funkcija | Sinusas (sinusas) | Kosinusas (cos) |
|---|---|---|
| Vieneto apskritimo vertė | y koordinatė | x koordinatė |
| Vertė esant 0° | 0 | 1 |
| Vertė ties 90° kampu | 1 | 0 |
| Paritetas | Nelyginė funkcija | Lyginė funkcija |
| Stačiojo trikampio santykis | Priešinga / hipotenuzė | Gretima / hipotenuzė |
| Išvestinė priemonė | cos(x) | -sin(x) |
| Integralas | -cos(x) + C | sin(x) + C |
Išsamus palyginimas
Vieneto apskritimo jungtis
Kai vizualizuojate tašką, judantį apskritimu, kurio spindulys lygus vienetui, sinusas ir kosinusas seka jo padėtį. Sinusas matuoja, kiek taškas yra nuo centro aukštyn arba žemyn, o kosinusas rodo, kiek jis pasislinko į kairę arba į dešinę. Kadangi abu jie apibūdina tą patį sukamąjį judėjimą, jie iš esmės yra ta pati banga, tik žiūrima iš skirtingų pradinių taškų.
Fazės poslinkis ir bangų formos
Jei nubraižysite abiejų funkcijų grafiką, pamatysite dvi identiškas „S“ formos bangas, kurios pasikartoja kas 360 laipsnių. Vienintelis skirtumas yra tas, kad kosinuso banga atrodo lyg būtų pasislinkusi į kairę 90 laipsnių, palyginti su sinuso banga. Techniškai kalbant, sakome, kad jų fazė skiriasi π/2 radianais, todėl jos yra viena kitos „kofunkcijos“.
Stačiojo trikampio trigonometrija
Visiems, besimokantiems pagrindinės geometrijos, šios funkcijos apibrėžiamos stačiojo trikampio kraštinėmis. Sinusas fokusuojasi į kraštinę, esančią „priešingą“ kampui, į kurį žiūrite, o kosinusas – į „gretimą“ kraštinę, kuri padeda suformuoti kampą. Abi funkcijos naudoja įžambinę kaip vardiklį, užtikrindamos, kad jų vertės išliktų tarp -1 ir 1.
Skaičiavimas ir pokyčių tempai
Skaičiuojant šias funkcijas, diferencijavimo būdu jos turi gražų, ciklinį ryšį. Sinuso vertei didėjant, jos kitimo greitį puikiai apibūdina kosinuso vertė. Ir atvirkščiai, kosinusui keičiantis, jo kitimo greitis atitinka veidrodinį sinuso modelį. Dėl to jos yra nepakeičiamos modeliuojant bet ką, kas svyruoja, pavyzdžiui, garso bangas ar švytuokles.
Privalumai ir trūkumai
Sinusas
Privalumai
- + Lengva kilmės pradžia
- + Vertikalių bangų modeliai
- + Supaprastina sinusų dėsnį
- + Tiesioginis aukščio nustatymas
Pasirinkta
- − Fazės atsilikimas pikų atveju
- − Reikalingas ženklų patikrinimas
- − Neįprastas simetrijos sudėtingumas
- − Mažiau intuityvus pločiams
Kosinusas
Privalumai
- + Prasideda piko metu
- + Modelių horizontalus plotis
- + Kosinusų dėsnio naudingumas
- + Net simetrijos paprastumas
Pasirinkta
- − Kerta nulį ties π/2
- − Neigiama išvestinė
- − Sunkesnis vertikalus žemėlapių sudarymas
- − Poslinkis nuo kilmės
Dažni klaidingi įsitikinimai
Mitas
Juos galite naudoti tik trikampiams, kurių kampai yra 90 laipsnių.
Realybė
Nors jie mokomi naudojant stačiuosius trikampius, sinusas ir kosinusas yra bet kurio kampo funkcijos ir naudojami sprendžiant visų formų trikampių kraštinių ilgius.
Mitas
Sinusas visada žymi „y“, o kosinusas – „x“.
Realybė
Standartinėse poliarinėse koordinatėse tai tiesa. Tačiau, jei pasukate koordinačių sistemą, galite priskirti bet kurią funkciją bet kuriai ašiai, priklausomai nuo to, iš kur matuojate kampą.
Mitas
Sinuso ir kosinuso vertės gali būti didesnės už vienetą.
