Tiesinė lygtis ir kvadratinė lygtis
Esminis skirtumas tarp tiesinių ir kvadratinių lygčių yra kintamojo „laipsnis“. Tiesinė lygtis vaizduoja pastovų kitimo greitį, kuris sudaro tiesią liniją, o kvadratinė lygtis apima kvadratinį kintamąjį, sukurdama išlenktą „U formą“, kuri modeliuoja greitėjimo arba lėtėjimo ryšius.
Akcentai
- Tiesinės lygtys turi pastovų nuolydį, o kvadratinės lygtys - nuolat kinta.
- Kvadratinė lygtis yra paprasčiausia „netiesinės“ sąryšio forma.
- Tiesiniai grafikai niekada negrįžta atgal; kvadratiniai grafikai visada turi viršūnę, kurioje jie pasisuka.
- Kvadratinės lygties „a“ koeficientas lemia, ar „U“ atsidaro aukštyn, ar žemyn.
Kas yra Tiesinė lygtis?
Pirmojo laipsnio algebrinė lygtis, kurią nubraižius sukuriama tiesi linija.
- Didžiausias kintamojo laipsnis visada yra 1.
- Nubraižytas Dekarto plokštumoje, gaunama idealiai tiesi linija.
- Jis turi pastovų nuolydį, o tai reiškia, kad pokyčių greitis niekada nesvyruoja.
- Paprastai kintamajam yra tik vienas unikalus sprendinys (šaknis).
- Standartinė forma paprastai rašoma taip: $ax + b = 0$ arba $y = mx + b$.
Kas yra Kvadratinė lygtis?
Antrojo laipsnio lygtis, kuriai būdingas bent vienas kvadratinis kintamasis.
- Didžiausias kintamojo laipsnis yra lygiai 2.
- Grafikas sudaro simetrišką kreivę, vadinamą parabole.
- Pokyčio greitis nėra pastovus; jis didėja arba mažėja išilgai kreivės.
- Priklausomai nuo diskriminanto, jis gali turėti du, vieną arba nulį realiųjų sprendinių.
- Standartinė forma yra $ax^2 + bx + c = 0$, kur „a“ negali būti lygus nuliui.
Palyginimo lentelė
| Funkcija | Tiesinė lygtis | Kvadratinė lygtis |
|---|---|---|
| Laipsnis | 1 | 2 |
| Grafiko forma | Tiesi linija | Parabolė (U formos) |
| Maksimalios šaknys | 1 | 2 |
| Standartinė forma | $ax + b = 0$ | $ax^2 + bx + c = 0$ |
| Pokyčių greitis | Konstanta | Kintamasis |
| Lūžio taškai | Nėra | Vienas (viršūnė) |
| Nuolydis | Fiksuota vertė (m) | Pokyčiai kiekviename taške |
Išsamus palyginimas
Kelių vizualizavimas
Tiesinė lygtis yra tarsi ėjimas pastoviu žingsniu per lygias grindis; su kiekvienu žingsniu į priekį pakylate tokiu pačiu aukščiu. Kvadratinė lygtis labiau panaši į į orą mesto kamuolio trajektoriją. Ji prasideda greitai, sulėtėja pasiekusi viršūnę, o tada pagreitėja krisdama žemyn, sukurdama savitą kreivę.
Kintamojo galia
Lygties „laipsnis“ lemia jos sudėtingumą. Tiesinėje lygtyje kintamasis $x$ yra vienas, todėl viskas paprasta ir nuspėjama. Pridėjus kvadratą prie šio kintamojo ($x^2$), įvedama „kvadratinė“ funkcija, kuri leidžia lygčiai pakeisti kryptį. Šis vienas matematinis pakeitimas leidžia mums modeliuoti sudėtingus dalykus, tokius kaip gravitacija ir plotas.
Nežinomo sprendimo
Tiesinės lygties sprendimas yra nesudėtingas išskyrimo procesas – narių perkėlimas iš vienos pusės į kitą. Kvadratinės lygtys yra sunkiau įveikiamos; joms dažnai reikia specializuotų įrankių, tokių kaip skaidymas daugikliais, kėlimas kvadratu arba kvadratinės formulės. Nors tiesinė lygtis paprastai pateikia vieną atsakymą „X žymi tašką“, kvadratinė lygtis dažnai pateikia du galimus atsakymus, vaizduojančius du taškus, kuriuose parabolė kerta ašį.
