यह तुलना सम और विषम संख्याओं के बीच के अंतर को स्पष्ट करती है, यह दर्शाती है कि प्रत्येक प्रकार को कैसे परिभाषित किया गया है, वे बुनियादी अंकगणित में कैसे व्यवहार करते हैं, और सामान्य गुण जो पूर्णांकों को 2 से विभाज्यता और गणना और गणना में पैटर्न के आधार पर वर्गीकृत करने में मदद करते हैं।
जो पूर्णांक 2 से पूरी तरह विभाजित होते हैं, बिना किसी शेषफल के, और हर दूसरे नंबर पर दिखाई देते हैं।
विषम संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती हैं, संख्या रेखा पर सम संख्याओं के साथ बारी-बारी से आती हैं।
| विशेषता | सम संख्याएँ | विषम संख्याएँ |
|---|---|---|
| 2 से विभाज्यता | समान रूप से विभाज्य (शेषफल 0) | बराबर विभाजित नहीं होता (शेषफल 1) |
| सामान्य प्रपत्र | 2000 | 2000 + 1 |
| दशमलव के साथ समाप्त होता है | 0, 2, 4, 6, या 8 | 1, 3, 5, 7, या 9 |
| उदाहरण मान | 0, 6, 14, -8 | 1, 7, 23, -5 |
| जोड़ के पैटर्न | सम + सम = सम; सम + विषम = विषम | विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या; विषम संख्या + सम संख्या = विषम संख्या |
| गुणा के पैटर्न | विषम संख्या को किसी भी संख्या से गुणा करने पर उत्तर हमेशा विषम संख्या होता है | विषम संख्या को विषम संख्या से गुणा करने पर उत्तर हमेशा विषम संख्या ही आता है |
सम संख्याएँ वे पूर्णांक हैं जिन्हें दो से विभाजित करने पर कोई शेषफल नहीं आता, जिसका अर्थ है कि परिणाम एक पूर्ण संख्या होता है। विषम संख्याएँ वे पूर्णांक हैं जिन्हें दो से विभाजित करने पर 1 का शेषफल आता है, इसलिए उन्हें दो समान समूहों में समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता। यह सरल विभाज्यता नियम बताता है कि इन दोनों श्रेणियों को कैसे अलग किया जाता है।
बीजगणितीय रूप में, सम संख्याएँ 2k के रूप में व्यक्त की जाती हैं, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है, जो दर्शाता है कि वे दो की नियमित वृद्धि में होती हैं। विषम संख्याएँ 2k+1 के रूप में होती हैं, जो इंगित करती हैं कि वे हमेशा संख्या रेखा पर दो सम संख्याओं के बीच में स्थित होती हैं। सकारात्मक और नकारात्मक दोनों ही पूर्ण संख्याएँ इस प्रकार वर्गीकृत की जा सकती हैं, और शून्य को सम संख्या माना जाता है।
एक त्वरित तरीका जिससे आप रोजमर्रा के उपयोग में सम और विषम संख्याओं की पहचान कर सकते हैं, वह है आधार-10 प्रतिनिधित्व में अंतिम अंक की जांच करना: सम संख्याएँ 0, 2, 4, 6 या 8 से समाप्त होती हैं, जबकि विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7 या 9 से समाप्त होती हैं। यह पैटर्न पूर्णांकों को वास्तविक विभाजन के बिना वर्गीकृत करना आसान बनाता है।
जोड़ और गुणा में सम और विषम संख्याओं का संयोजन पूर्वानुमानित पैटर्न का पालन करता है: दो विषम संख्याओं या दो सम संख्याओं को जोड़ने पर एक सम संख्या प्राप्त होती है, जबकि एक सम और एक विषम संख्या को जोड़ने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है। किसी भी संख्या को एक सम संख्या से गुणा करने पर हमेशा एक सम संख्या प्राप्त होती है, जबकि दो विषम संख्याओं को गुणा करने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है, ये गुण बुनियादी गणित के कई क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं।
दशमलव संख्याओं को सम या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है.
