वृत्त बनाम दीर्घवृत्त
जहां एक सर्कल को एक सेंटर पॉइंट और एक कॉन्सटेंट रेडियस से डिफाइन किया जाता है, वहीं एक एलिप्स इस कॉन्सेप्ट को दो फोकल पॉइंट तक बढ़ाता है, जिससे एक लंबा शेप बनता है जहां इन फोकी की दूरियों का जोड़ कॉन्सटेंट रहता है। हर सर्कल टेक्निकली एक खास तरह का एलिप्स होता है जहां दो फोकी पूरी तरह से ओवरलैप होते हैं, जिससे वे कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में सबसे करीबी संबंधित फिगर बन जाते हैं।
मुख्य बातें
- एक सर्कल का एक सेंटर होता है, जबकि एक एलिप्स में दो अलग-अलग फोकल पॉइंट होते हैं।
- हर वृत्त एक दीर्घवृत्त होता है, लेकिन हर दीर्घवृत्त वृत्त नहीं होता।
- एक सर्कल का रेडियस कॉन्सटेंट होता है; एक एलिप्स का 'रेडियस' हर पॉइंट पर बदलता है।
- एलिप्स का इस्तेमाल ग्रहों और आकाशीय पिंडों के रास्तों को बताने के लिए किया जाता है।
घेरा क्या है?
एक बिल्कुल गोल, टू-डाइमेंशनल आकार जिसमें किनारे पर हर पॉइंट सेंटर से बिल्कुल एक ही दूरी पर होता है।
- एक सर्कल की एक्सेंट्रिसिटी बिल्कुल ज़ीरो होती है, जो परफेक्ट राउंडनेस को दिखाती है।
- इसे एक सिंगल सेंट्रल फोकस पॉइंट और एक कॉन्सटेंट रेडियस से डिफाइन किया जाता है।
- किसी वृत्त के सबसे चौड़े भाग की दूरी को व्यास कहते हैं।
- सर्किल में अपने सेंटर पॉइंट के चारों ओर इनफिनिट रोटेशनल सिमिट्री होती है।
- सर्कल एक गोले या सिलेंडर का क्रॉस-सेक्शन होता है जो उसके एक्सिस पर परपेंडिकुलर काटा जाता है।
अंडाकार क्या है?
एक लंबा घुमावदार आकार जो दो अंदरूनी पॉइंट्स से बना होता है, जिन्हें foci कहते हैं, और जो एक चपटे या फैले हुए सर्कल जैसा दिखता है।
- कर्व पर किसी भी पॉइंट से दो फ़ोकस तक की दूरियों का जोड़ हमेशा कॉन्सटेंट रहता है।
- एलिप्सिस में दो प्राइमरी एक्सिस होते हैं: मेजर (सबसे लंबा) और माइनर (सबसे छोटा)।
- ग्रहों और सैटेलाइट्स के ऑर्बिट लगभग हमेशा एलिप्टिकल होते हैं, पूरी तरह सर्कुलर नहीं।
- एक एलिप्स की एक्सेंट्रिसिटी वैल्यू ज़ीरो से ज़्यादा लेकिन एक से कम होती है।
- जब आप किसी सर्कल को साइड एंगल से या पर्सपेक्टिव में देखते हैं, तो वह एक एलिप्स जैसा दिखता है।
तुलना तालिका
| विशेषता | घेरा | अंडाकार |
|---|---|---|
| फ़ोकस की संख्या | 1 (केंद्र) | 2 अलग-अलग बिंदु |
| उत्केंद्रितता (e) | ई = 0 | 0 < ई < 1 |
| त्रिज्या/अक्ष | स्थिर त्रिज्या | परिवर्तनीय प्रमुख और लघु अक्ष |
| समरूपता रेखाएँ | अनंत (कोई भी व्यास) | दो (प्रमुख और लघु अक्ष) |
| मानक समीकरण | x² + y² = r² | (x²/a²) + (y²/b²) = 1 |
| प्राकृतिक घटना | साबुन के बुलबुले, लहरें | ग्रहों की कक्षाएँ, छायाएँ |
| परिमाप सूत्र | 2πr (सरल) | जटिल एकीकरण की आवश्यकता है |
विस्तृत तुलना
ज्यामितीय संबंध
मैथमेटिकली, एक सर्कल, एलिप्स का ही एक खास रूप है। दो फोकस वाले एक एलिप्स की कल्पना करें; जैसे-जैसे वे दो पॉइंट एक-दूसरे के करीब आते हैं और आखिर में एक ही जगह पर मिल जाते हैं, लंबा आकार धीरे-धीरे गोल होता जाता है जब तक कि वह एक परफेक्ट सर्कल न बन जाए। यही वजह है कि एलिप्स पर लागू होने वाले कई ज्योमेट्रिक नियम सर्कल के लिए भी काम करते हैं, लेकिन आसान वेरिएबल के साथ।
समरूपता और संतुलन
एक सर्कल सिमिट्री की सबसे अच्छी चीज़ है, इसे कैसे भी घुमाएँ, यह एक जैसा दिखता है। हालाँकि, एक एलिप्स ज़्यादा सीमित होता है; यह सिर्फ़ अपने दो मुख्य एक्सिस पर सिमिट्री बनाए रखता है। इसी अंतर की वजह से गोल चीज़ों को पहियों जैसे घूमने वाले हिस्सों के लिए पसंद किया जाता है, जबकि एलिप्टिकल शेप का इस्तेमाल लाइट को फोकस करने या एयरोडायनामिक प्रोफाइल डिज़ाइन करने जैसे खास कामों के लिए किया जाता है।
