Muga vs. Jarraitutasuna
Limiteak eta jarraitutasuna kalkuluaren oinarria dira, funtzioek puntu espezifikoetara hurbiltzean nola jokatzen duten definitzen baitute. Limiteak funtzio bat gertutik hurbiltzen den balioa deskribatzen duen bitartean, jarraitutasunak funtzioa puntu horretan benetan existitzea eta aurreikusitako limitearekin bat etortzea eskatzen du, grafiko leun eta etenik gabekoa bermatuz.
Nabarmendunak
- Limiteak puntuarekiko "hurbiltasuna" adierazten du, ez puntua bera.
- Jarraitutasuna, funtsean, funtzio baten portaeran "sorpresarik" ez egotea da.
- Jarraitutasunik gabe muga bat izan dezakezu, baina ezin duzu jarraitutasunik izan mugarik gabe.
- Diferentziagarritasunak (derivatua izatea) funtzioa lehenik jarraitua izatea eskatzen du.
Zer da Mugatu?
Funtzio batek sarrera zenbaki jakin batera gero eta gehiago hurbiltzen den heinean hurbiltzen den balioa.
- Limite bat existitzen da funtzioa hurbiltzen ari den puntu zehatzean definitu gabe egon arren.
- Funtzioak ezkerreko eta eskuineko aldeetatik balio berera hurbiltzea eskatzen du.
- Mugek matematikariei 'infinitua' eta 'zeroa' aztertzeko aukera ematen diete, horietara iritsi gabe.
- Kalkuluan deribatua eta integrala definitzeko erabiltzen diren tresna nagusiak dira.
- Ezkerreko eta eskuineko bideek balio desberdinetara eramaten badute, limitea ez da existitzen (DNE).
Zer da Jarraitutasuna?
Funtzio baten propietatea, non bere grafikoan bat-bateko jauzi, zulo edo etenik ez dagoen.
- Funtzio bat puntu batean jarraitua da baldin eta limitea eta funtzioaren benetako balioa berdinak badira.
- Bisualki, funtzio jarraitu bat marraztu dezakezu arkatza paperetik altxatu gabe.
- Jarraitutasuna baldintza "sendoagoa" da muga bat izatea baino.
- Polinomioak eta funtzio esponentzialak jarraituak dira beren eremu osoan.
- 'Etenak' motetan daude zuloak (kengarriak), jauziak eta asintota bertikalak (infinituak).
Konparazio Taula
| Ezaugarria | Mugatu | Jarraitutasuna |
|---|---|---|
| Oinarrizko definizioa | "Helburu" balioa hurbildu ahala | Bidearen izaera «etengabea» |
| 1. eskakizuna | Ezkerretik/eskuinetik hurbiltzeak bat etorri behar du | Funtzioa puntu horretan definitu behar da |
| 2. eskakizuna | Helburua zenbaki finitua izan behar da | Mugak benetako balioarekin bat etorri behar du |
| Ikusmen-seinalea | Helmuga batera seinalatuz | Lerro jarraitua, tarterik gabe |
| Notazio matematikoa | lim f(x) = L | lim f(x) = f(c) |
| Independentzia | Puntuaren benetako balioarekiko independentea | Puntuaren benetako balioaren araberakoa |
Xehetasunak alderatzea
Helmuga vs. Helmuga
Pentsa ezazu muga bat GPS helmuga gisa. Etxe baten ate nagusiraino joan zaitezke autoz, etxea bera eraitsi bada ere; helmuga (muga) oraindik existitzen da. Jarraitutasunak, ordea, ez du eskatzen helmuga existitzea bakarrik, etxea benetan hor egotea eta barrura sartu ahal izatea. Matematikan, muga nora zoazen da, eta jarraitutasuna puntu sendo batera iritsi zarela baieztatzea da.
Jarraitutasunerako hiru zatiko proba
Funtzio bat 'c' puntuan jarraitua izateko, hiru zatitan banatutako ikuskapen zorrotza gainditu behar du. Lehenik, limitea 'c' puntura hurbiltzean existitu behar da. Bigarrenik, funtzioa 'c' puntuan definituta egon behar da (zulorik gabe). Hirugarrenik, bi balio horiek berdinak izan behar dira. Hiru baldintza hauetakoren bat huts egiten badu, funtzioa puntu horretan etentzat hartzen da.
Ezkerra, eskuina eta erdigunea
Mugek puntu baten inguruko auzoa bakarrik dute axola. Ezkerreko aldea 5era eta eskuinekoa 10era doan 'jauzi' bat izan dezakezu; kasu honetan, limitea ez da existitzen, ez baitago adostasunik. Jarraitutasunerako, ezkerreko aldearen, eskuineko aldearen eta puntuaren beraren artean 'esku-emate' perfektua egon behar da. Esku-emate honek grafikoa kurba leun eta aurreikusgarria dela ziurtatzen du.
Zergatik den garrantzitsua bereizketa
Mugak behar ditugu "zuloak" dituzten formak maneiatzeko, eta hori maiz gertatzen da aljebran zeroz zatitzen dugunean. Jarraitutasuna ezinbestekoa da "Bitarteko Balioen Teoremarentzat", eta horrek bermatzen du funtzio jarraitu bat zero azpitik hasten bada eta zero gainetik amaitzen bada, noizbait zerotik *gurutzatu* behar duela. Jarraitutasunik gabe, funtzioak ardatzaren gainetik "jauzi" egin lezake, ukitu gabe.
