फ़ंक्शन बनाम संबंध
मैथ की दुनिया में, हर फंक्शन एक रिलेशन होता है, लेकिन हर रिलेशन फंक्शन नहीं होता। जबकि एक रिलेशन सिर्फ़ दो नंबरों के सेट के बीच किसी भी जुड़ाव को बताता है, एक फंक्शन एक डिसिप्लिन्ड सबसेट होता है जिसके लिए हर इनपुट से ठीक एक खास आउटपुट की ज़रूरत होती है।
मुख्य बातें
- सभी फंक्शन रिलेशन होते हैं, लेकिन ज़्यादातर रिलेशन फंक्शन नहीं होते।
- फ़ंक्शन उनकी रिलायबिलिटी से डिफाइन होते हैं: एक इनपुट एक आउटपुट के बराबर होता है।
- वर्टिकल लाइन टेस्ट किसी फ़ंक्शन के लिए पक्का विज़ुअल प्रूफ़ है।
- रिलेशन एक 'x' वैल्यू को अनगिनत 'y' वैल्यू से मैप कर सकते हैं।
रिश्ता क्या है?
ऑर्डर्ड पेयर्स का कोई भी सेट जो इनपुट और आउटपुट के बीच कनेक्शन बताता है।
- रिलेशन, डोमेन से रेंज में एलिमेंट्स को मैप करने के लिए सबसे बड़ी कैटेगरी है।
- एक रिलेशन में एक इनपुट को कई अलग-अलग आउटपुट के साथ जोड़ा जा सकता है।
- इन्हें पॉइंट्स, इक्वेशन या वर्बल डिस्क्रिप्शन के सेट के रूप में भी दिखाया जा सकता है।
- किसी रिलेशन का ग्राफ़ कोई भी आकार बना सकता है, जिसमें सर्कल या वर्टिकल लाइन शामिल हैं।
- रिलेशन का इस्तेमाल आम रुकावटों को बताने के लिए किया जाता है, जैसे 'x, y से बड़ा है'।
समारोह क्या है?
एक खास तरह का रिलेशन जिसमें हर इनपुट का एक सिंगल, यूनिक आउटपुट होता है।
- कोऑर्डिनेट प्लेन पर प्लॉट किए जाने पर फ़ंक्शन को वर्टिकल लाइन टेस्ट पास करना होगा।
- डोमेन (x) का हर एलिमेंट, रेंज (y) के ठीक एक एलिमेंट से मैप होता है।
- उन्हें अक्सर 'मैथमेटिकल मशीन' के तौर पर देखा जाता है जो पहले से पता चलने वाले नतीजे देती हैं।
- हालांकि एक इनपुट का सिर्फ़ एक आउटपुट हो सकता है, लेकिन अलग-अलग इनपुट एक ही आउटपुट शेयर कर सकते हैं।
- डिपेंडेंसी पर ज़ोर देने के लिए आमतौर पर f(x) जैसे नोटेशन का इस्तेमाल करके दिखाया जाता है।
तुलना तालिका
| विशेषता | रिश्ता | समारोह |
|---|---|---|
| परिभाषा | क्रमित युग्मों का कोई भी संग्रह | हर इनपुट पर एक आउटपुट असाइन करने का नियम |
| इनपुट/आउटपुट अनुपात | एक-से-कई की अनुमति है | केवल एक-से-एक या अनेक-से-एक |
| ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण | फेल हो सकता है (दो या ज़्यादा बार इंटरसेक्ट करता है) | पास होना चाहिए (एक या कम बार प्रतिच्छेद करता है) |
| ग्राफिक उदाहरण | वृत्त, पार्श्व परवलय, S-वक्र | रेखाएँ, ऊपर की ओर परवलय, साइन तरंगें |
| गणितीय क्षेत्र | सामान्य श्रेणी | संबंधों की उप-श्रेणी |
| पूर्वानुमान | कम (कई संभावित उत्तर) | हाई (एक निश्चित उत्तर) |
विस्तृत तुलना
इनपुट-आउटपुट नियम
मुख्य अंतर डोमेन के व्यवहार में है। एक रिलेशन में, आप नंबर 5 डाल सकते हैं और वापस 10 या 20 पा सकते हैं, जिससे 'वन-टू-मैनी' सिनेरियो बनता है। एक फ़ंक्शन इस कन्फ्यूजन को रोकता है; अगर आप 5 डालते हैं, तो आपको हर बार एक ही, एक जैसा रिज़ल्ट मिलना चाहिए, जिससे यह पक्का हो सके कि सिस्टम डिटरमिनिस्टिक है।
दृश्य पहचान
आप वर्टिकल लाइन टेस्ट का इस्तेमाल करके ग्राफ पर तुरंत अंतर देख सकते हैं। अगर आप प्लॉट पर कहीं भी एक वर्टिकल लाइन खींच सकते हैं जो कर्व को एक से ज़्यादा जगहों पर छूती है, तो आप एक रिलेशन देख रहे हैं। फंक्शन ज़्यादा 'स्ट्रीमलाइन्ड' होते हैं और कभी भी हॉरिजॉन्टली खुद पर डबल बैक नहीं होते हैं।
