محیط و مساحت دو روش اصلی برای اندازهگیری اندازه یک شکل دوبعدی هستند. در حالی که محیط، کل فاصله خطی اطراف لبه بیرونی را اندازهگیری میکند، مساحت، کل فضای سطح صاف موجود در آن مرزها را محاسبه میکند.
طول کل خط پیوستهای که مرز یک شکل هندسی بسته را تشکیل میدهد.
کمیتی که وسعت یک ناحیه یا شکل دوبعدی را در یک صفحه بیان میکند.
| ویژگی | محیط | مساحت |
|---|---|---|
| ابعاد | تکبعدی (خطی) | دوبعدی (سطحی) |
| چه چیزی را اندازه گیری می کند | مرز بیرونی / لبه | فضای داخلی / سطح |
| واحدهای استاندارد | متر، سانتیمتر، فوت، اینچ | متر مربع، سانتیمتر مربع، فوت مربع، اینچ مربع |
| قیاس فیزیکی | حصارکشی حیاط | چمن زنی |
| فرمول مستطیل | ۲ * (طول + عرض) | طول * عرض |
| فرمول دایره | $2\pi r$ | $\pi r^2$ |
| روش محاسبه | اضافه کردن اضلاع | ضرب ابعاد |
تصور کنید که در حال ساختن یک باغ هستید. محیط، مقدار چوب یا سیمی است که برای ساختن حصار در اطراف لبه آن برای جلوگیری از ورود خرگوشها نیاز دارید. در مقابل، مساحت، مقدار خاک یا کودی است که برای پوشاندن زمین داخل حصار نیاز دارید.
محیط صرفاً یک واحد اندازهگیری طول است، به همین دلیل است که ما از واحدهای سادهای مانند متر استفاده میکنیم. مساحت شامل دو بُعد است - معمولاً طول و عرض - به همین دلیل است که واحدها همیشه «به توان دو» هستند. این تفاوت حیاتی است زیرا دو برابر کردن اضلاع یک مربع، محیط را دو برابر اما مساحت را چهار برابر میکند.
یک اشتباه رایج این است که فرض میکنیم محیط بزرگتر به طور خودکار به معنای مساحت بزرگتر است. با این حال، یک مستطیل بسیار دراز و باریک میتواند محیط بزرگی داشته باشد اما مساحت بسیار کمی داشته باشد. از بین تمام اشکال با محیط ثابت، دایره کارآمدترین است و حداکثر مساحت ممکن را در مرز خود محصور میکند.
ما از محیط وقتی که با لبهها سروکار داریم، مانند تزئینات خانه، قاب عکسها یا قرنیزها، استفاده میکنیم. ما از مساحت برای کارهای سطحی مانند رنگآمیزی دیوارها، فرش کردن یا تعیین تعداد پنلهای خورشیدی که میتوان روی سقف قرار داد، استفاده میکنیم.
شکلهایی که مساحت یکسانی دارند، باید محیط یکسانی هم داشته باشند.
این غلط است. شما میتوانید یک شکل را به صورت یک خط بلند و باریک بکشید که همان مساحت را حفظ میکند اما محیط بسیار بزرگتری نسبت به یک مربع یا دایره دارد.
دو برابر کردن محیط، مساحت را دو برابر میکند.
در واقع، اگر تمام ابعاد یک شکل را دو برابر کنید، محیط آن دو برابر میشود، اما مساحت آن چهار برابر میشود (۲^۲ دلار).
محیط فقط برای چندضلعیهایی با اضلاع مستقیم است.
هر شکل دوبعدی بسته دارای یک محیط است. برای دایرهها، آن را محیط مینامیم و حتی حبابهای نامنظم نیز دارای طول مرزی قابل اندازهگیری هستند.
مساحت همان حجم است.
مساحت صرفاً برای سطوح صاف دوبعدی است. حجم یک واحد اندازهگیری سهبعدی است که شامل عمق نیز میشود و نشان میدهد که یک ظرف چقدر «چیز» را میتواند در خود جای دهد.
وقتی نیاز به دانستن طول یک حاشیه یا فاصله اطراف یک جسم دارید، از محیط استفاده کنید. وقتی نیاز به محاسبه پوشش یک سطح یا میزان فضای موجود در داخل یک حاشیه دارید، از مساحت استفاده کنید.
در حالی که دانشمندان داده اغلب با هر دو اصطلاح در کاهش ابعاد مواجه میشوند، مؤلفههای اصلی جهت حداکثر واریانس در یک مجموعه داده را توصیف میکنند، در حالی که مقادیر منفرد، بزرگی مقیاسبندی را در امتداد آن محورهای هندسی در طول تجزیه ماتریس اندازهگیری میکنند. درک پل ریاضی آنها برای تسلط بر الگوریتمهایی مانند PCA و SVD ضروری است.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
در حالی که اعداد انتزاعی، کمیتها را به عنوان منطق نمادین محضِ تحتِ کنترلِ قوانینِ صوری و معادلاتِ جبری در نظر میگیرند، تفاسیرِ هندسی، همان مقادیر را به شکلها، خطوط و ابعادِ فضاییِ ملموس نگاشت میکنند. این دو دیدگاه، در کنار هم، زبانی دوگانه در ریاضیات تشکیل میدهند که کاراییِ نمادینِ بیحاصل را با درکِ بصریِ شهودی متعادل میکند.
در سطح بنیادی حساب، اعداد صحیح بزرگتر از یک به دو قلمرو مجزا تقسیم میشوند: اعداد اول، که به عنوان بلوکهای سازندهی تقسیمناپذیر ریاضیات عمل میکنند، و ساختارهای مرکب، که با ضرب آن اعداد اول در یکدیگر تشکیل میشوند. این تمایز همه چیز را از کاهش کسرهای ساده گرفته تا پروتکلهای رمزنگاری مدرن شکل میدهد.
