skaičių teorijaalgebraaukštesnioji matematikakompleksinė analizė

Realieji ir kompleksiniai skaičiai

Q: Koks tiksliai yra menamasis vienetas „i“?

Vienetas $i$ apibrėžiamas kaip kvadratinė šaknis iš -1. Kadangi joks realusis skaičius negali būti pakeltas kvadratu ir gauti neigiamą rezultatą, $i$ buvo sukurtas kaip naujas matematinis struktūrinis blokas. Jis leidžia atlikti operacijas su neigiamais radikalais ir tarnauja kaip vertikali ašis kompleksinėje plokštumoje.

Q: Kaip nubraižyti kompleksinį skaičių?

Naudojate grafiką, kuriame horizontalioje ašyje pavaizduoti realieji skaičiai, o vertikalioje – įsivaizduojamieji. Norint nubraižyti $3 + 4i$, reikėtų 3 vienetus pasislinkti į dešinę ir 4 vienetus į viršų. Šis vaizdinis pavaizdavimas vadinamas Argando diagrama.

Q: Kodėl negalima sudėtingų skaičių išdėstyti tvarkos?

Realiuosiuose skaičiuose galime sakyti $5 > 2$, nes 5 yra toliau toje pačioje tiesėje. Kadangi kompleksiniai skaičiai yra dvimačiai, nėra vienos „krypties“, kuria galėtume juos palyginti. Ar $1 + 10i$ yra „didesnis“ nei $10 + 1i$? Nėra nuoseklaus būdo tai apibrėžti nepažeidžiant algebros taisyklių.

Nors realieji skaičiai apima visas vertes, kurias paprastai naudojame fiziniam pasauliui matuoti – nuo sveikųjų skaičių iki begalinių dešimtainių trupmenų – kompleksiniai skaičiai praplečia šį horizontą, įvesdami menamąjį vienetą $i$. Šis papildymas leidžia matematikams spręsti lygtis, kurios neturi realiųjų sprendinių, ir sukuria dvimatę skaičių sistemą, kuri yra būtina šiuolaikinei fizikai ir inžinerijai.

Akcentai

Realieji skaičiai iš esmės yra vienmačiai, o kompleksiniai skaičiai įveda dvimatę koordinačių sistemą.
Sudėtingi skaičiai leidžia ištraukti neigiamų skaičių kvadratines šaknis, kurios realiojoje aibėje yra neįmanomos.
Realiųjų skaičių sistema iš tikrųjų yra kompleksinių skaičių sistemos poaibis.
Realiuosius skaičius galima lengvai surūšiuoti, tačiau kompleksiniai skaičiai neturi standartinės „didesnis nei“ logikos.

Kas yra Tikrieji skaičiai?

Visų racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių, kuriuos galima rasti ištisinėje vienmatėje skaičių tiesėje, aibė.

Apima sveikuosius skaičius, trupmenas ir iracionaliąsias konstantas, tokias kaip $\pi$ arba $\sqrt{2}$.
Galima išdėstyti nuo mažiausio iki didžiausio standartinėje horizontalioje ašyje.
Bet kurio nenulinio realaus skaičiaus kvadratas visada yra teigiama reikšmė.
Naudojamas fiziniams matavimams, tokiems kaip atstumas, masė, temperatūra ir laikas.
Žymi paryškintu simboliu lentoje $\mathbb{R}$.

Kas yra Kompleksiniai skaičiai?

Skaičiai, išreikšti forma $a + bi$, kur $a$ ir $b$ yra realieji skaičiai, o $i$ yra menamasis vienetas.

Susideda iš realiosios ir menamosios dalių, sukurdamos 2D reikšmę.
Apibrėžiamas menamuoju vienetu $i$, kuris tenkina lygtį $i^2 = -1$.
Nubraižyta koordinačių sistemoje, vadinamoje kompleksine plokštuma arba Argando diagrama.
Leidžia kiekvienai daugianarei lygčiai turėti sprendinį, remiantis pagrindine algebros teorema.
Žymi paryškintu simboliu lentoje $\mathbb{C}$.

