Müüt
Iga ruutjuure sümboliga arv on surd.
Tõelisus
See on levinud viga. Arvu 9 ruutjuur (√9) ei ole surd, sest see lihtub ideaalselt arvuks 3, mis on ratsionaalarv. Ainult 'lahendamata' juured on surdid.
arvusüsteemidalgebramatemaatikajuured
Surd vs ratsionaalne arv
Murdude ja ratsionaalarvude vaheline piir määrab erinevuse arvude vahel, mida saab selgelt väljendada murdudena, ja nende vahel, mis lõpevad lõpmatute, mittekorduvate kümnendmurdudena. Kuigi ratsionaalarvud on lihtsa jagamise puhtad tulemused, esindavad murdud täisarvude juuri, mis keelduvad taltumast lõplikuks või korduvaks vormiks.
Esiletused
- Ratsionaalarvude hulka kuuluvad kõik täisarvud, murdarvud ja korduvad kümnendmurrud.
- Surd on alati irratsionaalarvud, aga mitte kõik irratsionaalarvud (nagu pii) ei ole surdid.
- Surdid on juured, mida ei saa täisarvudeks lahutada.
- Ratsionaalsed arvud on täiesti ennustatavad, samas kui surdid on lõpmatud ja kümnendvormis kaootilised.
Mis on Surd?
Irratsionaalarv, mis on avaldatud ratsionaalarvu juurena, mida ei saa lihtsustada täisarvuks.
- Surdid on irratsionaalarvude spetsiifiline alamhulk, mis hõlmab juuri, näiteks √2 või √3.
- Kümnendmurruna kirjutatuna jätkub surd lõputult ilma korduva mustrita.
- Sõna pärineb ladinakeelsest sõnast „surdus”, mis tähendab kurti või tumma, mis viitab sellele, et need numbrid olid „väljendamatud”.
- 100% matemaatilise täpsuse säilitamiseks hoitakse neid sageli juurvormis.
- Surdide liitmine või korrutamine nõuab spetsiifilisi algebralisi reegleid, erinevalt tavalistest täisarvudest.
Mis on Ratsionaalne arv?
Suvaline arv, mida saab kirjutada lihtmurruna, kus nii ülemine kui ka alumine osa on täisarvud.
- Ratsionaalarvu defineerib suhe p/q, kus q ei ole null.
- Kümnendsüsteemis nad kas peatuvad (nagu 0,5) või korduvad (nagu 0,333...).
- Kõik täisarvud ja täisarvud on tehniliselt ratsionaalarvud.
- Need on igapäevastes tehingutes ja mõõtmistes kõige sagedamini kasutatavad numbrid.
- Neid saab joonlaua ja lõplike jagamiste abil täpselt arvteljele paigutada.
Võrdlustabel
| Funktsioon | Surd | Ratsionaalne arv |
|---|---|---|
| Kümnendsüsteemi laiendamine | Lõpmatu ja kordumatu | Lõpetamine või kordamine |
| Murdvorm | Ei saa kirjutada kujul a/b | Alati kirjutatud kujul a/b |
| Juurte lihtsustamine | Jääb radikaalse märgi alla | Lihtsustab täisarvuks või murruks |
| Täpsus | Täpne ainult radikaalsel kujul | Täpne kümnend- või murdarvuna |
| Näide | √5 (umbes 2,236...) | √4 (täpselt 2) |
| Määra kategooria | Irratsionaalsed numbrid | Ratsionaalsed numbrid |
Üksikasjalik võrdlus
Murdtest
Lihtsaim viis nende eristamiseks on proovida väärtust kirjutada kahe täisarvu murruna. Kui saate selle kirjutada kujul 3/4 või isegi 10/1, on see ratsionaalsarve. Täisarvud, näiteks ruutjuur kahest, ei ole füüsikaliselt murruna väljendatavad, olenemata sellest, kui suured on lugeja ja nimetaja.