Realybė
Realiųjų skaičių kampų reikšmės griežtai įstrigusios tarp -1 ir 1. Tik kompleksinių skaičių srityje šios funkcijos gali peržengti šias ribas.
Dažnai užduodami klausimai
Kodėl jis vadinamas „kosinusu“?
„Co-“ reiškia komplementarųjį. Kampo kosinusas yra tiesiogine prasme jį papildančiojo kampo sinusas (kampas, kurio suma lygi 90 laipsnių). Pavyzdžiui, 30 laipsnių kosinusas yra lygiai toks pat kaip 60 laipsnių sinusas.
Kas yra Pitagoro tapatybė?
Tai formulė $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Ji tiesiogiai kilusi iš Pitagoro teoremos, pritaikytos vienetiniam apskritimui, kur hipotenuzė lygi 1, o kojos yra sinuso ir kosinuso reikšmės.
Kaip prisiminti, kuris yra kuris trikampyje?
Dauguma mokinių naudoja mnemoninę formulę SOH CAH TOA. SOH reiškia sinusas = priešinga pusė / hipotenuzė, o CAH reiškia kosinusas = gretima pusė / hipotenuzė. Jei prisimenate, kad „A“ reiškia „gretima pusė“, kosinusą visada susiesite su kampu besiliečiančia kraštine.
Kur šie dalykai naudojami realiame gyvenime?
Jie yra visur inžinerijoje ir fizikoje. Sinusas ir kosinusas naudojami garso signalams apdoroti, tiltams, atlaikantiems vėją, projektuoti, planetų trajektorijoms apskaičiuoti ir net mėgstamų vaizdo žaidimų grafikai programuoti.
Kas nutinka esant 45 laipsnių temperatūrai?
Esant 45 laipsnių kampui (arba π/4 radianams), sinusas ir kosinusas yra visiškai lygūs. Abiejų reikšmės yra $\frac{\sqrt{2}}{2}$, t. y. maždaug 0,707. Taip yra todėl, kad 45 laipsnių stačiakampis trikampis yra lygiašonis, o tai reiškia, kad jo abi kraštinės yra vienodo ilgio.
Kuri iš jų yra lyginė funkcija?
Kosinusas yra lyginė funkcija. Tai reiškia, kad įvedus neigiamą kampą, gausite tą patį rezultatą, kaip ir įvedus teigiamą versiją ($cos(-45) = cos(45)$). Sinusas yra nelyginė funkcija, todėl ženklas apsiverčia ($sin(-45) = -sin(45)$).
Ar sinusas ir kosinusas gali būti lygūs nuliui tuo pačiu metu?
Ne, jie abu niekada negali būti lygūs nuliui tam pačiam kampui. Dėl Pitagoro tapatybės, jei vienas lygus nuliui, kitas turi būti lygus 1 arba -1, kad būtų patenkinta lygtis.
Kaip jie susiję su tangentu?
Tangentė yra tiesiog sinuso ir kosinuso santykis. Ji žymi tiesės nuolydį vienetiniame apskritime. Kai kosinusas lygus nuliui, tangentė tampa neapibrėžta, o tai paaiškina, kodėl tangentinės grafike yra vertikalių asimptočių.
Koks šių funkcijų periodas?
Sinuso ir kosinuso standartinis periodas yra 360 laipsnių arba 2π radianai. Tai reiškia, kad banga kartoja visą savo ciklą kiekvieną kartą, kai kampas atlieka vieną pilną apsisukimą aplink apskritimą.
Fizikoje dažniau naudojamas sinusas ar kosinusas?
Abu naudojami vienodai, tačiau pasirinkimas dažnai priklauso nuo pradinio taško. Jei švytuoklė paleidžiama iš aukščiausio taško, paprastai naudojamas kosinusas. Jei ji pradeda judėti iš žemiausio taško (ramybės), paprastai naudojamas sinusas.
Nuosprendis
Sinusą naudokite, kai matuojate vertikalius aukščius, vertikalias jėgas arba svyravimus, prasidedančius nuo neutralaus vidurio taško. Kosinusą rinkitės matuodami horizontalius atstumus, šonines projekcijas arba ciklus, prasidedančius nuo didžiausio taško.
Susiję palyginimai
Absoliuti vertė ir modulis
Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.
Algebra ir geometrija
Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.
Apskritimas ir elipsė
Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.
Aritmetinė ir geometrinė seka
Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.
Aritmetinis vidurkis ir svertinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.