हालांकि डेटा साइंटिस्ट अक्सर डाइमेंशनैलिटी रिडक्शन में दोनों शब्दों का सामना करते हैं, प्रिंसिपल कंपोनेंट डेटासेट में मैक्सिमम वेरिएंस की दिशाओं को बताते हैं, जबकि सिंगुलर वैल्यू मैट्रिक्स डीकंपोज़िशन के दौरान उन ज्योमेट्रिक एक्सिस के साथ स्केलिंग के मैग्नीट्यूड को मापते हैं। PCA और SVD जैसे एल्गोरिदम में महारत हासिल करने के लिए उनके मैथमेटिकल ब्रिज को समझना ज़रूरी है।
ऑर्थोगोनल वेक्टर जो मैक्सिमम वेरिएंस की दिशा में इशारा करते हैं, हाई-डाइमेंशनल डेटा को आसान और छोटा करने में मदद करते हैं।
एक सिंगुलर वैल्यू मैट्रिक्स की डायगोनल एंट्री, जो एक लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन के एब्सोल्यूट स्केलिंग फैक्टर्स को दिखाती हैं।
| विशेषता | मूल घटक | एकवचन मान |
|---|---|---|
| गणितीय उत्पत्ति | सहप्रसरण मैट्रिक्स आइगनवेक्टर | मैट्रिक्स अपघटन (एसवीडी) कारक |
| ज्यामितीय व्याख्या | अधिकतम विचरण की दिशाएँ | मुख्य अक्षों की लंबाई मापना |
| डेटा आवश्यकता | स्टैटिस्टिकल मतलब के लिए मीन-सेंटर्ड डेटा की ज़रूरत होती है | किसी भी मनमाने आयताकार या वर्ग मैट्रिक्स पर लागू होता है |
| आइजेनवैल्यू से संबंध | सहप्रसरण मैट्रिक्स के आइजेन मानों के बराबर | मैट्रिक्स प्रोडक्ट के आइजेन वैल्यू के वर्गमूल के बराबर |
| प्राथमिक आवेदन | आयाम में कमी और विशेषता निष्कर्षण | मैट्रिक्स इनवर्जन, स्यूडो-इनवर्स कैलकुलेशन, और लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन |
| पैमाने पर निर्भरता | डेटा को शिफ्ट या स्केल करके काफ़ी बदला गया | विघटित हो रहे विशिष्ट मैट्रिक्स की अंतर्निहित संपत्ति |
| भौतिक व्याख्या | डेटा क्लाउड एलिप्सॉइड के अक्ष | एक रूपांतरित इकाई गोले के खिंचाव कारक |
प्रिंसिपल कंपोनेंट उन खास दिशाओं को दिखाते हैं जहाँ डेटा सबसे ज़्यादा बदलता है, और ये एक ऑप्टिमाइज़्ड कोऑर्डिनेट सिस्टम के लिए नए एक्सिस के तौर पर काम करते हैं। इसके उलट, सिंगुलर वैल्यू स्केलर क्वांटिटी होती हैं जो बताती हैं कि एक मैट्रिक्स उन एक्सिस के साथ स्पेस को कितना फैलाता या दबाता है। जहाँ एक आपको डेटा क्लाउड का ओरिएंटेशन देता है, वहीं दूसरा खुद ट्रांसफॉर्मेशन के मैग्नीट्यूड को मापता है।
पारंपरिक रूप से प्रिंसिपल कंपोनेंट खोजने के लिए, आपको डेटासेट के कोवेरिएंस मैट्रिक्स के आइगनवेक्टर को कैलकुलेट करना होगा। सिंगुलर वैल्यू, सिंगुलर वैल्यू डीकंपोज़िशन से निकलती हैं, जहाँ कोई भी मैट्रिक्स तीन अलग-अलग कंपोनेंट मैट्रिक्स में बंट जाता है। जब आप मीन घटाकर अपने डेटा को सेंटर करते हैं, तो सिंगुलर वैल्यू के स्क्वेयर को सैंपल साइज़ माइनस एक से डिवाइड करने पर वह प्रिंसिपल कंपोनेंट का वैरिएंस पूरी तरह से बराबर हो जाता है।
अगर आप अपने डेटा को मीन-सेंटर या स्टैंडर्डाइज़ करना भूल जाते हैं, तो प्रिंसिपल कंपोनेंट बहुत ज़्यादा बदल जाते हैं, क्योंकि स्टैटिस्टिकल वेरिएंस ओरिजिन पॉइंट और वेरिएबल स्केल पर बहुत ज़्यादा निर्भर करता है। हालांकि, सिंगुलर वैल्यू दिए गए रॉ मैट्रिक्स की एक बुनियादी अलजेब्रिक प्रॉपर्टी हैं। वे स्टैटिस्टिकल अंदाज़ों की परवाह नहीं करते, जब तक कि यूज़र जानबूझकर पहले एक सेंटर्ड कोवेरिएंस जैसा मैट्रिक्स न बना ले।
डेटा एनालिस्ट सिंपल टू-डाइमेंशनल प्लॉट पर कॉम्प्लेक्स, हाई-डाइमेंशनल डेटासेट को विज़ुअलाइज़ करने के लिए प्रिंसिपल कंपोनेंट्स पर भरोसा करते हैं। दूसरी ओर, कंप्यूटर विज़न इंजीनियर लो-रैंक मैट्रिक्स एप्रोक्सिमेशन के ज़रिए इमेज कम्प्रेशन और रिकमेंडेशन सिस्टम के लिए सिंगुलर वैल्यू का इस्तेमाल करते हैं। SVD असल में PCA के पीछे पसंदीदा न्यूमेरिकल इंजन है क्योंकि सिंगुलर वैल्यू को कैलकुलेट करने से कोवेरिएंस मैट्रिक्स बनाते समय होने वाले प्रिसिजन के नुकसान से बचा जा सकता है।
