Išvestinė ir diferencialinė vertė
Nors jie atrodo panašiai ir turi tas pačias skaičiavimo šaknis, išvestinė yra kitimo greitis, parodantis, kaip vienas kintamasis reaguoja į kitą, o diferencialas rodo faktinį, be galo mažą pačių kintamųjų pokytį. Įsivaizduokite išvestinę kaip funkcijos „greitį“ konkrečiame taške, o diferencialą – kaip „mažą žingsnelį“, žengtą išilgai liestinės.
Akcentai
- Išvestinė yra nuolydis ($dy/dx$); Diferencialas yra pokytis ($dy$).
- Diferencialai leidžia mums $dx$ ir $dy$ laikyti atskiromis algebrinėmis dalimis.
- Išvestinė yra riba, o diferencialas yra begalinis dydis.
- Diferencialai yra esminis „pločio“ komponentas kiekvienoje integralo formulėje.
Kas yra Išvestinė priemonė?
Funkcijos pokyčio ir jos įvesties pokyčio santykio riba.
- Tai rodo tikslų liestinės linijos nuolydį konkrečiame kreivės taške.
- Paprastai rašoma Leibnico notacijoje kaip $dy/dx$ arba Lagranžo notacijoje kaip $f'(x)$.
- Tai funkcija, apibūdinanti „momentinį“ pokyčio greitį.
- Padėties išvestinė yra greitis, o greičio išvestinė yra pagreitis.
- Tai parodo, koks jautrus funkcijai yra nedideli jos įvesties duomenų pokyčiai.
Kas yra Diferencialas?
Matematinis objektas, vaizduojantis be galo mažą koordinatės arba kintamojo pokytį.
- Atskirai žymima simboliais $dx$ ir $dy$.
- Jis naudojamas funkcijos pokyčiui ($dy \approx f'(x) dx$) apytiksliai įvertinti.
- Tam tikrais atvejais diferencialinius dydžius galima manipuliuoti kaip nepriklausomus algebrinius dydžius.
- Jie yra integralų statybiniai blokai, vaizduojantys be galo plono stačiakampio „plotį“.
- Daugiafaktoriniame skaičiavime bendrieji diferencialai atsižvelgia į visų įvesties kintamųjų pokyčius.
Palyginimo lentelė
| Funkcija | Išvestinė priemonė | Diferencialas |
|---|---|---|
| Gamta | Santykis / pokyčio greitis | Nedidelis kiekis / grąža |
| Žymėjimas | $dy/dx$ arba $f'(x)$ | $dy$ arba $dx$ |
| Vieneto apskritimas / grafikas | Liestinės linijos nuolydis | Pakilimas/nuolydis išilgai liestinės linijos |
| Kintamojo tipas | Išvestinė funkcija | Nepriklausomas kintamasis / begalinis dydis |
| Pagrindinis tikslas | Optimizavimo / greičio paieška | Aproksimacija / integravimas |
| Matmuo | Išvestis vienam įvesties vienetui | Tie patys vienetai kaip ir pats kintamasis |
Išsamus palyginimas
Įkainis ir suma
Išvestinė yra santykis – ji nurodo, kad kiekvienam $x$ judėjimo vienetui $y$ pasislinks $f'(x)$ vienetų. Tačiau diferencialas yra tikrasis pokyčio „dalis“. Jei įsivaizduojate važiuojantį automobilį, spidometras rodo išvestinę (mylios per valandą), o mažas atstumas, nuvažiuojamas per sekundės dalį, yra diferencialas.
Tiesinis aproksimavimas
Diferencialai yra nepaprastai naudingi vertinant reikšmes be skaičiuotuvo. Kadangi $dy = f'(x) dx$, jei žinote išvestinę tam tikrame taške, galite ją padauginti iš nedidelio $x$ pokyčio, kad apytiksliai sužinotumėte, kiek pasikeis funkcijos reikšmė. Tai iš esmės naudoja liestinę kaip laikiną tikrosios kreivės pakaitalą.
Leibnico žymėjimo painiava
Daugelis studentų susipainioja, nes išvestinė rašoma kaip $dy/dx$, kas atrodo kaip dviejų diferencialų trupmena. Daugelyje skaičiavimo sričių mes ją traktuojame lygiai taip pat, kaip trupmeną, pavyzdžiui, kai „dauginame“ iš $dx$, kad išspręstume diferencialines lygtis, – bet griežtai kalbant, išvestinė yra ribinio proceso, o ne paprasto dalybos rezultatas.
Vaidmuo integracijoje
Integrale, tokiame kaip $\int f(x) dx$, $dx$ yra diferencialas. Jis veikia kaip begalinio skaičiaus stačiakampių, kuriuos sumuojame, norėdami rasti plotą po kreive, „plotis“. Be diferencialo integralas būtų tik aukštis be pagrindo, todėl ploto apskaičiuoti neįmanoma.
