افسانه
هر عددی که نماد جذر داشته باشد، یک سورد است.
واقعیت
این یک اشتباه رایج است. جذر عدد ۹ (√۹) یک عدد صحیح نیست زیرا کاملاً به عدد ۳ که یک عدد گویا است، ساده میشود. فقط ریشههای «حل نشده» صحیح هستند.
سیستمهای اعدادجبرریاضیاتریشهها
سورد در مقابل عدد گویا
مرز بین اعداد گویا و اعداد منطقی، تفاوت بین اعدادی را که میتوانند به طور مرتب به صورت کسر بیان شوند و اعدادی را که به اعداد اعشاری نامتناهی و غیر تکراری تبدیل میشوند، تعریف میکند. در حالی که اعداد گویا نتایج واضح تقسیم ساده هستند، اعداد گویا نشان دهنده ریشههای اعداد صحیحی هستند که از تبدیل شدن به یک شکل متناهی یا تکراری امتناع میکنند.
برجستهها
- اعداد گویا شامل تمام اعداد صحیح، کسری و اعداد اعشاری تکراری میشوند.
- یک عدد سورد همیشه گنگ است، اما همه اعداد گنگ (مانند عدد پی) سورد نیستند.
- سوردها ریشههایی هستند که نمیتوان آنها را به اعداد صحیح تجزیه کرد.
- اعداد گویا کاملاً قابل پیشبینی هستند، در حالی که اعداد اعشاری بینهایت و بینظم هستند.
سورد چیست؟
عددی گنگ که به صورت ریشه یک عدد گویا بیان میشود و نمیتوان آن را به یک عدد صحیح ساده کرد.
- سوردها زیرمجموعه خاصی از اعداد گنگ شامل ریشه هستند، مانند √۲ یا √۳.
- وقتی به صورت اعشاری نوشته شود، یک عدد سوری بدون الگوی تکراری تا ابد ادامه مییابد.
- این کلمه از کلمه لاتین «surdus» به معنی ناشنوا یا لال گرفته شده است، که دلالت بر «غیرقابل بیان» بودن این اعداد دارد.
- آنها اغلب به شکل ریشه نگهداری میشوند تا دقت ریاضی ۱۰۰٪ حفظ شود.
- جمع یا ضرب اعداد صحیح (surd) برخلاف اعداد صحیح استاندارد، نیازمند قوانین جبری خاصی است.
عدد گویا چیست؟
هر عددی که بتوان آن را به صورت یک کسر ساده نوشت که هم بالا و هم پایین آن عدد صحیح باشند.
- یک عدد گویا با نسبت p/q تعریف میشود، که در آن q صفر نیست.
- در شکل اعشاری، یا متوقف میشوند (مثل ۰.۵) یا تکرار میشوند (مثل ۰.۳۳۳...).
- همه اعداد صحیح و کامل از نظر فنی اعداد گویا هستند.
- آنها رایجترین اعدادی هستند که در معاملات و اندازهگیریهای روزانه استفاده میشوند.
- آنها را میتوان با استفاده از خطکش و تقسیمهای متناهی، دقیقاً روی محور اعداد قرار داد.
جدول مقایسه
| ویژگی | سورد | عدد گویا |
|---|---|---|
| بسط اعشاری | بی نهایت و تکرار نشدنی | خاتمه یا تکرار |
| فرم کسری | نمیتوان آن را به صورت a/b نوشت | همیشه به صورت a/b نوشته میشود |
| سادهسازی ریشه | زیر یک علامت رادیکال باقی میماند | به یک عدد صحیح یا کسری ساده میکند |
| دقت | فقط به شکل رادیکالی دقیق است | دقیق به صورت اعشاری یا کسری |
| مثال | √۵ (تقریباً ۲.۲۳۶...) | √۴ (دقیقاً ۲) |
| تنظیم دسته | اعداد غیر گویا | اعداد گویا |
مقایسه دقیق
آزمون کسر
سادهترین راه برای تشخیص آنها از هم این است که سعی کنید مقدار را به صورت کسری از دو عدد صحیح بنویسید. اگر بتوانید آن را به صورت ¾ یا حتی 10/1 بنویسید، گویا است. اعداد صحیح، مانند جذر عدد 2، از نظر فیزیکی نمیتوانند به صورت کسری بیان شوند، مهم نیست اعدادی که برای صورت و مخرج انتخاب میکنید چقدر بزرگ باشند.