केवल पूर्णांकों के लिए ही सम और विषम श्रेणियां लागू होती हैं, क्योंकि केवल पूर्ण संख्याओं को 2 से विभाज्यता के लिए जांचा जा सकता है। 2.5 या 3.4 जैसी संख्याएं इन परिभाषाओं में फिट नहीं होती हैं, और इसलिए न तो वे सम हैं और न ही विषम।
शून्य सम भी नहीं है और विषम भी नहीं है।
शून्य को सम संख्या माना जाता है क्योंकि यह सम संख्याओं की मानक परिभाषा को पूरा करता है, जो कि 2 से पूरी तरह विभाजित होना है, जिसमें कोई शेषफल नहीं होता।
नकारात्मक संख्याएँ सम या विषम नहीं हो सकतीं।
नकारात्मक पूर्णांक भी उसी विभाज्यता के नियमों का पालन करते हैं: यदि एक ऋणात्मक संख्या को 2 से विभाजित करने पर कोई शेषफल नहीं आता है, तो वह सम संख्या है, अन्यथा वह विषम संख्या है। इसलिए, वर्गीकरण जैसे -4 (सम) और -3 (विषम) मान्य हैं।
दो विषम संख्याओं को जोड़ने पर हमेशा एक विषम संख्या प्राप्त होती है।
जब आप दो विषम संख्याओं को जोड़ते हैं, तो उनके शेषफल का योग 2 होता है जब उन्हें 2 से विभाजित किया जाता है, और 2 एक सम संख्या है, इसलिए कुल योग सम हो जाता है, विषम नहीं।
दोनों, सम और विषम संख्याएँ, पूर्णांकों के भीतर मूलभूत वर्गीकरण हैं जो गणनाओं और संख्या रेखा पर पैटर्न के परिणामों की भविष्यवाणी करने में मदद करते हैं। सम संख्याओं का उपयोग उन समस्याओं के लिए करें जिनमें 2 से विभाज्यता और अनुमानित अंकगणितीय पैटर्न शामिल हैं, और विषम संख्याओं को तब पहचानें जब मानों को समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
असल में, अरिथमेटिक और जियोमेट्रिक सीक्वेंस नंबरों की लिस्ट को बढ़ाने या घटाने के दो अलग-अलग तरीके हैं। एक अरिथमेटिक सीक्वेंस जोड़ने या घटाने से एक जैसी, सीधी रफ़्तार से बदलता है, जबकि एक जियोमेट्रिक सीक्वेंस गुणा या भाग से तेज़ी से बढ़ता या घटता है।
अरिथमेटिक मीन हर डेटा पॉइंट को फ़ाइनल एवरेज में बराबर योगदान देने वाला मानता है, जबकि वेटेड मीन अलग-अलग वैल्यू को खास लेवल का महत्व देता है। इस अंतर को समझना सिंपल क्लास एवरेज कैलकुलेट करने से लेकर कॉम्प्लेक्स फ़ाइनेंशियल पोर्टफ़ोलियो तय करने तक, हर चीज़ के लिए ज़रूरी है, जहाँ कुछ एसेट दूसरों की तुलना में ज़्यादा ज़रूरी होते हैं।
यह तुलना अभाज्य और संयुक्त संख्याओं की परिभाषाओं, गुणों, उदाहरणों और अंतरों को स्पष्ट करती है, जो प्राकृतिक संख्याओं की दो मूलभूत श्रेणियां हैं। यह बताता है कि उन्हें कैसे पहचाना जाता है, वे गुणनखंडन में कैसे व्यवहार करते हैं, और बुनियादी संख्या सिद्धांत में उन्हें पहचानने का महत्व क्यों है।
कन्वर्जेंट और डाइवर्जेंट सीरीज़ के बीच का अंतर यह तय करता है कि नंबरों का एक अनंत जोड़ एक खास, सीमित वैल्यू पर आता है या अनंत की ओर भटक जाता है। जबकि एक कन्वर्जेंट सीरीज़ अपने टर्म्स को धीरे-धीरे 'सिकुड़ती' है जब तक कि उनका टोटल एक स्थिर लिमिट तक नहीं पहुँच जाता, एक डाइवर्जेंट सीरीज़ स्थिर नहीं हो पाती, या तो बिना किसी सीमा के बढ़ती रहती है या हमेशा ऑसिलेट करती रहती है।
कर्स्ड और रैशनल नंबरों के बीच की सीमा उन नंबरों के बीच का अंतर बताती है जिन्हें साफ-साफ फ्रैक्शन के तौर पर दिखाया जा सकता है और उन नंबरों के बीच जो इनफिनिट, नॉन-रिपीटिंग डेसिमल में बदल जाते हैं। जबकि रैशनल नंबर सिंपल डिवीज़न के साफ नतीजे होते हैं, कर्स्ड उन इंटीजर के रूट को दिखाते हैं जिन्हें फाइनाइट या रिपीटिंग फॉर्म में बदलना मना है।