Privalumai ir trūkumai
Išvestinė priemonė
Privalumai
- +Nurodo maks./min. taškus
- +Rodo momentinį greitį
- +Optimizavimo standartas
- +Lengviau vizualizuoti kaip nuolydį
Pasirinkta
- −Negalima lengvai padalinti
- −Reikalinga ribų teorija
- −Sunkiau apytiksliai nustatyti
- −Abstrakčių funkcijų rezultatai
Diferencialas
Privalumai
- +Puikiai tinka greitiems įvertinimams
- +Supaprastina integraciją
- +Lengviau manipuliuoti algebriškai
- +Modelių klaidų sklidimas
Pasirinkta
- −Mažos klaidos junginyje
- −Ne „tikras“ tarifas
- −Žymėjimas gali būti aplaidus
- −Reikalingas žinomas darinys
Dažni klaidingi įsitikinimai
$dx$ integralo gale tėra puošmena.
Tai gyvybiškai svarbi matematikos dalis. Ji nurodo, kurį kintamąjį integruojate, ir nurodo begalinį ploto segmentų plotį.
Diferencialai ir išvestinės yra tas pats dalykas.
Jie yra susiję, bet skirtingi. Išvestinė yra diferencialų santykio riba. Vienas yra greitis (60 USD mylių per valandą), kitas – atstumas (0,0001 USD mylių).
Visada galite atšaukti $dx$ iš $dy/dx$.
Nors $dy/dx$ veikia daugelyje įvadinių skaičiavimo metodų (pvz., grandinės taisyklėje), techniškai jis yra vienas operatorius. Jį traktuoti kaip trupmeną yra naudingas sutrumpintas būdas, kuris aukštesnio lygio analizėje gali būti matematiškai rizikingas.
Diferencialai skirti tik 2D matematikai.
Diferencialai yra labai svarbūs daugiamačiame skaičiavime, kur „bendras diferencialas“ (dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$) seka, kaip paviršius keičiasi visomis kryptimis vienu metu.
Dažnai užduodami klausimai
Ką iš tikrųjų reiškia $dy = f'(x) dx$?
Kuo diferencialai padeda fizikoje?
Ar $dx$ yra realusis skaičius?
Kodėl tai vadinama „diferenciacija“?
Ar galiu naudoti diferencialius kvadratinėms šaknims apskaičiuoti?
Kuo skiriasi $\Delta y$ ir $dy$?
Kas yra diferencialinė lygtis?
Kas atsirado pirmas – išvestinė ar diferencialas?
Nuosprendis
Naudokite išvestinę, kai norite rasti sistemos kitimo nuolydį, greitį arba spartą. Diferencialinius lyginimus rinkitės, kai reikia apytiksliai įvertinti mažus pokyčius, atlikti u pakeitimą integraluose arba spręsti diferencialines lygtis, kuriose kintamuosius reikia atskirti.
Susiję palyginimai
Absoliuti vertė ir modulis
Nors įvadinėje matematikoje absoliuti vertė dažnai vartojama kaip sinonimas, ji paprastai reiškia realaus skaičiaus atstumą nuo nulio, o modulis šią sąvoką praplečia iki kompleksinių skaičių ir vektorių. Abu šie terminai atlieka tą pačią pagrindinę funkciją: pašalina krypties ženklus, kad būtų atskleistas grynasis matematinio objekto dydis.
Algebra ir geometrija
Nors algebra daugiausia dėmesio skiria abstrakčioms operacijų taisyklėms ir simbolių manipuliavimui sprendžiant nežinomuosius, geometrija tyrinėja erdvės fizines savybes, įskaitant figūrų dydį, formą ir santykinę padėtį. Kartu jie sudaro matematikos pagrindą, loginius ryšius paversdami vaizdinėmis struktūromis.
Apskritimas ir elipsė
Nors apskritimas apibrėžiamas vienu centriniu tašku ir pastoviu spinduliu, elipsė išplečia šią koncepciją iki dviejų židinio taškų, sukurdama pailgą formą, kurioje atstumų iki šių židinių suma išlieka pastovi. Kiekvienas apskritimas techniškai yra specialus elipsės tipas, kuriame du židiniai idealiai persidengia, todėl koordinačių geometrijoje jie yra labiausiai susijusios figūros.
Aritmetinė ir geometrinė seka
Iš esmės aritmetinės ir geometrinės sekos yra du skirtingi būdai didinti arba mažinti skaičių sąrašą. Aritmetinė seka kinta pastoviu, tiesiniu tempu atliekant sudėtį arba atimtį, o geometrinė seka greitėja arba lėtėja eksponentiškai atliekant daugybą arba dalybą.
Aritmetinis vidurkis ir svertinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis kiekvieną duomenų tašką traktuoja kaip vienodai svarbų galutiniam vidurkiui, o svertinis vidurkis priskiria tam tikrus svarbos lygius skirtingoms reikšmėms. Šio skirtumo supratimas yra labai svarbus viskam – nuo paprastų klasių vidurkių skaičiavimo iki sudėtingų finansinių portfelių, kur vieni aktyvai yra svarbesni nei kiti, nustatymo.