Abantailak eta Erabiltzailearen interfazea
Mugatu
Abantailak
- +Puntu zehaztugabeak kudeatzen ditu
- +Kalkuluaren oinarriak.
- +Infinitua esploratzen du
- +Datu aldakorrentzat funtzionatzen du
Erabiltzailearen interfazea
- −Ez du existentzia bermatzen
- −'DNE' izan daiteke
- −Bizilagunei bakarrik begiratzen die
- −Ez da nahikoa teoremetarako
Jarraitutasuna
Abantailak
- +Aurreikus daitekeen portaera
- +Fisikan beharrezkoa.
- +Deribatuak onartzen ditu
- +Datuetan hutsunerik ez
Erabiltzailearen interfazea
- −Baldintza zorrotzagoak
- −Puntu bakarretan huts egiten du
- −Zailagoa frogatzea.
- −"Ondo portatutako" multzoetara mugatuta
Ohiko uste okerrak
Funtzio bat puntu batean definituta badago, puntu horretan jarraitua da.
Ez derrigorrez. Lerroaren gainerakoaren gainetik flotatzen ari den 'puntu' bat izan dezakezu. Funtzioa existitzen da, baina ez da jarraitua, grafikoaren bidearekin bat ez datorrelako.
Limitea funtzioaren balioaren berdina da.
Hau funtzioa jarraitua bada bakarrik da egia. Kalkulu-problema askotan, muga 5 izan daiteke, eta benetako funtzioaren balioa 'definitu gabea' edo baita 10 ere bada.
Asintota bertikalek mugak dituzte.
Teknikoki, funtzio bat infinitura jotzen badu, limitea 'Ez da existitzen'. Portaera deskribatzeko 'lim = ∞' idazten dugun arren, infinitua ez da zenbaki finitua, beraz, limiteak ez du definizio formala betetzen.
Beti aurki dezakezu muga bat zenbakia sartuz.
'Ordezkapen zuzen' honek funtzio jarraituetarako bakarrik funtzionatzen du. Zenbakia sartzeak 0/0 ematen badizu, zulo bat ikusten ari zara, eta aljebra edo L'Hôpital-en araua erabili beharko duzu benetako limitea aurkitzeko.
Sarritan Egindako Galderak
Zer da 'Kendu daitekeen etenune' bat?
Grafikoak jauzi bat badu, existitzen al da limiterik?
Funtzio bat jarraitua izan daiteke asintota bat badu?
Kurba leun guztiak jarraituak al dira?
Zer gertatzen da muga 0/0 bada?
Zein da limite baten definizio formala?
Balio absolutuko funtzioak jarraituak al dira?
Zergatik da garrantzitsua jarraitutasuna mundu errealean?
Epaia
Erabili mugak funtzio baten joera zehaztugabea edo 'nahasia' izan daitekeen puntu batetik gertu aurkitu behar duzunean. Erabili jarraitutasuna prozesu bat egonkorra dela eta bat-bateko aldaketarik edo etenik ez duela frogatu behar duzunean.
Erlazionatutako Konparazioak
Adierazpen arrazionala vs. adierazpen aljebraikoa
Adierazpen arrazional guztiak adierazpen aljebraikoen aterki zabalaren barruan sartzen diren arren, azpimota oso espezifiko eta mugatu bat osatzen dute. Adierazpen aljebraikoa erroak eta berretzaile anitzak barne hartzen dituen kategoria zabala da, adierazpen arrazionala, berriz, bi polinomioren zatidura gisa definitzen den bitartean, aldagaiz osatutako zatiki baten antzera.
Aldagai independentea vs. aldagai mendekoa
Eredu matematiko ororen muinean kausa eta efektuaren arteko erlazioa dago. Aldagai independenteak zuk kontrolatzen edo aldatzen duzun sarrera edo 'kausa' adierazten du, eta mendeko aldagaia, berriz, aldaketa horiei erantzuten dien heinean behatu eta neurtzen duzun 'efektua' edo emaitza da.
Aljebra vs Geometria
Aljebrak eragiketa-arau abstraktuetan eta ezezagunak ebazteko sinboloen manipulazioan jartzen du arreta, geometriak espazioaren propietate fisikoak aztertzen ditu, besteak beste, figuren tamaina, forma eta posizio erlatiboa. Elkarrekin, matematikaren oinarria osatzen dute, erlazio logikoak egitura bisualetan bihurtuz.
Angelua vs. Malda
Angeluak eta maldak lerro baten "malda" kuantifikatzen dute, baina hizkuntza matematiko desberdinak erabiltzen dituzte. Angelu batek bi lerro gurutzatuen arteko biraketa zirkularra gradu edo radianetan neurtzen duen bitartean, maldak "igoera" bertikala neurtzen du "lerro" horizontalarekiko, erlazio numeriko gisa.
Arrazionalak vs zenbaki irrazionalak
Matematikan, zenbaki arrazionalen eta irrazionalen arteko desberdintasunak azaltzen dituen konparazioa da, haien definizioak, hamartar portaera, adibide arruntak eta zenbaki errealen sisteman duten kokapena azpimarratuz, ikasle eta hezitzaileei oinarrizko kontzeptu numeriko horiek ulertzen laguntzeko.