प्रिंसिपल कंपोनेंट्स और सिंगुलर वैल्यूज़ पूरी तरह से इंडिपेंडेंट कॉन्सेप्ट्स हैं।
वे डेटा सेंटरिंग के ज़रिए गहराई से जुड़े हुए हैं। जब किसी डेटा मैट्रिक्स का मीन घटाया जाता है, तो उसकी सिंगुलर वैल्यूज़ प्रिंसिपल कंपोनेंट्स के साथ वेरिएंस के स्क्वेयर रूट्स के सीधे प्रोपोर्शनल होती हैं।
प्रिंसिपल कंपोनेंट्स खोजने के लिए आपको हमेशा कोवेरिएंस मैट्रिक्स कैलकुलेट करना होगा।
मॉडर्न सॉफ्टवेयर शायद ही कभी कोवेरिएंस मैट्रिक्स को कैलकुलेट करते हैं क्योंकि इससे न्यूमेरिकल राउंडिंग एरर आते हैं। इसके बजाय, एल्गोरिदम सीधे डेटा मैट्रिक्स पर SVD चलाते हैं, जिससे प्रिंसिपल कंपोनेंट ज़्यादा सुरक्षित और अच्छे से निकलते हैं।
अगर डेटा नेगेटिव कोरिलेशन दिखाता है, तो सिंगुलर वैल्यू नेगेटिव हो सकती हैं।
सिंगुलर वैल्यू, परिभाषा के हिसाब से, एक सिमेट्रिक मैट्रिक्स से आइजेन वैल्यू के पॉजिटिव स्क्वेयर रूट होते हैं। वे हमेशा नॉन-नेगेटिव रियल नंबर होते हैं, जो ओरिजिनल डेटा में कोरिलेशन की परवाह किए बिना, लंबाई या स्ट्रेचिंग फैक्टर को दिखाते हैं।
सभी डेटा पॉइंट्स में एक कॉन्सटेंट वैल्यू जोड़ने से सिंगुलर वैल्यू और प्रिंसिपल कंपोनेंट्स एक जैसे बदल जाते हैं।
डेटा को एक कॉन्स्टेंट से शिफ्ट करने पर सिंगुलर वैल्यू बदल जाती हैं क्योंकि रॉ मैट्रिक्स एंट्री बदल जाती हैं। हालांकि, क्योंकि प्रिंसिपल कंपोनेंट कोवैरिएंस मैट्रिक्स पर निर्भर करते हैं, जो स्वाभाविक रूप से मीन को घटाता है, इसलिए डेटा को शिफ्ट करने पर प्रिंसिपल कंपोनेंट पूरी तरह से अपरिवर्तित रहते हैं।
पहला प्रिंसिपल कंपोनेंट हमेशा सारी ज़रूरी जानकारी कैप्चर करता है।
पहला कंपोनेंट सिर्फ़ एक एक्सिस पर मैक्सिमम वेरिएंस को कैप्चर करता है। अगर आपका डेटा स्फेरिकली डिस्ट्रिब्यूटेड है या उसमें क्रिटिकल नॉन-लीनियर पैटर्न हैं, तो एक सिंगल लीनियर कंपोनेंट सबसे ज़रूरी स्ट्रक्चर को पूरी तरह से मिस कर सकता है।
जब आपका मुख्य लक्ष्य वैरिएंस के आधार पर किसी स्टैटिस्टिकल डेटासेट के फीचर्स को समझना, विज़ुअलाइज़ करना या कम करना हो, तो प्रिंसिपल कंपोनेंट्स चुनें। जब आपको लीनियर सिस्टम को सॉल्व करना हो, मैट्रिसेस को कम्प्रेस करना हो, या स्टैटिस्टिकल प्रीप्रोसेसिंग की चिंता किए बिना स्टेबल न्यूमेरिकल कैलकुलेशन करना हो, तो सिंगुलर वैल्यू चुनें।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
पैटर्न को समझना एक खास मैथमेटिकल स्किल है, लेकिन आप नंबर या शेप में से क्या इस्तेमाल करते हैं, इस पर निर्भर करते हुए तरीका काफी बदल जाता है। जहाँ अरिथमेटिक प्रोग्रेशन लगातार आने वाले टर्म के बीच एक फिक्स्ड, बिना बदलने वाले न्यूमेरिकल अंतर पर निर्भर करते हैं, वहीं विज़ुअल सीक्वेंस बदलते ज्योमेट्रिक प्रॉपर्टी, रंग या अरेंजमेंट का इस्तेमाल करते हैं। दोनों को समझने से एब्स्ट्रैक्ट अलजेब्रिक फ़ॉर्मूला और आसान स्पेशल रीजनिंग के बीच के अंतर को कम करने में मदद मिलती है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
जहां लैटिट्यूड-लॉन्गीट्यूड सिस्टम, पृथ्वी के इक्वेटर और प्राइम मेरिडियन से जुड़े दो परपेंडिकुलर एंगुलर मेज़रमेंट का इस्तेमाल करके थ्री-डाइमेंशनल स्फेरिकल सरफेस पर लोकेशन मैप करते हैं, वहीं पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम एक सेंट्रल स्टार्टिंग रे से मापे गए सिंगल एंगल के साथ एक स्ट्रेट-लाइन रेडियल डिस्टेंस का इस्तेमाल करके एक फ्लैट टू-डाइमेंशनल प्लेन पर पोजीशन बताते हैं।
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