اگرچه هر دو اصطلاح نحوه نگاشت عناصر بین دو مجموعه را توصیف میکنند، اما به جنبههای مختلف معادله میپردازند. توابع یک به یک (تزریقی) بر منحصر به فرد بودن ورودیها تمرکز میکنند و تضمین میکنند که هیچ دو مسیری به یک مقصد منتهی نمیشوند، در حالی که توابع درونگرا (پوششی) تضمین میکنند که به هر مقصد ممکنی واقعاً رسیده شده است.
نگاشتی که در آن هر ورودی منحصر به فرد، خروجی متمایز و منحصر به فردی تولید میکند.
نگاشتی که در آن هر عنصر در مجموعه هدف حداقل توسط یک ورودی پوشش داده میشود.
| ویژگی | یک به یک (تزریقی) | به سمت (ذهنی) |
|---|---|---|
| نام رسمی | تزریقی | ذهنی |
| الزامات اصلی | خروجیهای منحصر به فرد برای ورودیهای منحصر به فرد | پوشش کل مجموعه هدف |
| آزمون خط افقی | باید عبور کند (حداکثر یک بار تقاطع داشته باشد) | باید حداقل یک بار تقاطع داشته باشد |
| تمرکز بر روابط | انحصار | شمولگرایی |
| محدودیت اندازه را تنظیم کنید | دامنه ≤ کدامین | دامنه ≥ کدامین |
| خروجیهای مشترک؟ | اکیداً ممنوع | مجاز و رایج |
یک تابع یک به یک مانند یک رستوران لوکس است که در آن هر میز دقیقاً برای یک مهمانی رزرو شده است؛ شما هرگز دو گروه مختلف را نخواهید دید که یک صندلی را به اشتراک گذاشته باشند. از نظر ریاضی، اگر $f(a) = f(b)$ باشد، آنگاه $a$ باید برابر با $b$ باشد. این انحصار همان چیزی است که به این توابع اجازه میدهد تا «لغو» یا معکوس شوند.
یک تابع on بیشتر به این موضوع میپردازد که در مجموعه هدف، هیچ نکتهای را از قلم نیندازد. اتوبوسی را تصور کنید که هر صندلی آن باید حداقل توسط یک نفر اشغال شده باشد. تا زمانی که حتی یک صندلی خالی در اتوبوس باقی نمانده باشد، فرقی نمیکند که دو نفر مجبور باشند روی یک نیمکت بنشینند (چند نفر به یک نفر).
در یک نمودار نگاشت، یک به یک با فلشهای تکی که به نقاط تکی اشاره میکنند مشخص میشود - هیچ دو فلشی هرگز به هم نمیرسند. برای یک تابع روی، هر نقطه در دایره دوم باید حداقل یک فلش داشته باشد که به آن اشاره میکند. یک تابع میتواند هر دو باشد، که ریاضیدانان آن را دو به دو مینامند.
در یک نمودار استاندارد، شما با بالا و پایین کشیدن یک خط افقی، وضعیت یک به یک را آزمایش میکنید؛ اگر بیش از یک بار به منحنی برخورد کند، تابع یک به یک نیست. آزمایش «روی» مستلزم بررسی محدوده عمودی نمودار است تا مطمئن شوید که کل محدوده مورد نظر را بدون شکاف پوشش میدهد.
همه توابع یا یک به یک هستند یا به هم متصل.
بسیاری از توابع هیچکدام نیستند. برای مثال، $f(x) = x^2$ (از همه اعداد حقیقی به همه اعداد حقیقی) یک به یک نیست زیرا $2$ و $-2$ هر دو منجر به $4$ میشوند، و بر (on) نیست زیرا هرگز اعداد منفی تولید نمیکند.
یک به یک به معنای همان تابع است.
یک تابع فقط نیاز دارد که هر ورودی یک خروجی داشته باشد. یک به یک یک لایه اضافی از «سختگیری» است که مانع از اشتراک دو ورودی با آن خروجی میشود.
اونتو فقط به فرمول بستگی دارد.
تابع Onto به شدت به نحوه تعریف مجموعه هدف بستگی دارد. تابع $f(x) = x^2$ اگر هدف را به صورت «تمام اعداد غیر منفی» تعریف کنید، On است، اما اگر هدف «تمام اعداد حقیقی» باشد، با شکست مواجه میشود.
اگر تابعی فعال باشد، باید برگشتپذیر باشد.
برگشتپذیری نیازمند وضعیت یک به یک است. اگر تابعی روی (on) باشد اما یک به یک نباشد، ممکن است بدانید کدام خروجی را دارید، اما نخواهید دانست کدام یک از ورودیهای چندگانه آن را ایجاد کرده است.
زمانی که نیاز دارید مطمئن شوید که هر نتیجه را میتوان به یک نقطه شروع خاص و منحصر به فرد ردیابی کرد، از نگاشت یک به یک استفاده کنید. زمانی که هدف شما اطمینان از این است که هر مقدار خروجی ممکن در یک سیستم مورد استفاده قرار گرفته یا قابل دستیابی است، نگاشت درونگرا را انتخاب کنید.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
این مقایسه تعاریف، ویژگیها، مثالها و تفاوتهای بین اعداد اول و مرکب، دو دسته اساسی از اعداد طبیعی، را توضیح میدهد و نحوه شناسایی آنها، نحوه رفتارشان در تجزیه به فاکتورها و اهمیت تشخیص آنها در نظریه اعداد پایه را روشن میکند.
در حالی که اعداد حقیقی شامل تمام مقادیری هستند که ما معمولاً برای اندازهگیری دنیای فیزیکی استفاده میکنیم - از اعداد صحیح کامل گرفته تا اعداد اعشاری نامتناهی - اعداد مختلط با معرفی واحد موهومی $i$ این افق را گسترش میدهند. این افزودن به ریاضیدانان اجازه میدهد تا معادلاتی را که هیچ راهحل حقیقی ندارند حل کنند و یک سیستم اعداد دوبعدی ایجاد کنند که برای فیزیک و مهندسی مدرن ضروری است.
این مقایسه تفاوتهای بین اعداد زوج و فرد را روشن میکند، نحوه تعریف هر نوع، نحوه رفتار آنها در حساب اولیه و ویژگیهای مشترکی را نشان میدهد که به طبقهبندی اعداد صحیح بر اساس بخشپذیری بر ۲ و الگوهای موجود در شمارش و محاسبات کمک میکند.
