در حالی که سیستمهای طول-عرض جغرافیایی، مکانها را روی یک سطح کروی سهبعدی با استفاده از دو اندازهگیری زاویهای عمود بر خط استوا و نصفالنهار مبدا زمین ترسیم میکنند، سیستمهای مختصات قطبی موقعیتها را روی یک صفحه دوبعدی مسطح با استفاده از یک فاصله شعاعی مستقیمالخط همراه با یک زاویه واحد اندازهگیری شده از یک پرتو شروع مرکزی تعریف میکنند.
یک سیستم مختصات زاویهای کروی که برای مشخص کردن موقعیتهای جغرافیایی دقیق در سطح منحنی یک جرم سیارهای استفاده میشود.
یک سیستم مختصات ریاضی دوبعدی که هر نقطه داده شده روی یک صفحه مسطح را از طریق فاصله شعاعی و جهت زاویهای نشان میدهد.
| ویژگی | سیستمهای طول و عرض جغرافیایی | سیستمهای مختصات قطبی |
|---|---|---|
| فضای هندسی | سطح کروی منحنی | صفحه دو بعدی مسطح |
| اجزای اولیه | دو زاویه مجزا (طول و عرض جغرافیایی) | یک فاصله خطی و یک زاویه (شعاع و تتا) |
| تکینگی مختصاتی | در هر دو قطب جغرافیایی شمال و جنوب رخ میدهد | منحصراً در قطب مبدا مرکزی رخ میدهد |
| واحدهای اولیه | به شدت تحت سلطهی درجه قوسی، دقیقه و ثانیه است | به صورت بومی بر حسب رادیان یا درجه ریاضی بیان میشود |
| نمایشهای نامتناهی | خیر، محدود به مرزهای منحصر به فرد ۹۰ و ۱۸۰ درجه | بله، تغییرات زاویه همپایانه بینهایت برای هر نقطه |
| مبدا مبنا | توسط خط استوای طبیعی و نصف النهار تاریخی گرینویچ ثابت شده است | توسط یک مرکز و پرتو مرجع دلخواه تعریف شده توسط کاربر برطرف شد |
| مقیاسبندی فاصله | فاصله طول جغرافیایی بر اساس کسینوس عرض جغرافیایی کاهش مییابد | فاصله گام شبکه در امتداد هر پرتو کاملاً ثابت میماند |
اساسیترین مرز تمایز بین این سیستمها، بوم هندسی است که آنها ترسیم میکنند. یک طرح طول و عرض جغرافیایی، شبکه مختصات خود را محکم به دور یک کره سهبعدی میپیچد و فاصله از هسته را ثابت نگه میدارد تا کاملاً بر ناوبری سطحی تمرکز کند. از طرف دیگر، مختصات قطبی کاملاً صاف هستند و به طور نامحدود در یک صفحه دو بعدی گسترش مییابند که در آن فاصله از مرکز یک متغیر اصلی است.
هنگام کار در یک شبکه جغرافیایی، هر مکان روی زمین یک محدوده مختصات قطعی و محدود دارد که در عرض جغرافیایی نود درجه و طول جغرافیایی صد و هشتاد درجه قرار میگیرد. سیستم قطبی این سبک نقشهبرداری منحصر به فرد را به طور کامل کنار میگذارد، زیرا اضافه کردن چرخشهای کامل دو رادیان پی شما را دقیقاً در همان نقطه قرار میدهد. این ماهیت چرخهای به هر نقطه روی یک نقشه قطبی مسطح، مجموعهای نامحدود از مختصات عددی معتبر میدهد.
بررسی نحوه رفتار خطوط شبکه، روابط مکانی کاملاً متفاوتی را آشکار میکند. خطوط طول جغرافیایی با دور شدن از خط استوا، به طور پیوسته به هم نزدیکتر میشوند و باعث میشوند فاصله فیزیکی یک درجه زاویهای بسته به ارتفاع شما روی کره زمین، دائماً در نوسان باشد. شبکههای قطبی با صاف و کاملاً یکنواخت نگه داشتن خطوط شعاعی، از این اعوجاج نامنظم جلوگیری میکنند، اگرچه حلقههای دایرهای آنها با حرکت به سمت خارج از قطب مرکزی، به صورت تصاعدی در مساحت گسترش مییابند.
