در حالی که هندسه کروی از نظر ریاضی سطح واقعی و منحنی یک کره را که خطوط همیشه در آن تقاطع دارند، در نظر میگیرد، تقریب مسطح با در نظر گرفتن یک منطقه کوچک به عنوان کاملاً مسطح، محاسبات محلی را ساده میکند. انتخاب بین آنها نیاز به ایجاد تعادل بین دقت جغرافیایی مطلق در فواصل عظیم در برابر سرعت و سادگی محاسبات شبکه مسطح دارد.
شاخهای از هندسه نااقلیدسی که به جای یک صفحه تخت، شکلها و ویژگیهای روی سطح یک کره را مطالعه میکند.
عمل ریاضی فرض کردن یک سطح منحنی در یک مساحت محدود، مسطح است تا اندازهگیریهای مکانی و پروژههای مهندسی ساده شوند.
| ویژگی | هندسه کروی | تقریب مسطح |
|---|---|---|
| هندسه زیربنایی | غیر اقلیدسی (بیضوی) | اقلیدسی (مسطح) |
| کوتاهترین مسیر | قوس دایره بزرگ | خط مستقیم |
| مجموع زوایای مثلث | بزرگتر از ۱۸۰ درجه | دقیقاً ۱۸۰ درجه |
| خطوط موازی | هرگز روی سطح وجود نداشته باشند | میتواند به طور نامحدود وجود داشته باشد |
| مقیاس ایدهآل | فواصل جهانی یا سیارهای | مناطق کوچک و محلی |
| پیچیدگی ریاضی | بالا، نیازمند مثلثات کروی | کم، با استفاده از جبر پایه و فیثاغورث |
| سیستم شبکهای | مختصات زاویهای (طول/عرض جغرافیایی) | مختصات دکارتی خطی (X/Y) |
| اعوجاج بیش از حد | در هر مقیاسی دقیق باقی میماند | با گسترش ناحیه، خطاهای سریعی جمع میشوند |
تفاوت اصلی در نحوه تعریف هر چارچوب از یک خط مستقیم نهفته است. هندسه کروی بر اساس واقعیت یک سطح منحنی عمل میکند، به این معنی که نزدیکترین مسیر بین دو مقصد در امتداد یک دایره بزرگ منحنی میشود. تقریب مسطح وانمود میکند که زمین کاملاً صاف است و از خطوط مستقیمی استفاده میکند که منحنی سیاره را نادیده میگیرند، که تا زمانی که خیلی بزرگنمایی نکنید، به زیبایی کار میکند.
مثلثها در این دو حوزه کاملاً متفاوت به نظر میرسند و رفتار میکنند. در نمای مسطح، هر مثلث صرف نظر از جرمش، در مجموع زاویههای داخلی خود در یک مجموع ۱۸۰ درجه قفل میشود. در یک کره، زاویهها به سمت بیرون امتداد مییابند و یک مثلث واحد اگر یک ربع کامل از کره را بپوشاند، در واقع میتواند سه گوشه ۹۰ درجه داشته باشد.
چه زمانی فرض تخت بودن زمین نقض میشود؟ برای یک حیاط خلوت کوچک یا یک محله حومه شهر، انحنای زمین آنقدر میکروسکوپی کوچک است که محاسبات مسطح عملاً بیعیب و نقص هستند. با این حال، هنگامی که یک پروژه ساختمانی یا شبکه نقشهبرداری از دوازده کیلومتر فراتر میرود، منحنی پنهان شروع به ایجاد خطا در اندازهگیریها میکند و مجبور به تغییر به ریاضیات کروی میشود.
توسعهدهندگان نرمافزار و تحلیلگران داده با یک بدهبستان مداوم بین سرعت ریاضی و دقت نقشه مواجه هستند. معادلات مسطح از جمع و ضرب ساده استفاده میکنند و همین امر آنها را برای محاسبات بازیهای ویدیویی یا برنامههای اشتراکگذاری خودرو محلی فوقالعاده سریع میکند. محاسبات کروی به توابع مثلثاتی سنگینی نیاز دارند که قدرت پردازش بیشتری را میطلبند، اما برای مسیریابی پروازهای تجاری یا ردیابی ماهوارهها غیرقابل مذاکره هستند.
تقریب مسطح برای کاربردهای دنیای واقعی کاملاً نادرست است.
