Funkcijos „vienas su vienu“ ir „į vieną“
Nors abu terminai apibūdina, kaip dviejų rinkinių elementai yra atvaizduojami, jie nagrinėja skirtingas lygties puses. „Vienas su vienu“ (injektyvinės) funkcijos sutelkia dėmesį į įvesties duomenų unikalumą, užtikrindamos, kad du keliai neves į tą pačią paskirties vietą, o „onto“ (siurjektyvinės) funkcijos užtikrina, kad būtų pasiekta kiekviena įmanoma paskirties vieta.
Akcentai
- „Vienas su vienu“ užtikrina išskirtinumą; „vienas su vienu“ – išsamumą.
- Funkcija, kuri yra ir viena su viena, ir ant jos, vadinama bijekcija.
- Horizontalių linijų testas iš pirmo žvilgsnio nustato viena su viena funkcijas.
- Onto funkcijos reikalauja, kad diapazonas ir kodianas būtų identiški.
Kas yra Vienas su vienu (injekcinis)?
Susiejimas, kuriame kiekvienas unikalus įvestis sukuria atskirą, unikalų išvestį.
- Aibių teorijoje formaliai vadinama injekcine funkcija.
- Jis išlaiko horizontalios linijos testą, kai nubraižomas koordinačių plokštumoje.
- Jokie du skirtingi domeno elementai neturi to paties vaizdo kodomene.
- Elementų skaičius domene negali viršyti elementų skaičiaus kodomene.
- Esminis kuriant atvirkštines funkcijas, nes atvaizdavimą galima pakeisti be dviprasmybių.
Kas yra Ant (Surjektyvas)?
Susiejimas, kuriame kiekvieną tikslinio rinkinio elementą apima bent vienas įvesties laukas.
- Formaliai žinoma kaip siurjektyvi funkcija.
- Funkcijos reikšmių diapazonas yra tiksliai lygus jos kodizonai.
- Keli įėjimai gali nukreipti į tą patį išėjimą, jei tik nieko nepraleidžiama.
- Domeno dydis turi būti didesnis arba lygus kodomeno dydžiui.
- Garantuoja, kad kiekviena išvesties rinkinio reikšmė turi bent vieną „priešvaizdį“.
Palyginimo lentelė
| Funkcija | Vienas su vienu (injekcinis) | Ant (Surjektyvas) |
|---|---|---|
| Oficialus pavadinimas | Injekcinis | Surjektyvus |
| Pagrindinis reikalavimas | Unikalūs išėjimai unikaliems įvestims | Bendras nustatyto tikslo aprėptis |
| Horizontalių linijų bandymas | Privalo praeiti (kertasi ne daugiau kaip vieną kartą) | Turi susikirsti bent kartą |
| Santykių dėmesys | Išskirtinumas | Įtrauktis |
| Nustatyti dydžio apribojimą | Domenas ≤ Kodomenas | Domenas ≥ Kodomenas |
| Bendrinami rezultatai? | Griežtai draudžiama | Leidžiama ir įprasta |
Išsamus palyginimas
Išskirtinumo sąvoka
Individualus pokalbis yra tarsi prabangus restoranas, kuriame kiekvienas staliukas rezervuotas tik vienam asmeniui; niekada nepamatysite dviejų skirtingų grupių, besidalijančių ta pačia vieta. Matematiškai, jei $f(a) = f(b)$, tai $a$ turi būti lygus $b$. Šis išskirtinumas leidžia šias funkcijas „atšaukti“ arba apversti.
Aprėpties sąvoka
Funkcija „onto“ labiau siekia, kad tikslo siekime nebūtų palikta nieko neapversto. Įsivaizduokite autobusą, kuriame kiekvieną sėdynę turi užimti bent vienas žmogus. Nesvarbu, ar du žmonės turi sėdėti ant to paties suoliuko (daugelis prieš vieną), svarbu, kad autobuse neliktų nė vienos laisvos vietos.
Vizualizavimas naudojant žemėlapių diagramas
Atvaizdavimo diagramoje ryšys „vienas su vienu“ žymimas pavienėmis rodyklėmis, nukreiptomis į pavienius taškus – dvi rodyklės niekada nesueina. Funkcijai „onto“ kiekvienas antrojo apskritimo taškas turi turėti bent vieną į jį nukreiptą rodyklę. Funkcija gali būti ir viena, ir kita, matematikai tai vadina bijekcija.
