कर्व बनाम परिमेय संख्या
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
मुख्य बातें
- रैशनल नंबर में सभी इंटीजर, फ्रैक्शन और रिपीटिंग डेसिमल शामिल होते हैं।
- एक कर्व हमेशा इर्रेशनल होता है, लेकिन सभी इर्रेशनल नंबर (जैसे पाई) कर्व नहीं होते।
- कर्स्ड्स वे रूट्स हैं जिन्हें होल नंबर्स में नहीं बदला जा सकता।
- रैशनल नंबर पूरी तरह से प्रेडिक्टेबल होते हैं, जबकि सर्ड्स डेसिमल फॉर्म में इनफिनिट और केऑटिक होते हैं।
करणी क्या है?
एक इर्रेशनल नंबर जिसे एक रैशनल नंबर के रूट के तौर पर दिखाया जाता है, जिसे एक होल नंबर में आसान नहीं बनाया जा सकता।
- कर्स्ड्स, इर्रेशनल नंबर्स का एक खास सबसेट है जिसमें रूट्स होते हैं, जैसे √2 या √3।
- जब डेसिमल के रूप में लिखा जाता है, तो एक कर्ड बिना किसी रिपीटिंग पैटर्न के हमेशा चलता रहता है।
- यह शब्द लैटिन के 'सर्डस' से आया है, जिसका मतलब है बहरा या गूंगा, जिसका मतलब है कि ये नंबर 'कहने लायक नहीं' थे।
- 100% मैथमेटिकल एक्यूरेसी बनाए रखने के लिए उन्हें अक्सर रूट फ़ॉर्म में रखा जाता है।
- स्टैंडर्ड इंटीजर के विपरीत, कर्स्ड को जोड़ने या गुणा करने के लिए खास बीजगणितीय नियमों की ज़रूरत होती है।
तर्कसंगत संख्या क्या है?
कोई भी संख्या जिसे सिंपल फ्रैक्शन के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ ऊपर और नीचे दोनों इंटीजर हों।
- एक रैशनल नंबर को p/q के रेश्यो से डिफाइन किया जाता है, जहाँ q ज़ीरो नहीं होता।
- डेसिमल फ़ॉर्म में, वे या तो रुक जाते हैं (जैसे 0.5) या दोहराते हैं (जैसे 0.333...).
- सभी पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ तकनीकी रूप से परिमेय संख्याएँ हैं।
- ये रोज़ाना के लेन-देन और माप में इस्तेमाल होने वाले सबसे आम नंबर हैं।
- उन्हें रूलर और फाइनाइट डिवीज़न का इस्तेमाल करके नंबर लाइन पर ठीक से रखा जा सकता है।
तुलना तालिका
| विशेषता | करणी | तर्कसंगत संख्या |
|---|---|---|
| दशमलव विस्तार | अनंत और गैर-पुनरावृत्ति | समाप्त करना या दोहराना |
| भिन्न रूप | a/b के रूप में नहीं लिखा जा सकता | हमेशा a/b के रूप में लिखा जाता है |
| मूल सरलीकरण | रेडिकल साइन के तहत रहता है | पूर्णांक या भिन्न में सरलीकृत करता है |
| शुद्धता | केवल मूल रूप में सटीक | दशमलव या भिन्न रूप में सटीक |
| उदाहरण | √5 (लगभग 2.236...) | √4 (ठीक 2) |
| श्रेणी सेट करें | तर्कहीन संख्या | भिन्नात्मक संख्याएं |
विस्तृत तुलना
भिन्न परीक्षण
इन्हें अलग-अलग बताने का सबसे आसान तरीका है कि वैल्यू को दो पूरे नंबरों के फ्रैक्शन के तौर पर लिखने की कोशिश करें। अगर आप इसे 3/4 या 10/1 के तौर पर भी लिख सकते हैं, तो यह रैशनल है। सर्ड्स, जैसे 2 का स्क्वेयर रूट, फिजिकली फ्रैक्शन के तौर पर नहीं बताए जा सकते, चाहे आप न्यूमरेटर और डिनॉमिनेटर के लिए कितने भी बड़े नंबर चुनें।
संख्या रेखा पर कल्पना करना
रैशनल नंबर खास, अंदाज़ा लगाने लायक जगहों पर होते हैं, जहाँ हम सेगमेंट को बांटकर पहुँच सकते हैं। सर्ड उन रैशनल पॉइंट्स के बीच के 'गैप' पर होते हैं। भले ही वे इर्रेशनल हों, फिर भी वे एक बहुत ही असली, खास लंबाई दिखाते हैं, जैसे कि एक साइड वाले स्क्वेयर का डायगोनल जिसकी लंबाई एक हो।
बीजीय व्यवहार