Numbriteljel visualiseerimine
Ratsionaalarvud hõivavad kindlaid, ennustatavaid kohti, kuhu me saame jõuda segmentide jagamise teel. Surdid hõivavad nende ratsionaalpunktide vahelised "tühikud". Kuigi nad on irratsionaalarvud, esindavad nad siiski väga reaalset, kindlat pikkust, näiteks ruudu diagonaali, mille külje pikkus on üks.
Algebraline käitumine
Ratsionaalarvudega töötamine on üldiselt otsekohene aritmeetika. Surdid käituvad aga pigem muutujatena (näiteks 'x'). Liita saab ainult 'sarnaseid' surde, näiteks 2√3 + 4√3 = 6√3. Kui proovite liita √2 ja √3, ei saa te neid üheks juureks lihtsustada; nad jäävad eraldi, sarnaselt õunte ja apelsinide liitmisele.
Ümardamine ja täpsus
Inseneriteaduses ja loodusteadustes tekitab surdi kümnendsüsteemis versiooni kasutamine (näiteks 1,41 √2 jaoks) alati väikese vea. Selleks, et säilitada täiuslik täpsus kogu pika arvutuse vältel, hoiavad matemaatikud numbreid nende "surdi kujul" kuni viimase sammuni. Ratsionaalarvude puhul ei teki seda probleemi nii sageli, kuna nende kümnendmurrud on kas lõplikud või neil on ennustatav muster.
Plussid ja miinused
Surd
Eelised
- + Täiuslik matemaatiline täpsus
- + Kirjeldab geomeetrilisi diagonaale
- + Trigonomeetria jaoks hädavajalik
- + Elegantne notatsioon
Kinnitatud
- − Raske peastarvutus
- − Lõpmatu kümnendarvuline laiendamine
- − Komplekssed liitmisreeglid
- − Nõuab radikaalseid sümboleid
Ratsionaalne arv
Eelised
- + Lihtne arvutada
- + Sobib standardfraktsioonidega
- + Lihtne kümnendvorm
- + Intuitiivne mõõtmiseks
Kinnitatud
- − Ei saa kõiki pikkusi esitada
- − Kordused võivad olla räpased
- − Piiratud kõrgema geomeetriaga
- − Vähem täpne kui juured
Tavalised eksiarvamused
Müüt
Surdid ja irratsionaalarvud on üks ja sama asi.
Tõelisus
Kõik surdid on irratsionaalsed, aga vastupidine ei kehti. Transtsendentaalsed arvud nagu pii (π) ja Euleri arv (e) on irratsionaalsed, aga nad ei ole surdid, sest nad ei ole algebraliste võrrandite juured.
Müüt
0,333... on surd, sest see kestab igavesti.
Tõelisus
Korduvad kümnendmurrud on tegelikult ratsionaalarvud. Kuna 0,333... saab kirjutada täpselt murruna 1/3, kvalifitseerub see ratsionaalarvuks. Kümnendmurrud peavad olema mittekorduvad.
Müüt
Päris maailmas ei saa surde kasutada.
Tõelisus
Surdid on kõikjal! Kui olete kunagi ehituses või projekteerimisel kasutanud 45-kraadist kolmnurka, siis kasutate hüpotenuusi pikkuse arvutamiseks surdi √2.
Sageli küsitud küsimused
Kuidas ma lihtsustan surdi?
Arvu 9 lihtsustamiseks otsitakse juure seest suurimat ruuttegurit. Näiteks arvu √18 lihtsustamiseks saab selle kirjutada kujul √(9 × 2). Kuna arvu 9 ruutjuur on 3, saab lihtsustatud kuju 3√2. See muudab selle võrrandites käsitlemise lihtsamaks.
Kas Pi on surd?
Ei, pii ei ole surd. Kuigi see on irratsionaalarv, mis ei lõpe ega kordu kunagi, peab surd olema ratsionaalarvu juur. Pi-d ei saa väljendada ühegi murru ruudu, kuubi ega n-nda juurena.
Mis on "nimetaja ratsionaliseerimine"?