Palyginimo lentelė

Funkcija	Tikrieji skaičiai	Kompleksiniai skaičiai
Bendra forma	$x$ (kur $x$ yra bet kokia realioji reikšmė)	$a + bi$ (kur $i = ∫qrt{-1}$)
Matmuo	1D (skaičių tiesė)	2D (kompleksinė plokštuma)
Skaičiaus kvadratas	Visada neneigiamas ($x^2 \geq 0$)	Gali būti neigiamas (pvz., $(2i)^2 = -4$)
Užsakymas	Galima užsisakyti (1 USD < 2 USD < 3 USD)	Nėra standartinio „daugiau nei“ arba „mažiau nei“ ryšio
Komponentai	Grynai tikra	Realioji ir įsivaizduojamoji dalys
Fizinė intuicija	Tiesiogiai išmatuojami kiekiai	Apibūdina sukimąsi, fazę ir svyravimus

Išsamus palyginimas

Skaičių geometrija

Realieji skaičiai gyvena paprastoje tiesioje linijoje, kuri abiem kryptimis tęsiasi iki begalybės. Tačiau kompleksiniams skaičiams egzistuoti reikalinga visa plokštuma; realioji dalis judina jus į kairę arba į dešinę, o menamoji dalis judina jus aukštyn arba žemyn. Šis perėjimas iš vienmatės į dvimatę erdvę yra esminis šuolis, dėl kurio sudėtinga matematika yra tokia galinga.

„Neišsprendžiamo“ sprendimas

Jei bandysite rasti -9 kvadratinę šaknį naudodami tik realiuosius skaičius, pateksite į aklavietę, nes joks realusis skaičius, padaugintas iš savęs, negaus neigiamo skaičiaus. Kompleksiniai skaičiai šią problemą išsprendžia apibrėždami $3i$ kaip atsakymą. Šis gebėjimas apdoroti neigiamas šaknis užtikrina, kad matematiniai elektronikos ir kvantinės mechanikos modeliai „nesuges“, kai aptinka neigiamų skaičių kvadratines šaknis.

Dydis ir kryptis

Realiame pasaulyje „dydis“ yra paprastas – 5 yra didesnis nei 2. Sudėtingame pasaulyje „dydį“ arba „absoliučią vertę“ vadiname atstumu nuo pradžios taško (nulio) plokštumoje. Kadangi kompleksiniai skaičiai apima kampą ir atstumą, jie elgiasi panašiai kaip vektoriai, todėl yra puikus įrankis kintamosioms srovėms ar garso bangoms analizuoti.

Santykiai ir įtrauktis

Dažnai klaidingai manoma, kad šios dvi grupės yra visiškai atskiros. Iš tikrųjų kiekvienas realusis skaičius yra kompleksinis skaičius, kurio menamoji dalis yra nulis ($a + 0i$). Realiųjų skaičių sistema yra tiesiog tam tikras poaibis – viena tiesė – begaliniame kompleksinės plokštumos vandenyne.

Privalumai ir trūkumai

Tikrieji skaičiai

Privalumai

+Labai intuityvus
+Lengva užsisakyti
+Matavimo standartas
+Supaprastinta aritmetika

Pasirinkta

−Nepavyksta išspręsti $x^2 = -1$
−Ribotas matmuo
−Neužbaigta aukštajai fizikai
−Nėra rotacinės logikos

Kompleksiniai skaičiai

Privalumai

+Algebriškai užbaigtas
+Modelių rotacija gerai
+Būtinas elektronikai
+Elegantiški sprendimai

Pasirinkta

−Mažiau intuityvus
−Sunkiau įsivaizduoti
−Intensyvus skaičiavimas
−Negalima užsisakyti

Dažni klaidingi įsitikinimai

Mitas

Įsivaizduojami skaičiai nėra „tikri“ ar naudingi realiame pasaulyje.

Realybė

Nepaisant nevykusio pavadinimo, įsivaizduojami skaičiai yra gyvybiškai svarbūs realaus pasaulio technologijoms. Jie naudojami kasdien projektuojant elektros tinklus, stabilizuojant orlaivius ir apdorojant skaitmeninius signalus išmaniajame telefone.

Mitas

Skaičius yra arba realusis, arba kompleksinis, bet niekada abu.

Realybė

Visi realieji skaičiai yra kompleksiniai skaičiai. Jei turime skaičių 5, jį galima užrašyti kaip $5 + 0i$. Tiesiog jo menamoji komponentė yra lygi nuliui.

Mitas

Kompleksiniai skaičiai yra tiesiog du atskiri realieji skaičiai, susieti kartu.

Realybė

Nors jie turi dvi dalis, jiems taikomos unikalios daugybos ir dalybos taisyklės (pvz., $i \times i = -1$), kurių paprastos realiųjų skaičių poros neturi. Jie elgiasi kaip vienas, darnus matematinis darinys.

