पूर्णांक बनाम परिमेय
यह तुलना पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के बीच गणितीय अंतर को समझाती है, जिसमें यह दर्शाया गया है कि प्रत्येक संख्या प्रकार को कैसे परिभाषित किया जाता है, वे व्यापक संख्या प्रणाली में एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, और वे स्थितियाँ जहाँ एक वर्गीकरण संख्यात्मक मानों का वर्णन करने के लिए अधिक उपयुक्त होता है।
मुख्य बातें
- पूर्णांक वे पूर्ण संख्याएँ होती हैं जिनमें कोई भिन्नात्मक भाग नहीं होता, जिनमें ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल हैं।
- परिमेय संख्याओं को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें हर शून्येतर होता है।
- सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं, लेकिन सभी परिमेय संख्याएँ पूर्णांक नहीं होतीं।
- परिमेय संख्याओं में गैर-पूर्णांक भिन्न और दशमलव शामिल होते हैं जो आवर्ती होते हैं या समाप्त होते हैं।
पूर्णांक क्या है?
पूर्ण संख्याएँ जिनमें ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल हैं, बिना भिन्न या दशमलव के।
- श्रेणी: परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय
- पूर्ण संख्या जिसमें कोई भिन्नात्मक या दशमलव भाग नहीं होता।
- उदाहरण: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
- शामिल हैं: ऋणात्मक और धनात्मक मान तथा शून्य
- बाहर हैं: भिन्न और गैर-पूर्णांक दशमलव
तर्कसंगत क्या है?
वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर शून्येतर हो।
- श्रेणी: पूर्णांक और भिन्नों को शामिल करने वाली संख्या
- दो पूर्णांकों का भागफल जहाँ हर शून्य नहीं है।
- उदाहरण: १/२, ३, -४/७, ०.७५
- दशमलव रूप: समाप्त होने वाला या आवर्ती हो सकता है
- इसमें शामिल हैं: सभी पूर्णांक विशेष मामलों के रूप में
तुलना तालिका
| विशेषता | पूर्णांक | तर्कसंगत |
|---|---|---|
| परिभाषा | पूर्ण संख्या जिसमें भाग न हों | दो पूर्णांकों का भिन्न |
| प्रतीक समूह | ℤ (पूर्णांक) | ℚ (परिमेय संख्याएँ) |
| क्या इसमें पूर्णांक शामिल हैं? | हाँ (ये पूर्णांक हैं) | हाँ (सभी पूर्णांक शामिल हैं) |
| गैर-पूर्णांक भिन्न शामिल हैं | नहीं | हाँ |
| दशमलव निरूपण | आंशिक/दशमलव भाग नहीं | दोहराई जाने वाली या समाप्त होने वाली हो सकती है |
| सामान्य प्रपत्र | …,−2, −1, 0, 1, 2,… | a/b जहाँ b ≠ 0 |
| उदाहरण | -५, ०, ७ | १/३, ४.५, -२/५ |
विस्तृत तुलना
मूल परिभाषा
पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ होती हैं जिनमें कोई भिन्नात्मक घटक नहीं होता, जिसमें सभी ऋणात्मक संख्याएँ, शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल हैं। परिमेय संख्याओं में वे सभी संख्याएँ आती हैं जिन्हें एक पूर्णांक को दूसरे अशून्य पूर्णांक से विभाजित करके लिखा जा सकता है, अर्थात परिमेय संख्याओं में पूर्णांक विशेष स्थितियों में शामिल होते हैं जब हर एक होता है।
संख्या प्रणाली स्थिति
पूर्णांक परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि हर पूर्णांक को हर के रूप में एक के साथ भिन्न के रूप में व्यक्त करके परिमेय संख्या माना जा सकता है। परिमेय संख्याओं में गैर-पूर्णांक भिन्न भी शामिल होते हैं, जो समुच्चय को केवल पूर्ण मानों से आगे बढ़ाते हैं।
