در دنیای ریاضیات، هر تابعی یک رابطه است، اما هر رابطهای واجد شرایط تابع بودن نیست. در حالی که یک رابطه صرفاً هرگونه ارتباط بین دو مجموعه از اعداد را توصیف میکند، یک تابع زیرمجموعهای منظم است که مستلزم آن است که هر ورودی دقیقاً به یک خروجی خاص منجر شود.
هر مجموعهای از جفتهای مرتب که ارتباط بین ورودیها و خروجیها را تعریف میکند.
نوع خاصی از رابطه که در آن هر ورودی یک خروجی منحصر به فرد دارد.
| ویژگی | رابطه | عملکرد |
|---|---|---|
| تعریف | هر مجموعه از جفتهای مرتب | قانونی که به ازای هر ورودی، یک خروجی اختصاص میدهد |
| نسبت ورودی/خروجی | یک به چند مجاز است | فقط یک به یک یا چند به یک |
| تست خط عمودی | میتواند شکست بخورد (دو بار یا بیشتر تقاطع میکند) | باید عبور کند (یک بار یا کمتر تقاطع دارد) |
| نمونههای گرافیکی | دایره ها، سهمی های جانبی، منحنی های S | خطوط، سهمی های رو به بالا، امواج سینوسی |
| دامنه ریاضی | دسته بندی عمومی | زیرگروه روابط |
| پیشبینیپذیری | کم (چندین پاسخ ممکن) | زیاد (یک جواب قطعی) |
تفاوت اصلی در رفتار دامنه نهفته است. در یک رابطه، ممکن است عدد ۵ را وارد کنید و ۱۰ یا ۲۰ را دریافت کنید، که یک سناریوی «یک به چند» ایجاد میکند. یک تابع این ابهام را ممنوع میکند؛ اگر ۵ را وارد کنید، باید هر بار یک نتیجه واحد و ثابت دریافت کنید و از قطعی بودن سیستم اطمینان حاصل کنید.
شما میتوانید با استفاده از آزمون خط عمودی، فوراً تفاوت را روی نمودار تشخیص دهید. اگر بتوانید در هر جایی از نمودار، خطی عمودی رسم کنید که در بیش از یک نقطه با منحنی مماس باشد، به یک رابطه نگاه میکنید. توابع «سادهتر» هستند و هرگز به صورت افقی به عقب بر نمیگردند.
به قد یک فرد در طول زمان فکر کنید؛ در هر سن خاص، یک فرد دقیقاً یک قد دارد و این یک تابع است. برعکس، به فهرستی از افراد و خودروهایی که دارند فکر کنید. از آنجایی که یک نفر میتواند سه خودروی مختلف داشته باشد، این ارتباط یک رابطه است اما یک تابع نیست.
توابع، نیروی محرکه حسابان و فیزیک هستند، زیرا قابلیت پیشبینی آنها به ما امکان محاسبه نرخ تغییرات را میدهد. ما به طور خاص برای توابع از نمادگذاری 'f(x)' استفاده میکنیم تا نشان دهیم که خروجی صرفاً به 'x' بستگی دارد. روابط در هندسه برای تعریف اشکالی مانند بیضی که از این قوانین سختگیرانه پیروی نمیکنند، مفید هستند.
یک تابع نمیتواند دو ورودی متفاوت داشته باشد که منجر به خروجی یکسانی شوند.
این در واقع مجاز است. برای مثال، در تابع f(x) = x²، هم -2 و هم 2 به 4 منجر میشوند. این یک رابطه «چند به یک» است که برای یک تابع کاملاً معتبر است.
معادلات مربوط به دایرهها، توابع هستند.
دایرهها رابطه هستند، نه تابع. اگر یک خط عمودی از میان یک دایره رسم کنید، به بالا و پایین آن برخورد میکند، به این معنی که یک مقدار x دارای دو مقدار y است.
اصطلاحات «رابطه» و «تابع» را میتوان به جای یکدیگر به کار برد.
آنها عبارات تو در تو هستند. در حالی که میتوانید یک تابع را رابطه بنامید، اگر یک رابطه عمومی قانون تک خروجی را نقض کند، از نظر ریاضی نادرست است.
توابع همیشه باید به صورت معادله نوشته شوند.
توابع را میتوان با جداول، نمودارها یا حتی مجموعههایی از مختصات نمایش داد. تا زمانی که قانون «یک خروجی به ازای هر ورودی» رعایت شود، قالببندی اهمیتی ندارد.
وقتی نیاز به توصیف یک ارتباط کلی یا یک شکل هندسی دارید که به دور خودش حلقه میزند، از رابطه استفاده کنید. وقتی به یک مدل قابل پیشبینی نیاز دارید که در آن هر عملی منجر به یک واکنش خاص و تکرارپذیر میشود، به تابع روی آورید.
احتمال و آمار دو روی یک سکه ریاضی هستند که با عدم قطعیت از دو جهت مخالف برخورد میکنند. در حالی که احتمال، احتمال نتایج آینده را بر اساس مدلهای شناخته شده پیشبینی میکند، آمار دادههای گذشته را برای ساخت یا تأیید آن مدلها تجزیه و تحلیل میکند و به طور مؤثر از مشاهدات به عقب کار میکند تا حقیقت اساسی را پیدا کند.
اگرچه اغلب در مکالمات روزمره به جای یکدیگر استفاده میشوند، احتمال و شانس دو روش مختلف برای بیان احتمال یک رویداد هستند. احتمال تعداد نتایج مطلوب را با تعداد کل احتمالات مقایسه میکند، در حالی که شانس تعداد نتایج مطلوب را مستقیماً با تعداد نتایج نامطلوب مقایسه میکند.
این مقایسه تعاریف، ویژگیها، مثالها و تفاوتهای بین اعداد اول و مرکب، دو دسته اساسی از اعداد طبیعی، را توضیح میدهد و نحوه شناسایی آنها، نحوه رفتارشان در تجزیه به فاکتورها و اهمیت تشخیص آنها در نظریه اعداد پایه را روشن میکند.
در حالی که اعداد حقیقی شامل تمام مقادیری هستند که ما معمولاً برای اندازهگیری دنیای فیزیکی استفاده میکنیم - از اعداد صحیح کامل گرفته تا اعداد اعشاری نامتناهی - اعداد مختلط با معرفی واحد موهومی $i$ این افق را گسترش میدهند. این افزودن به ریاضیدانان اجازه میدهد تا معادلاتی را که هیچ راهحل حقیقی ندارند حل کنند و یک سیستم اعداد دوبعدی ایجاد کنند که برای فیزیک و مهندسی مدرن ضروری است.
این مقایسه تفاوتهای بین اعداد زوج و فرد را روشن میکند، نحوه تعریف هر نوع، نحوه رفتار آنها در حساب اولیه و ویژگیهای مشترکی را نشان میدهد که به طبقهبندی اعداد صحیح بر اساس بخشپذیری بر ۲ و الگوهای موجود در شمارش و محاسبات کمک میکند.