تجسم روی خط اعداد
اعداد گویا نقاط خاص و قابل پیشبینی را اشغال میکنند که میتوانیم با تقسیم پاره خطها به آنها برسیم. اعداد سورد «شکاف» بین آن نقاط گویا را اشغال میکنند. اگرچه آنها گنگ هستند، اما همچنان یک طول بسیار واقعی و خاص را نشان میدهند، مانند قطر یک مربع با اضلاع به طول یک.
رفتار جبری
کار با اعداد گویا عموماً حساب سرراستی است. با این حال، سوردها بیشتر شبیه متغیرها (مانند 'x') رفتار میکنند. شما فقط میتوانید سوردهای «شبیه» را با هم جمع کنید، مانند 2√3 + 4√3 = 6√3. اگر سعی کنید √2 و √3 را جمع کنید، نمیتوانید آنها را به یک ریشه واحد ساده کنید. آنها جدا از هم باقی میمانند، دقیقاً مانند جمع سیب و پرتقال.
گرد کردن و دقت
در مهندسی و علوم، استفاده از نسخه اعشاری یک عدد صحیح (مانند ۱.۴۱ برای √۲) همیشه یک خطای کوچک ایجاد میکند. برای حفظ دقت کامل در طول یک محاسبه طولانی، ریاضیدانان اعداد را تا آخرین مرحله در «شکل صحیح» خود نگه میدارند. اعداد گویا به این دلیل با این مشکل مواجه نمیشوند که اعشار آنها یا متناهی است یا الگوی قابل پیشبینی دارد.
مزایا و معایب
سورد
مزایا
- + دقت ریاضی کامل
- + قطرهای هندسی را توصیف میکند
- + ضروری برای مثلثات
- + نمادگذاری زیبا
مصرف شده
- − محاسبات ذهنی دشوار
- − بسط اعشاری بینهایت
- − قوانین جمع پیچیده
- − به نمادهای رادیکال نیاز دارد
عدد گویا
مزایا
- + محاسبه آسان
- + کسرهای استاندارد را برازش میدهد
- + شکل اعشاری ساده
- + شهودی برای اندازهگیری
مصرف شده
- − نمیتواند تمام طولها را نشان دهد
- − تکرارها میتوانند دردسرساز باشند
- − محدود در هندسه بالاتر
- − دقت کمتری نسبت به ریشهها دارد
تصورات نادرست رایج
افسانه
اعداد سورد و اعداد گنگ یک چیز هستند.
واقعیت
همه اعداد سورد گنگ هستند، اما عکس آن صادق نیست. اعداد متعالی مانند عدد پی (π) و عدد اویلر (e) گنگ هستند، اما سورد نیستند زیرا ریشه معادلات جبری نیستند.
افسانه
۰.۳۳۳... یک سورد است زیرا تا ابد ادامه دارد.
واقعیت
اعداد اعشاری تکراری در واقع اعداد گویا هستند. از آنجا که 0.333... را میتوان دقیقاً به صورت کسر 1/3 نوشت، میتوان آن را گویا دانست. اعداد اعشاری باید غیر تکراری باشند.
افسانه
شما نمیتوانید در دنیای واقعی از سوردها استفاده کنید.
واقعیت
سوردها همه جا هستند! اگر تا به حال از مثلث ۴۵ درجه در ساخت و ساز یا طراحی استفاده کرده باشید، برای محاسبه طول وتر از سورد √۲ استفاده میکنید.
سوالات متداول
چگونه یک سورد را ساده کنم؟
شما یک سورد را با جستجوی بزرگترین ضریب مربع کامل درون ریشه ساده میکنید. برای مثال، برای ساده کردن √18، میتوانید آن را به صورت √(9 × 2) بنویسید. از آنجایی که جذر 9 برابر با 3 است، شکل ساده شده آن 3√2 میشود. این کار، کار با آن را در معادلات آسانتر میکند.