پروژههای ساختمانی محلی و مرزهای املاک از آن استفاده میکنند زیرا منحنی سیاره در طول چند صد متر کوچکتر از خطاهای اندازهگیری فیزیکی استاندارد است. این روش نتایج بسیار قابل اعتمادی را برای مقیاسهای محلی ارائه میدهد و در عین حال مقدار زیادی در زمان محاسبات صرفهجویی میکند.
مسیرهای پرواز روی نقشههای مسطح منحنی به نظر میرسند، زیرا هواپیماها در قوسهای مارپیچی پرواز میکنند.
خلبانان در امتداد مستقیمترین مسیر ممکن بر فراز سیاره گرد ما، که به عنوان یک مسیر دایرهای بزرگ شناخته میشود، پرواز میکنند. وقتی آن مسیر کروی کاملاً مستقیم را روی یک نقشه کاغذی مسطح تصویر میکنید، پرسپکتیو آن را به یک منحنی مصنوعی تبدیل میکند.
شما به راحتی میتوانید نقشههای محلی مسطح را به هم بدوزید تا یک نقشه جهانی بینقص ایجاد کنید.
از آنجا که یک کره را نمیتوان بدون پارگی یا کشش مسطح کرد، ترکیب نقشههای مسطح همیشه منجر به شکافها یا اعوجاجهای عمده در لبهها میشود. کارل فریدریش گاوس به صورت ریاضی ثابت کرد که سطح یک کره را نمیتوان بدون اعوجاج به یک صفحه تبدیل کرد.
مثلثهای کروی فقط میتوانند زاویههای حاده یا منفرجه مانند مثلثهای مسطح داشته باشند.
یک مثلث کروی میتواند از سه زاویه قائمه تشکیل شده باشد، به این معنی که هر گوشه آن زاویه ۹۰ درجه دارد. این اتفاق زمانی میافتد که رئوس مثلث در قطب شمال و دو نقطه جداگانه روی خط استوا قرار داشته باشند.
خطا در تقریب مسطح با نرخ خطی و ثابتی افزایش مییابد.
اختلاف بین محاسبات مسطح و واقعیت کروی در واقع بسته به فاصله مورد نظر به صورت درجه دوم و درجه سوم مقیاس بندی میشود. این بدان معناست که خطا برای مدت طولانی نامحسوس باقی میماند و سپس با گسترش منطقه مورد بررسی، ناگهان به طور انفجاری افزایش مییابد.
هر زمان که با فواصل قارهای، ردیابی جهانی یا ناوبری دوربرد با دقت بالا که در آن انحنا قابل چشمپوشی نیست، سروکار دارید، هندسه کروی را انتخاب کنید. برای ساخت و ساز محلی، نقشهبرداری املاک یا نقشهبرداری شهری، تقریب مسطح انتخاب برتر است زیرا پیچیدگی ریاضی غیرضروری را بدون از دست دادن دقت عملی حذف میکند.
در حالی که دانشمندان داده اغلب با هر دو اصطلاح در کاهش ابعاد مواجه میشوند، مؤلفههای اصلی جهت حداکثر واریانس در یک مجموعه داده را توصیف میکنند، در حالی که مقادیر منفرد، بزرگی مقیاسبندی را در امتداد آن محورهای هندسی در طول تجزیه ماتریس اندازهگیری میکنند. درک پل ریاضی آنها برای تسلط بر الگوریتمهایی مانند PCA و SVD ضروری است.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
در حالی که اعداد انتزاعی، کمیتها را به عنوان منطق نمادین محضِ تحتِ کنترلِ قوانینِ صوری و معادلاتِ جبری در نظر میگیرند، تفاسیرِ هندسی، همان مقادیر را به شکلها، خطوط و ابعادِ فضاییِ ملموس نگاشت میکنند. این دو دیدگاه، در کنار هم، زبانی دوگانه در ریاضیات تشکیل میدهند که کاراییِ نمادینِ بیحاصل را با درکِ بصریِ شهودی متعادل میکند.
در سطح بنیادی حساب، اعداد صحیح بزرگتر از یک به دو قلمرو مجزا تقسیم میشوند: اعداد اول، که به عنوان بلوکهای سازندهی تقسیمناپذیر ریاضیات عمل میکنند، و ساختارهای مرکب، که با ضرب آن اعداد اول در یکدیگر تشکیل میشوند. این تمایز همه چیز را از کاهش کسرهای ساده گرفته تا پروتکلهای رمزنگاری مدرن شکل میدهد.