انتخاب بین این سیستمها کاملاً به تنظیمات عملیاتی بستگی دارد. لجستیک جهانی، سیستمهای ردیابی و نقشههای دریایی منحصراً به عرض جغرافیایی و طول جغرافیایی برای هدایت کشتیها در اقیانوسها متکی هستند. موتورهای فیزیک، سیستمهای رادار و آرایههای صوتی میکروفون از تنظیمات قطبی استفاده میکنند زیرا محاسبه مسیرهای مارپیچی یا انتشار موج جهتدار بدون محدودیتهای مستطیلی بسیار آسانتر میشود.
یک درجه طول جغرافیایی، صرف نظر از موقعیت مکانی شما روی زمین، دقیقاً همان فاصله فیزیکی را پوشش میدهد.
خطوط طول جغرافیایی با نزدیک شدن به قطبها دائماً همگرا میشوند. در حالی که یک درجه تقریباً شصت و نه مایل در خط استوا امتداد دارد، دقیقاً همان گام زاویهای در قطبهای شمال و جنوب به صفر میرسد.
مختصات قطبی با مختصات کروی که در ریاضیات پیشرفته استفاده میشوند، یکسان هستند.
مختصات قطبی کاملاً محدود به سطوح مسطح و دو بعدی با یک فاصله و یک زاویه هستند. مختصات کروی با معرفی یک متغیر سوم که نشان دهنده زاویه شیب دوم است، این ایده را به سه بعد گسترش میدهد.
نصف النهار مبدا به دلیل یک ویژگی ریاضی طبیعی و تغییرناپذیر زمین به عنوان خط صفر طول جغرافیایی انتخاب شد.
برخلاف خط استوا که از نظر فیزیکی توسط محور چرخش سیاره تعیین میشود، نصفالنهار مبدا صرفاً ساخته دست بشر است. این خط در سال ۱۸۸۴ توسط یک معاهده بینالمللی برای همتراز کردن نقشههای جهانی با رصدخانه سلطنتی گرینویچ تأسیس شد.
شما میتوانید برای هر نقطهی داده شده در صفحهی قطبی، یک نمایش زاویهای مطلق و منحصر به فرد پیدا کنید.
از آنجا که زوایا در هر سیصد و شصت درجه به طور نامحدود حلقه میزنند، هر مختصاتی را میتوان به روشهای بیشماری نوشت. با در نظر گرفتن این موضوع، قطب مرکزی شعاعی برابر با صفر دارد، به این معنی که هر زاویهای که انتخاب کنید دقیقاً به همان نقطه مرکزی اشاره خواهد کرد.
سیستمهای طول-عرض جغرافیایی را زمانی مستقر کنید که نیاز به ردیابی یا فهرستبندی موقعیتها در مقیاس سیارهای دارید که در آن نمیتوان منحنی کره زمین را نادیده گرفت. هنگام تحلیل مسائل صفحه تخت شامل مدارهای دایرهای، مکانیک چرخشی یا حسگرهای ردیابی جهتدار متمرکز در یک نقطه واحد، به سیستمهای مختصات قطبی روی آورید.
در حالی که دانشمندان داده اغلب با هر دو اصطلاح در کاهش ابعاد مواجه میشوند، مؤلفههای اصلی جهت حداکثر واریانس در یک مجموعه داده را توصیف میکنند، در حالی که مقادیر منفرد، بزرگی مقیاسبندی را در امتداد آن محورهای هندسی در طول تجزیه ماتریس اندازهگیری میکنند. درک پل ریاضی آنها برای تسلط بر الگوریتمهایی مانند PCA و SVD ضروری است.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
در حالی که اعداد انتزاعی، کمیتها را به عنوان منطق نمادین محضِ تحتِ کنترلِ قوانینِ صوری و معادلاتِ جبری در نظر میگیرند، تفاسیرِ هندسی، همان مقادیر را به شکلها، خطوط و ابعادِ فضاییِ ملموس نگاشت میکنند. این دو دیدگاه، در کنار هم، زبانی دوگانه در ریاضیات تشکیل میدهند که کاراییِ نمادینِ بیحاصل را با درکِ بصریِ شهودی متعادل میکند.
در سطح بنیادی حساب، اعداد صحیح بزرگتر از یک به دو قلمرو مجزا تقسیم میشوند: اعداد اول، که به عنوان بلوکهای سازندهی تقسیمناپذیر ریاضیات عمل میکنند، و ساختارهای مرکب، که با ضرب آن اعداد اول در یکدیگر تشکیل میشوند. این تمایز همه چیز را از کاهش کسرهای ساده گرفته تا پروتکلهای رمزنگاری مدرن شکل میدهد.