दशमलव व्यवहार
एक पूर्णांक कभी भी भिन्नात्मक या दशमलव भाग नहीं रखता, इसलिए इसका दशमलव निरूपण तुरंत समाप्त हो जाता है। परिमेय संख्याएँ दशमलव के रूप में प्रकट हो सकती हैं जो या तो समाप्त होती हैं या कोई पैटर्न दोहराती हैं, क्योंकि एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करने पर एक पूर्वानुमानित दशमलव प्रसार प्राप्त होता है।
व्यावहारिक उपयोग के मामले
पूर्णांक आमतौर पर अलग-अलग गिनती, चरणों और उन मामलों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ भिन्नात्मक मानों की आवश्यकता नहीं होती। परिमेय संख्याएँ तब उपयोगी होती हैं जब किसी पूरे के भागों, अनुपातों, अनुपातों और भिन्नात्मक घटकों वाले मापों का वर्णन करना हो।
लाभ और हानि
पूर्णांक
लाभ
- +कोई भिन्न/दशमलव नहीं
- +साधारण संख्या प्रकार
- +गिनती के लिए उपयोगी
- +अलग-अलग मान
सहमत
- −पूरे के कुछ हिस्सों को प्रदर्शित नहीं किया जा सकता
- −सीमित अनुपात के लिए
- −दोहराई जाने वाली दशमलव संख्याएँ नहीं
- −कम लचीला
तर्कसंगत
लाभ
- +भिन्न शामिल हैं
- +पूर्णांक भी शामिल हैं
- +अनुपात के लिए उपयोगी
- +दशमलव बहुमुखी प्रतिभा
सहमत
- −अधिक जटिल सेट
- −दशमलव दोहरा सकते हैं
- −हर denominator की बाधा आवश्यक है
- −कम सहज हो सकता है
सामान्य भ्रांतियाँ
पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ पूरी तरह से अलग श्रेणियाँ हैं।
पूर्णांक परिमेय संख्याओं का एक उपसमूह हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक को हर के रूप में एक के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे हर पूर्णांक एक परिमेय संख्या भी बन जाता है।
परिमेय संख्याएँ केवल भिन्न होनी चाहिए।
परिमेय संख्याओं में भिन्न शामिल होते हैं, लेकिन उनमें पूर्णांक भी शामिल होते हैं क्योंकि किसी पूर्णांक को हर एक के साथ भिन्न के रूप में लिखे जाने पर वह एक परिमेय संख्या होती है।
परिमेय संख्याएँ हमेशा अनंत दशमलव उत्पन्न करती हैं।
कुछ परिमेय संख्याएँ अनंत आवर्ती दशमलव उत्पन्न करती हैं, जबकि अन्य ऐसी दशमलव उत्पन्न करती हैं जो हर के आधार पर अंकों की एक सीमित संख्या के बाद समाप्त हो जाती हैं।
पूर्णांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं।
पूर्णांक में भिन्न या दशमलव शामिल नहीं हो सकते; केवल पूर्ण मान, जिनमें कोई भिन्नात्मक भाग नहीं होता, पूर्णांक कहलाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं?
क्या परिमेय संख्याएँ पूर्णांक हो सकती हैं?
एक परिमेय संख्या का उदाहरण जो पूर्णांक नहीं है?
क्या परिमेय संख्याओं में दशमलव शामिल होते हैं?
क्या परिमेय संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं?
पूर्णांक और परिमेय संख्याओं को कौन से चिह्न दर्शाते हैं?
क्या 0 एक पूर्णांक और एक परिमेय संख्या है?
क्या अपरिमेय संख्याएँ परिमेय होती हैं?
निर्णय
पूर्ण संख्याओं का उल्लेख करते समय 'integer' शब्द चुनें जिनमें भिन्न नहीं होते। उन संख्याओं का वर्णन करने के लिए 'rational' का उपयोग करें जिनमें भिन्न या दशमलव शामिल हो सकते हैं जो पूर्ण संख्याओं के अनुपात से परिभाषित होते हैं।
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