Skirtumų grafikavimas
Standartiniame grafike atitikmens „vienas su vienu“ patikrinimas atliekamas slenkant horizontalią liniją aukštyn ir žemyn; jei ji liečia kreivę daugiau nei vieną kartą, funkcija nėra atitikmens „vienas su vienu“. Norint patikrinti, ar funkcija „ant“, reikia peržiūrėti grafiko vertikalų ilgį, siekiant įsitikinti, kad jis apima visą numatytą diapazoną be tarpų.
Privalumai ir trūkumai
Vienas su vienu
Privalumai
- +Leidžia naudoti atvirkštines funkcijas
- +Nėra duomenų susidūrimų
- +Išsaugo išskirtinumą
- +Lengviau važiuoti atbuline eiga
Pasirinkta
- −Gali likti nenaudojamų išėjimų
- −Reikalingas didesnis kodoenas
- −Griežtos įvesties taisyklės
- −Sunkiau pasiekti
Į
Privalumai
- +Apima visą tikslinį rinkinį
- +Nėra nereikalingos išvesties vietos
- +Lengviau pritaikyti mažus rinkinius
- +Naudoja visus išteklius
Pasirinkta
- −Unikalumo praradimas
- −Ne visada galima apversti
- −Susidūrimai yra dažni
- −Sunkiau atsekti
Dažni klaidingi įsitikinimai
Visos funkcijos yra arba „vienas su vienu“, arba „ant vieno“.
Daugelis funkcijų nėra nei viena, nei kita. Pavyzdžiui, $f(x) = x^2$ (nuo visų realiųjų skaičių iki visų realiųjų skaičių) nėra vienareikšmė, nes $2$ ir $-2$ abu gaunasi $4$, ir ji nėra vienareikšmė, nes niekada negauna neigiamų skaičių.
„Vienas su vienu“ reiškia tą patį, kas ir funkcija.
Funkcijai tereikia, kad kiekvienas įvesties signalas turėtų vieną išvestį. „Vienas su vienu“ yra papildomas griežtumo sluoksnis, neleidžiantis dviem įvesties signalams dalytis tuo pačiu išvesties signalu.
Priklauso tik nuo formulės.
„Onto“ labai priklauso nuo to, kaip apibrėžiate tikslinį skaičių rinkinį. Funkcija $f(x) = x^2$ yra „on“, jei tikslą apibrėžiate kaip „visus neneigiamus skaičius“, bet neveikia, jei tikslas yra „visus realius skaičius“.
Jei funkcija įjungta, ji turi būti grįžtama.
Grįžtamumui reikalinga „vienas su vienu“ būsena. Jei funkcija yra įjungta, bet ne „vienas su vienu“, galite žinoti, kokią išvestį turite, bet nežinosite, kuri iš kelių įvesčių ją sukūrė.
Dažnai užduodami klausimai
Koks yra paprastas „vienas su vienu“ funkcijos pavyzdys?
Koks yra paprastas onto funkcijos pavyzdys?
Kaip veikia horizontalios linijos testas?
Kodėl šios sąvokos yra svarbios kompiuterių moksle?
Kas nutinka, kai funkcija yra ir viena su viena, ir ant jos?
Ar funkcija gali būti ant, bet ne viena su viena?
Kuo skiriasi diapazonas ir kodomainas?
Ar $f(x) = \sin(x)$ yra vienas su vienu?
Nuosprendis
Naudokite „vienas su vienu“ susiejimą, kai reikia užtikrinti, kad kiekvieną rezultatą būtų galima atsekti iki konkretaus, unikalaus pradžios taško. Rinkitės „į vieną“ susiejimą, kai jūsų tikslas yra užtikrinti, kad būtų panaudota arba pasiekiama kiekviena galima sistemos išvesties vertė.
Susiję palyginimai
Absoliuti vertė ir modulis
Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.
Algebra ir geometrija
Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.
Apskritimas ir elipsė
Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.
Aritmetinė ir geometrinė seka
Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.
Aritmetinis vidurkis ir svertinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.