تانژانت و کتانژانت توابع مثلثاتی معکوسی هستند که رابطه بین ساقهای یک مثلث قائمالزاویه را توصیف میکنند. در حالی که تانژانت بر نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تمرکز دارد، کتانژانت این دیدگاه را وارونه میکند و نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را ارائه میدهد.
نسبت سینوس یک زاویه به کسینوس آن، که نشان دهنده شیب یک خط است.
معکوس تابع تانژانت، که نسبت کسینوس به سینوس را نشان میدهد.
| ویژگی | مماس (قهوهای) | کتانژانت (cot) |
|---|---|---|
| نسبت مثلثاتی | سینوس(x) / کاسین(x) | کسینوس(x) / سین(x) |
| نسبت مثلث | روبرو / مجاور | مجاور / روبرو |
| تعریف نشده در | پی/۲ + ن پی | نπ |
| مقدار در دمای ۴۵ درجه | ۱ | ۱ |
| جهت عملکرد | افزایشی (بین مجانبها) | کاهشی (بین مجانبها) |
| مشتق | ثانیه²(x) | -csc²(x) |
| رابطه متقابل | ۱ / تختخواب تاشو (x) | ۱ / برنزه (x) |
تانژانت و کتانژانت دو پیوند متمایز دارند. اولاً، آنها معکوس هستند؛ اگر تانژانت یک زاویه ¾ باشد، کتانژانت به طور خودکار ¾ است. ثانیاً، آنها تابع مشترک هستند، به این معنی که تانژانت یک زاویه در یک مثلث قائمالزاویه دقیقاً برابر با کتانژانت زاویه غیر قائمه دیگر است.
نمودار تانژانت به خاطر شکل منحنی رو به بالایش که بین دیوارههای عمودی به نام مجانب تکرار میشود، مشهور است. کتانژانت کاملاً مشابه به نظر میرسد اما جهت را منعکس میکند و با حرکت از چپ به راست به سمت پایین منحنی میشود. از آنجا که نقاط تعریف نشده آنها به صورت پلکانی هستند، که در آن تانژانت دارای مجانب است، کتانژانت اغلب دارای یک تقاطع صفر است.
در یک صفحه مختصات، تانژانت شهودیترین روش برای توصیف «تندروی» یا شیب خطی است که از مبدأ میگذرد. کتانژانت، اگرچه در محاسبات اولیه شیب کمتر رایج است، اما در نقشهبرداری و ناوبری، زمانی که خیز عمودی ثابت شناخته شده و فاصله افقی متغیری است که برای آن حل میشود، حیاتی است.
وقتی صحبت از نرخ تغییرات میشود، تانژانت به تابع سکانت مرتبط است، در حالی که کتانژانت به تابع کسکانت مرتبط است. مشتقات و انتگرالهای آنها این تقارن را منعکس میکنند، به طوری که کتانژانت اغلب در عملیات خود علامت منفی میگیرد و رفتاری را که در رابطه بین سینوس و کسینوس دیده میشود، منعکس میکند.
تانژانت و کتانژانت دوره تناوب ۳۶۰ درجه دارند.
برخلاف سینوس و کسینوس، تانژانت و کتانژانت هر ۱۸۰ درجه (π رادیان) چرخههای خود را تکرار میکنند. دلیل این امر این است که نسبت x و y در هر نیم دایره تکرار میشود.
کتانژانت دقیقاً معکوس تانژانت ($tan^{-1}$) است.
این نکتهی اصلی سردرگمی است. کتانژانت *معکوس ضربی* ($1/tan$) است، در حالی که $tan^{-1}$ (arctan) *تابع معکوس* است که برای یافتن زاویه از یک نسبت استفاده میشود.
کتانژانت به ندرت در ریاضیات مدرن استفاده میشود.
اگرچه ماشینحسابها اغلب دکمهی اختصاصی «cot» را حذف میکنند، اما این عملکرد در حساب دیفرانسیل و انتگرال سطح بالاتر، مختصات قطبی و آنالیز مختلط ضروری است.
تانژانت فقط برای زوایای بین 0 تا 90 درجه قابل استفاده است.
تانژانت تقریباً برای همه اعداد حقیقی تعریف شده است، اگرچه در ربعهای مختلف رفتار متفاوتی دارد و در ربعهای I و III مقادیر مثبت نشان میدهد.
وقتی شیبها را محاسبه میکنید یا نیاز به یافتن ارتفاع عمودی بر اساس فاصله افقی دارید، از تانژانت استفاده کنید. وقتی با اتحادهای معکوس در حساب دیفرانسیل و انتگرال کار میکنید یا وقتی ضلع «روبرو» مثلث شما طول مرجع شناخته شده است، کتانژانت را انتخاب کنید.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
این مقایسه تعاریف، ویژگیها، مثالها و تفاوتهای بین اعداد اول و مرکب، دو دسته اساسی از اعداد طبیعی، را توضیح میدهد و نحوه شناسایی آنها، نحوه رفتارشان در تجزیه به فاکتورها و اهمیت تشخیص آنها در نظریه اعداد پایه را روشن میکند.
در حالی که اعداد حقیقی شامل تمام مقادیری هستند که ما معمولاً برای اندازهگیری دنیای فیزیکی استفاده میکنیم - از اعداد صحیح کامل گرفته تا اعداد اعشاری نامتناهی - اعداد مختلط با معرفی واحد موهومی $i$ این افق را گسترش میدهند. این افزودن به ریاضیدانان اجازه میدهد تا معادلاتی را که هیچ راهحل حقیقی ندارند حل کنند و یک سیستم اعداد دوبعدی ایجاد کنند که برای فیزیک و مهندسی مدرن ضروری است.
این مقایسه تفاوتهای بین اعداد زوج و فرد را روشن میکند، نحوه تعریف هر نوع، نحوه رفتار آنها در حساب اولیه و ویژگیهای مشترکی را نشان میدهد که به طبقهبندی اعداد صحیح بر اساس بخشپذیری بر ۲ و الگوهای موجود در شمارش و محاسبات کمک میکند.