Realaus pasaulio situacijos
Tiesinės lygtys yra pagrindinio biudžeto sudarymo pagrindas, pavyzdžiui, bendrųjų išlaidų apskaičiavimas pagal fiksuotą valandinį įkainį. Kvadratinės lygtys ima veikti, kai viskas pradeda greitėti arba apima du matmenis. Jas naudoja inžinieriai, norėdami nustatyti saugiausią greitkelio kreivę, arba fizikai, norėdami tiksliai apskaičiuoti, kur nusileis raketa.
Privalumai ir trūkumai
Tiesinė lygtis
Privalumai
- +Nepaprastai paprasta išspręsti
- +Nuspėjami rezultatai
- +Lengva braižyti grafiką rankiniu būdu
- +Aiškus pastovus greitis
Pasirinkta
- −Negalima modeliuoti kreivių
- −Ribotas naudojimas realiame pasaulyje
- −Per daug paprasta fizikai
- −Jokių lūžio taškų
Kvadratinė lygtis
Privalumai
- +Modeliuoja gravitaciją ir plotą
- +Universalios išlenktos formos
- +Nustato maksimalias/minimalias vertes
- +Realistiškesnė fizika
Pasirinkta
- −Sunkiau išspręsti
- −Keli galimi atsakymai
- −Reikia daugiau skaičiavimų
- −Lengva neteisingai interpretuoti šaknis
Dažni klaidingi įsitikinimai
Visos lygtys su „x“ yra tiesinės.
Tai dažna pradedančiųjų klaida. Lygtis yra tiesinė tik tada, jei $x$ yra pakeltas 1 laipsniu. Kai tik pamatysite $x^2, x^3$ arba $1/x$, ji nebėra tiesinė.
Kvadratinė lygtis visada turi turėti du atsakymus.
Ne visada. Kvadratinė kreivė gali turėti du realiuosius sprendinius, vieną realųjį sprendinį (jei viršūnė vos liečia tiesę) arba nulį realiųjų sprendinių (jei kreivė yra visiškai virš tiesės arba visiškai po ja).
Tiesi vertikali linija yra tiesinė lygtis.
Nors tai yra linija, vertikali linija (pvz., $x = 5$) nelaikoma tiesine „funkcija“, nes jos nuolydis neapibrėžtas ir ji neatitinka vertikalios linijos testo.
Kvadratinės lygtys skirtos tik matematikos pamokoms.
Jie nuolat naudojami realiame gyvenime. Kiekvieną kartą, kai matote palydovinę anteną, pakabinamojo tilto trosą ar vandens fontaną, žiūrite į kvadratinės lygties fizinę išraišką.
Dažnai užduodami klausimai
Koks lengviausias būdas juos atskirti lygčių sąraše?
Ar kvadratinė lygtis gali būti ir tiesinė lygtis?
Kas yra „diskriminantas“ ir kodėl jis svarbus kvadratinėms lygtims?
Kodėl tiesinė lygtis turi tik vieną šaknį?
Kaip rasti kvadratinio skaičiaus „viršūnę“?
Ką reiškia „c“ formulėje $ax^2 + bx + c$?
Ar yra lygčių, aukštesnių už kvadratines?
Kuris iš jų naudojamas kvadrato plotui apskaičiuoti?
Nuosprendis
Naudokite tiesinę lygtį, kai susiduriate su pastoviu, nekintamu dviejų dalykų ryšiu. Rinkitės kvadratinę lygtį, kai situacija susijusi su pagreičiu, plotu arba keliu, kuris turi pakeisti kryptį ir grįžti atgal.
Susiję palyginimai
Absoliuti vertė ir modulis
Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.
Algebra ir geometrija
Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.
Apskritimas ir elipsė
Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.
Aritmetinė ir geometrinė seka
Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.
Aritmetinis vidurkis ir svertinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.