See on protsess, mida kasutatakse murru alumisest osast surdi eemaldamiseks. Kuna traditsiooniliselt peetakse irratsionaalarvuga jagamist "räpaseks", korrutatakse murru ülemine ja alumine osa surdi väärtusega, et muuta nimetaja puhtaks ratsionaalarvuks.
Miks surdid eksisteerivad?
Surdid eksisteerivad seetõttu, et kuju külgede ja diagonaali vaheline seos annab sageli väärtuse, mis ei sobi meie standardsesse kümnendsüsteemi. Need on Pythagorase teoreemi ja ruumi geomeetria loomulik tagajärg.
Kas surdile saab lisada ratsionaalarvu?
Neid saab liita, aga mitte üheks terminiks ühendada. Näiteks 5 + √2 on täiesti kehtiv arv, aga see jääb sellele kujule. Seda tuntakse sega- või liitarvuna.
Kas kõik täisarvud on ratsionaalsed?
Jah, iga täisarv on ratsionaalarv. Suvalist täisarvu 'n' saab kirjutada murruna n/1. Kuna see vastab p/q definitsioonile, kuulub see ametlikult ratsionaalarvude hulka.
Kas murru ruutjuur on surd?
See oleneb. 1/4 ruutjuur on 1/2, mis on ratsionaalne. 1/2 ruutjuur on aga 1/√2, mis on surd. Kui lõpptulemus sisaldab endiselt juurt, mida ei saa lihtsustada, on see surd.
Kas null on ratsionaalarv?
Null on ratsionaalne arv, kuna seda saab kirjutada kujul 0/1, 0/5 või 0/100. Seni kuni nimetaja ei ole null, on murd kehtiv ja tulemuseks on ratsionaalne arv null.
Otsus
Valige ratsionaalarvud igapäevaseks loendamiseks, finantstehinguteks ja lihtsateks mõõtmisteks. Kasutage surde, kui töötate geomeetria, trigonomeetria või kõrgetasemelise füüsikaga, kus absoluutse täpsuse säilitamine on olulisem kui puhas kümnendmurru olemasolu.
Seotud võrdlused
Absoluutväärtus vs moodul
Kuigi sissejuhatavas matemaatikas kasutatakse seda sageli sünonüümidena, viitab absoluutväärtus tavaliselt reaalarvu kaugusele nullist, samas kui moodul laiendab seda mõistet kompleksarvudele ja vektoritele. Mõlemal on sama põhieesmärk: suunamärkide eemaldamine, et paljastada matemaatilise olemi puhas suurusjärk.
Algarvulised vs liitarvud
See võrdlus selgitab alg- ja kordarvude definitsioone, omadusi, näiteid ning erinevusi – kaht looduslike arvude põhikategooriat. Selgitatakse, kuidas neid tuvastada, kuidas nad käituvad tegurdamisel ning miks nende äratundmine on oluline algebralise arvuteooria põhimõistetes.
Algebra vs geomeetria
Kui algebra keskendub abstraktsetele tehtereeglitele ja sümbolite manipuleerimisele tundmatute leidmiseks, siis geomeetria uurib ruumi füüsikalisi omadusi, sealhulgas kujundite suurust, kuju ja suhtelist asukohta. Koos moodustavad need matemaatika aluse, tõlkides loogilised seosed visuaalseteks struktuurideks.
Algteguriteks jaotamine vs teguripuu
Algteguriteks jagamine on matemaatiline eesmärk jagada liitarv algarvudeks, samas kui teguripuu on visuaalne hargnev tööriist selle tulemuse saavutamiseks. Üks on lõplik numbriline avaldis, teine aga samm-sammult juhend selle paljastamiseks.
Aritmeetiline keskmine vs kaalutud keskmine
Aritmeetiline keskmine käsitleb iga andmepunkti võrdse panustajana lõppkeskmisse, samas kui kaalutud keskmine määrab erinevatele väärtustele kindla tähtsuse taseme. Selle eristuse mõistmine on ülioluline kõige jaoks alates lihtsate klassikeskmiste arvutamisest kuni keerukate finantsportfellide määramiseni, kus mõned varad on teistest olulisemad.