آیا عدد پی یک سورد است؟
نه، عدد پی یک عدد صحیح نیست. اگرچه عددی گنگ است که هرگز پایان نمییابد یا تکرار نمیشود، اما یک صحیح باید ریشه یک عدد گویا باشد. عدد پی را نمیتوان به صورت مربع، مکعب یا ریشه n ام هیچ کسری بیان کرد.
«توجیه کردن مخرج» چیست؟
این فرآیندی است که برای حذف یک کسر از پایین یک کسر استفاده میشود. از آنجایی که به طور سنتی تقسیم بر یک عدد گنگ «بیربط» در نظر گرفته میشود، شما قسمت بالا و پایین را در کسر ضرب میکنید تا مخرج به یک عدد گویا و تمیز تبدیل شود.
چرا سوردها وجود دارند؟
سوردها وجود دارند زیرا رابطه بین اضلاع یک شکل و قطر آن اغلب منجر به مقداری میشود که در سیستم شمارش استاندارد پایه ۱۰ ما نمیگنجد. آنها نتیجه طبیعی قضیه فیثاغورث و هندسه فضا هستند.
آیا میتوانید یک عدد گویا به یک سورد اضافه کنید؟
شما میتوانید آنها را جمع کنید، اما نمیتوانید آنها را در یک جمله واحد ترکیب کنید. برای مثال، ۵ + √۲ یک عدد کاملاً معتبر است، اما به همان شکل باقی میماند. به آن سورد «مختلط» یا «مرکب» میگویند.
آیا همه اعداد صحیح گویا هستند؟
بله، هر عدد صحیحی گویا است. شما میتوانید هر عدد صحیحی مانند «n» را به صورت کسر n/1 بنویسید. از آنجایی که با تعریف p/q مطابقت دارد، رسماً بخشی از خانواده اعداد گویا است.
آیا جذر یک کسر، یک سورد است؟
بستگی دارد. جذر ۱/۴، ۱/۲ است که گویا است. با این حال، جذر ۱/۲، ۱/√۲ است که یک سورد است. اگر نتیجه نهایی هنوز شامل ریشهای باشد که قابل سادهسازی نباشد، آن سورد است.
آیا صفر یک عدد گویا است؟
صفر یک عدد گویا است زیرا میتوان آن را به صورت 0/1، 0/5 یا 0/100 نوشت. تا زمانی که مخرج صفر نباشد، کسر معتبر است و نتیجه، عدد گویای صفر است.
حکم
برای شمارش روزانه، تراکنشهای مالی و اندازهگیریهای ساده، اعداد گویا را انتخاب کنید. هنگام کار با هندسه، مثلثات یا فیزیک سطح بالا که در آنها حفظ دقت مطلق مهمتر از داشتن یک عدد اعشاری تمیز است، از اعداد اعشاری استفاده کنید.
مقایسههای مرتبط
احتمال در مقابل آمار
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
احتمال در مقابل شانس
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
اعداد اول و مرکب
این مقایسه تعاریف، ویژگیها، مثالها و تفاوتهای بین اعداد اول و مرکب، دو دسته اساسی از اعداد طبیعی، را توضیح میدهد و نحوه شناسایی آنها، نحوه رفتارشان در تجزیه به فاکتورها و اهمیت تشخیص آنها در نظریه اعداد پایه را روشن میکند.
اعداد حقیقی در مقابل اعداد مختلط
در حالی که اعداد حقیقی شامل تمام مقادیری هستند که ما معمولاً برای اندازهگیری دنیای فیزیکی استفاده میکنیم - از اعداد صحیح کامل گرفته تا اعداد اعشاری نامتناهی - اعداد مختلط با معرفی واحد موهومی $i$ این افق را گسترش میدهند. این افزودن به ریاضیدانان اجازه میدهد تا معادلاتی را که هیچ راهحل حقیقی ندارند حل کنند و یک سیستم اعداد دوبعدی ایجاد کنند که برای فیزیک و مهندسی مدرن ضروری است.
اعداد زوج در مقابل اعداد فرد
این مقایسه تفاوتهای بین اعداد زوج و فرد را روشن میکند، نحوه تعریف هر نوع، نحوه رفتار آنها در حساب اولیه و ویژگیهای مشترکی را نشان میدهد که به طبقهبندی اعداد صحیح بر اساس بخشپذیری بر ۲ و الگوهای موجود در شمارش و محاسبات کمک میکند.