वास्तविक दुनिया का तर्क
समय के साथ किसी व्यक्ति की हाइट के बारे में सोचें; किसी भी खास उम्र में, व्यक्ति की हाइट ठीक एक होती है, जो इसे एक फंक्शन बनाता है। इसके उलट, लोगों और उनकी कारों की लिस्ट के बारे में सोचें। क्योंकि एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग कारें हो सकती हैं, इसलिए यह कनेक्शन एक रिलेशन है, फंक्शन नहीं।
संकेतन और उद्देश्य
फंक्शन कैलकुलस और फिजिक्स के लिए सबसे अच्छे होते हैं क्योंकि उनकी प्रेडिक्टेबिलिटी हमें रेट्स ऑफ़ चेंज को कैलकुलेट करने देती है। हम खास तौर पर फंक्शन के लिए 'f(x)' नोटेशन का इस्तेमाल करते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि आउटपुट पूरी तरह से 'x' पर निर्भर करता है। रिलेशन ज्योमेट्री में एलिप्स जैसे शेप्स को डिफाइन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो इन सख्त नियमों का पालन नहीं करते हैं।
लाभ और हानि
रिश्ता
लाभ
- +लचीला मानचित्रण
- +जटिल आकृतियों का वर्णन करता है
- +सार्वभौमिक श्रेणी
- +सभी डेटा सहित
सहमत
- −हल करना कठिन
- −अप्रत्याशित आउटपुट
- −सीमित कलन उपयोग
- −ऊर्ध्वाधर परीक्षण में विफल
समारोह
लाभ
- +पूर्वानुमानित परिणाम
- +मानकीकृत संकेतन
- +कलन का आधार
- +निर्भरताएँ साफ़ करें
सहमत
- −सख्त आवश्यकताएं
- −वृत्तों का मॉडल नहीं बनाया जा सकता
- −कम लचीला
- −सीमित डोमेन नियम
सामान्य भ्रांतियाँ
एक फ़ंक्शन में दो अलग-अलग इनपुट का नतीजा एक जैसा नहीं हो सकता।
असल में इसकी इजाज़त है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x² में, -2 और 2 दोनों का रिज़ल्ट 4 होता है। यह एक 'मैनी-टू-वन' रिलेशनशिप है, जो फ़ंक्शन के लिए पूरी तरह से वैलिड है।
सर्कल के लिए इक्वेशन फ़ंक्शन होते हैं।
सर्कल रिलेशन होते हैं, फंक्शन नहीं। अगर आप सर्कल में एक वर्टिकल लाइन खींचते हैं, तो यह ऊपर और नीचे दोनों तरफ से टकराती है, जिसका मतलब है कि एक x-वैल्यू में दो y-वैल्यू होती हैं।
'रिलेशन' और 'फ़ंक्शन' शब्दों का इस्तेमाल एक दूसरे की जगह किया जा सकता है।
वे नेस्टेड टर्म्स हैं। आप किसी फ़ंक्शन को रिलेशन कह सकते हैं, लेकिन अगर किसी जनरल रिलेशन को फ़ंक्शन कहना वन-आउटपुट रूल को तोड़ता है, तो यह मैथमेटिकली गलत है।
फ़ंक्शन को हमेशा इक्वेशन के रूप में लिखा जाना चाहिए।
फ़ंक्शन को टेबल, ग्राफ़ या कोऑर्डिनेट के सेट से भी दिखाया जा सकता है। जब तक 'एक इनपुट पर एक आउटपुट' का नियम बना रहता है, तब तक फ़ॉर्मेट से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मैं कैसे बता सकता हूँ कि कोऑर्डिनेट्स की लिस्ट एक फ़ंक्शन है?
वर्टिकल लाइन टेस्ट का इस्तेमाल क्यों किया जाता है?
'वन-टू-वन' फ़ंक्शन क्या है?
क्या वर्टिकल लाइन एक फ़ंक्शन है?
क्या कोई फ़ंक्शन एक सिंगल पॉइंट हो सकता है?
डोमेन और रेंज क्या है?
क्या सभी लीनियर इक्वेशन फंक्शन होते हैं?
क्या किसी फ़ंक्शन को किसी पैटर्न को फ़ॉलो करना ज़रूरी है?
निर्णय
जब आपको कोई आम कनेक्शन या कोई ज्योमेट्रिक शेप बताना हो जो खुद पर लूप करता हो, तो रिलेशन का इस्तेमाल करें। जब आपको एक ऐसा मॉडल चाहिए जिसका अंदाज़ा लगाया जा सके और हर एक्शन का नतीजा एक खास, बार-बार होने वाला रिएक्शन हो, तो फ़ंक्शन पर स्विच करें।
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