Nors realieji skaičiai apima visas vertes, kurias paprastai naudojame fiziniam pasauliui matuoti – nuo sveikųjų skaičių iki begalinių dešimtainių trupmenų – kompleksiniai skaičiai praplečia šį horizontą, įvesdami menamąjį vienetą $i$. Šis papildymas leidžia matematikams spręsti lygtis, kurios neturi realiųjų sprendinių, ir sukuria dvimatę skaičių sistemą, kuri yra būtina šiuolaikinei fizikai ir inžinerijai.
Visų racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių, kuriuos galima rasti ištisinėje vienmatėje skaičių tiesėje, aibė.
Skaičiai, išreikšti forma $a + bi$, kur $a$ ir $b$ yra realieji skaičiai, o $i$ yra menamasis vienetas.
| Funkcija | Tikrieji skaičiai | Kompleksiniai skaičiai |
|---|---|---|
| Bendra forma | $x$ (kur $x$ yra bet kokia realioji reikšmė) | $a + bi$ (kur $i = ∫qrt{-1}$) |
| Matmuo | 1D (skaičių tiesė) | 2D (kompleksinė plokštuma) |
| Skaičiaus kvadratas | Visada neneigiamas ($x^2 \geq 0$) | Gali būti neigiamas (pvz., $(2i)^2 = -4$) |
| Užsakymas | Galima užsisakyti (1 USD < 2 USD < 3 USD) | Nėra standartinio „daugiau nei“ arba „mažiau nei“ ryšio |
| Komponentai | Grynai tikra | Realioji ir įsivaizduojamoji dalys |
| Fizinė intuicija | Tiesiogiai išmatuojami kiekiai | Apibūdina sukimąsi, fazę ir svyravimus |
Realieji skaičiai gyvena paprastoje tiesioje linijoje, kuri abiem kryptimis tęsiasi iki begalybės. Tačiau kompleksiniams skaičiams egzistuoti reikalinga visa plokštuma; realioji dalis judina jus į kairę arba į dešinę, o menamoji dalis judina jus aukštyn arba žemyn. Šis perėjimas iš vienmatės į dvimatę erdvę yra esminis šuolis, dėl kurio sudėtinga matematika yra tokia galinga.
Jei bandysite rasti -9 kvadratinę šaknį naudodami tik realiuosius skaičius, pateksite į aklavietę, nes joks realusis skaičius, padaugintas iš savęs, negaus neigiamo skaičiaus. Kompleksiniai skaičiai šią problemą išsprendžia apibrėždami $3i$ kaip atsakymą. Šis gebėjimas apdoroti neigiamas šaknis užtikrina, kad matematiniai elektronikos ir kvantinės mechanikos modeliai „nesuges“, kai aptinka neigiamų skaičių kvadratines šaknis.
Realiame pasaulyje „dydis“ yra paprastas – 5 yra didesnis nei 2. Sudėtingame pasaulyje „dydį“ arba „absoliučią vertę“ vadiname atstumu nuo pradžios taško (nulio) plokštumoje. Kadangi kompleksiniai skaičiai apima kampą ir atstumą, jie elgiasi panašiai kaip vektoriai, todėl yra puikus įrankis kintamosioms srovėms ar garso bangoms analizuoti.
Dažnai klaidingai manoma, kad šios dvi grupės yra visiškai atskiros. Iš tikrųjų kiekvienas realusis skaičius yra kompleksinis skaičius, kurio menamoji dalis yra nulis ($a + 0i$). Realiųjų skaičių sistema yra tiesiog tam tikras poaibis – viena tiesė – begaliniame kompleksinės plokštumos vandenyne.
Įsivaizduojami skaičiai nėra „tikri“ ar naudingi realiame pasaulyje.
Nepaisant nevykusio pavadinimo, įsivaizduojami skaičiai yra gyvybiškai svarbūs realaus pasaulio technologijoms. Jie naudojami kasdien projektuojant elektros tinklus, stabilizuojant orlaivius ir apdorojant skaitmeninius signalus išmaniajame telefone.
Skaičius yra arba realusis, arba kompleksinis, bet niekada abu.
Visi realieji skaičiai yra kompleksiniai skaičiai. Jei turime skaičių 5, jį galima užrašyti kaip $5 + 0i$. Tiesiog jo menamoji komponentė yra lygi nuliui.
Kompleksiniai skaičiai yra tiesiog du atskiri realieji skaičiai, susieti kartu.
Nors jie turi dvi dalis, jiems taikomos unikalios daugybos ir dalybos taisyklės (pvz., $i \times i = -1$), kurių paprastos realiųjų skaičių poros neturi. Jie elgiasi kaip vienas, darnus matematinis darinys.
Kompleksiniai skaičiai buvo išrasti, nes matematikai nuobodžiavo.
Jie iš tikrųjų buvo sukurti kubinėms lygtims spręsti XVI amžiuje. Matematikai suprato, kad negali gauti teisingų „tikrųjų“ atsakymų neatlikdami „įsivaizduojamų“ žingsnių savo skaičiavimų viduryje.
Naudokite realiuosius skaičius kasdieniame gyvenime, standartinėje apskaitoje ir pagrindiniams matavimams, kur vertės egzistuoja paprastame mastelyje. Naudokite kompleksinius skaičius, kai dirbate su daugiamačiais uždaviniais, bangų analize ar sudėtingąja inžinerija, kur „sukimas“ ir „fazė“ yra tokie pat svarbūs kaip ir „kiekis“.
Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.
Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.
Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.
Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.
Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.