रैशनल नंबरों के साथ काम करना आम तौर पर सीधा-सादा अरिथमेटिक होता है। हालांकि, सर्ड्स ज़्यादातर वेरिएबल्स (जैसे 'x') की तरह काम करते हैं। आप सिर्फ़ 'एक जैसे' सर्ड्स को ही एक साथ जोड़ सकते हैं, जैसे 2√3 + 4√3 = 6√3। अगर आप √2 और √3 को जोड़ने की कोशिश करते हैं, तो आप उन्हें एक ही रूट में आसान नहीं बना सकते; वे अलग-अलग रहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे सेब और संतरे को जोड़ना।
गोलाई और सटीकता
इंजीनियरिंग और साइंस में, surd के डेसिमल वर्शन (जैसे √2 के लिए 1.41) का इस्तेमाल करने से हमेशा एक छोटी सी गलती होती है। लंबे कैलकुलेशन के दौरान एकदम सही एक्यूरेसी बनाए रखने के लिए, मैथमैटिशियन नंबरों को आखिरी स्टेप तक उनके 'surd फ़ॉर्म' में रखते हैं। रैशनल नंबरों को यह प्रॉब्लम अक्सर नहीं होती क्योंकि उनके डेसिमल या तो फाइनाइट होते हैं या उनका एक प्रेडिक्टेबल पैटर्न होता है।
लाभ और हानि
करणी
लाभ
- +पूर्ण गणितीय सटीकता
- +ज्यामितीय विकर्णों का वर्णन करता है
- +त्रिकोणमिति के लिए आवश्यक
- +सुरुचिपूर्ण संकेतन
सहमत
- −कठिन मानसिक गणित
- −अनंत दशमलव विस्तार
- −जटिल जोड़ नियम
- −मूल प्रतीकों की आवश्यकता है
तर्कसंगत संख्या
लाभ
- +गणना करना आसान है
- +मानक भिन्नों में फ़िट होता है
- +सरल दशमलव रूप
- +मापने के लिए सहज
सहमत
- −सभी लंबाई नहीं दर्शाई जा सकती
- −रिपीट करना गड़बड़ हो सकता है
- −उच्च ज्यामिति में सीमित
- −जड़ों की तुलना में कम सटीक
सामान्य भ्रांतियाँ
स्क्वेयर रूट सिंबल वाली हर संख्या एक कर्सर होती है।
यह एक आम गलती है। 9 (√9) का वर्गमूल एक सर्ड नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से सिंपल होकर 3 नंबर बन जाता है, जो एक रैशनल नंबर है। सिर्फ़ 'अनरिज़ॉल्व्ड' रूट्स ही सर्ड होते हैं।
कर्स्ड और इर्रेशनल नंबर एक ही चीज़ हैं।
सभी surds इर्रेशनल होते हैं, लेकिन इसका उल्टा सच नहीं है। Pi (π) और Euler's number (e) जैसे ट्रांसेंडेंटल नंबर इर्रेशनल होते हैं, लेकिन वे surds नहीं हैं क्योंकि वे अलजेब्रिक इक्वेशन के रूट नहीं हैं।
0.333... एक कर्सर है क्योंकि यह हमेशा चलता रहता है।
रिपीटिंग डेसिमल असल में रैशनल नंबर होते हैं। क्योंकि 0.333... को ठीक फ्रैक्शन 1/3 के तौर पर लिखा जा सकता है, इसलिए यह रैशनल नंबर माना जाता है। सर्ड नॉन-रिपीटिंग होने चाहिए।
आप असली दुनिया में surds का इस्तेमाल नहीं कर सकते।
कर्व हर जगह हैं! अगर आपने कभी कंस्ट्रक्शन या डिज़ाइन में 45-डिग्री वाले ट्रायंगल का इस्तेमाल किया है, तो आप हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई कैलकुलेट करने के लिए कर्व √2 के साथ काम कर रहे हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मैं एक surd को कैसे आसान बनाऊं?
क्या पाई एक कर्सर है?
'डिनॉमिनेटर को रैशनलाइज़ करना' क्या है?
कर्स्ड क्यों होते हैं?
क्या आप एक परिमेय संख्या को एक कर्सर में जोड़ सकते हैं?
क्या सभी पूर्ण संख्याएँ परिमेय हैं?
क्या किसी भिन्न का वर्गमूल एक कर्सर है?
क्या शून्य एक परिमेय संख्या है?
निर्णय
रोज़ाना की गिनती, फाइनेंशियल ट्रांज़ैक्शन और आसान मेज़रमेंट के लिए रैशनल नंबर चुनें। जब आप ज्योमेट्री, ट्रिगोनोमेट्री या हाई-लेवल फ़िज़िक्स के साथ काम कर रहे हों, जहाँ एकदम सही सटीकता बनाए रखना, साफ़ डेसिमल से ज़्यादा ज़रूरी है, तो सर्ड का इस्तेमाल करें।
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