परिमाप की गणना
सर्कल का घेरा पता करना स्टूडेंट्स की पहली सीखी हुई चीज़ों में से एक है क्योंकि इसका फ़ॉर्मूला सीधा है। इसके उलट, एक एलिप्स का सही घेरा पता करना हैरानी की बात है कि मुश्किल है और इसके लिए एडवांस्ड कैलकुलस या हाई-लेवल अंदाज़े की ज़रूरत होती है। यह मुश्किल इसलिए आती है क्योंकि एलिप्स का कर्वेचर लगातार बदलता रहता है जब आप उसके किनारे पर चलते हैं।
विज्ञान में अनुप्रयोग
गियर और पाइप जैसी चीज़ों के लिए इंसानी इंजीनियरिंग में सर्कल आम हैं क्योंकि वे प्रेशर को बराबर बांटते हैं। एलिप्स फिजिक्स की कुदरती दुनिया में हावी हैं; उदाहरण के लिए, पृथ्वी सूरज के चारों ओर गोल चक्कर में नहीं घूमती, बल्कि एक एलिप्टिकल रास्ते पर घूमती है। इससे अलग-अलग स्पीड और दूरियां बनती हैं जो हमारे ऑर्बिटल मैकेनिक्स को तय करती हैं।
लाभ और हानि
घेरा
लाभ
- +पूर्ण घूर्णन समरूपता
- +सरल गणित सूत्र
- +समान तनाव वितरण
- +निर्माण में आसान
सहमत
- −सीमित सौंदर्य विविधता
- −कक्षीय पथों में दुर्लभ
- −पॉइंट्स पर फ़ोकस नहीं कर पा रहा हूँ
- −निश्चित अनुपात
अंडाकार
लाभ
- +कक्षाओं का सटीक मॉडल तैयार करना
- +प्रकाश/ध्वनि तरंगों को केंद्रित करता है
- +गतिशील दृश्य अपील
- +लचीले आयाम
सहमत
- −जटिल परिधि गणित
- −असमान दबाव वितरण
- −सुचारू रूप से घुमाना कठिन
- −अधिक पैरामीटर की आवश्यकता है
सामान्य भ्रांतियाँ
एक सर्कल और एक एलिप्स दो पूरी तरह से अलग आकार हैं।
कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में, वे 'कॉनिक सेक्शन' नाम की एक ही फ़ैमिली का हिस्सा हैं। एक सर्कल, एलिप्स की एक सब-कैटेगरी है, जहाँ हॉरिजॉन्टल एक्सिस की लंबाई वर्टिकल एक्सिस के बराबर होती है।
सभी अंडाकार एलिप्सिस होते हैं।
एलिप्स एक बहुत ही खास मैथमेटिकल कर्व है। वैसे तो सभी एलिप्स ओवल होते हैं, लेकिन कई ओवल—जैसे एक स्टैंडर्ड अंडे का आकार—एक असली एलिप्स होने के लिए ज़रूरी कॉन्सटेंट-सम-ऑफ-डिस्टेंस रूल को फॉलो नहीं करते हैं।
ग्रह एकदम गोल घूमते हैं।
ज़्यादातर लोग मानते हैं कि ऑर्बिट गोल होते हैं, लेकिन असल में वे थोड़े अंडाकार होते हैं। यह जोहान्स केप्लर की एक बड़ी खोज थी जिसने सदियों पुरानी एस्ट्रोनॉमिकल थ्योरी को ठीक किया।
आप एक एलिप्स का पेरिमीटर उतनी ही आसानी से कैलकुलेट कर सकते हैं जितनी आसानी से एक सर्कल का।
एलिप्स के लिए 2πr जैसा कोई आसान फ़ॉर्मूला नहीं है। एलिप्स के पेरिमीटर के लिए सबसे आम 'आसान' फ़ॉर्मूले भी सिर्फ़ अंदाज़े हैं, एकदम सही जवाब नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
एक वृत्त की एक्सेंट्रिसिटी क्या है?
एलिप्सिस में दो फोकस क्यों होते हैं?
क्या एक एलिप्स की रेडियस हो सकती है?
आप एक सर्कल को एलिप्स में कैसे बदलते हैं?
व्हिस्परिंग गैलरी एलिप्टिकल क्यों होती हैं?
क्या हुला हूप एक अंडाकार है या एक वृत्त?
'डीजेनरेट' सर्कल क्या है?
क्या सूरज पृथ्वी के एलिप्टिकल ऑर्बिट के सेंटर में है?
आप एक एलिप्स को सही तरीके से कैसे बनाते हैं?
अगर किसी एलिप्स की एक्सेंट्रिसिटी 1 तक पहुंच जाए तो क्या होगा?
निर्णय
जब आपको परफेक्ट सिमिट्री, यूनिफॉर्म प्रेशर डिस्ट्रीब्यूशन, या आसान मैथमेटिकल कैलकुलेशन की ज़रूरत हो, तो सर्कल चुनें। नेचुरल ऑर्बिट की मॉडलिंग करते समय, रिफ्लेक्टिव ऑप्टिक्स डिज़ाइन करते समय, या पर्सपेक्टिव ड्राइंग में गोल चीज़ों को दिखाते समय एलिप्स चुनें।
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