Mitas

Kompleksiniai skaičiai buvo išrasti, nes matematikai nuobodžiavo.

Realybė

Jie iš tikrųjų buvo sukurti kubinėms lygtims spręsti XVI amžiuje. Matematikai suprato, kad negali gauti teisingų „tikrųjų“ atsakymų neatlikdami „įsivaizduojamų“ žingsnių savo skaičiavimų viduryje.

Dažnai užduodami klausimai

Koks tiksliai yra menamasis vienetas „i“?

Vienetas $i$ apibrėžiamas kaip kvadratinė šaknis iš -1. Kadangi joks realusis skaičius negali būti pakeltas kvadratu ir gauti neigiamą rezultatą, $i$ buvo sukurtas kaip naujas matematinis struktūrinis blokas. Jis leidžia atlikti operacijas su neigiamais radikalais ir tarnauja kaip vertikali ašis kompleksinėje plokštumoje.

Kaip nubraižyti kompleksinį skaičių?

Naudojate grafiką, kuriame horizontalioje ašyje pavaizduoti realieji skaičiai, o vertikalioje – įsivaizduojamieji. Norint nubraižyti $3 + 4i$, reikėtų 3 vienetus pasislinkti į dešinę ir 4 vienetus į viršų. Šis vaizdinis pavaizdavimas vadinamas Argando diagrama.

Kodėl negalima sudėtingų skaičių išdėstyti tvarkos?

Realiuosiuose skaičiuose galime sakyti $5 > 2$, nes 5 yra toliau toje pačioje tiesėje. Kadangi kompleksiniai skaičiai yra dvimačiai, nėra vienos „krypties“, kuria galėtume juos palyginti. Ar $1 + 10i$ yra „didesnis“ nei $10 + 1i$? Nėra nuoseklaus būdo tai apibrėžti nepažeidžiant algebros taisyklių.

Kur inžinerijoje naudojami kompleksiniai skaičiai?

Jie yra standartinė elektrotechnikos kalba. Dirbant su kintamąja srove (AC), įtampa ir srovė dažnai nėra sinchronizuotos. Kompleksiniai skaičiai leidžia inžinieriams apskaičiuoti „impedansą“, laiko poslinkį laikant menamąja varžos dalimi.

Kas nutinka, kai kompleksinį skaičių pakeli kvadratu?

Jūs vadovaujatės FOIL metodu $(a+bi)(a+bi)$ ir prisimenate, kad $i^2 = -1$. Pavyzdžiui, $(1+i)^2$ tampa $1 + 2i + i^2$. Kadangi $i^2$ yra -1, 1 ir -1 viena kitą panaikina, paliekant tik $2i$. Tai dažnai sukelia grafiko sukimąsi.

Ar nulis yra realusis, ar kompleksinis skaičius?

Nulis yra ir realusis, ir sveikasis, ir kompleksinis skaičius ($0 + 0i$). Jis yra pačiame kompleksinės plokštumos centre (pradžioje), kur susikerta realioji ir menamoji ašys.

Ar kompleksiniai skaičiai turi kvadratines šaknis?

Taip, kiekvienas kompleksinis skaičius turi kvadratines šaknis ir jie taip pat yra kompleksiniai skaičiai. Tiesą sakant, skirtingai nei realieji skaičiai, kur neigiamos reikšmės neturi realiųjų šaknų, kompleksinėje sistemoje kiekvienas skaičius (išskyrus nulį) turi lygiai $n$ skirtingų $n$-tųjų šaknų.

Kas yra „grynai įsivaizduojamas“ skaičius?

Grynasis menamasis skaičius yra kompleksinis skaičius, kurio realioji dalis yra lygi nuliui, pvz., $7i$ arba $-2i$. Kompleksinėje plokštumoje šie skaičiai yra tiesiai vertikalioje ašyje.

Nuosprendis

Naudokite realiuosius skaičius kasdieniame gyvenime, standartinėje apskaitoje ir pagrindiniams matavimams, kur vertės egzistuoja paprastame mastelyje. Naudokite kompleksinius skaičius, kai dirbate su daugiamačiais uždaviniais, bangų analize ar sudėtingąja inžinerija, kur „sukimas“ ir „fazė“ yra tokie pat svarbūs kaip ir „kiekis“.

Susiję palyginimai

Absoliuti vertė ir modulis

Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.

Algebra ir geometrija

Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.

Apskritimas ir elipsė

Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.

Aritmetinė ir geometrinė seka

Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.

Aritmetinis vidurkis ir svertinis vidurkis

Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.