Kuigi reaalarvud hõlmavad kõiki väärtusi, mida me tavaliselt füüsikalise maailma mõõtmiseks kasutame – täisarvudest lõpmatute kümnendmurdudeni –, laiendavad kompleksarvud seda silmapiiri, tutvustades imaginaarühikut $i$. See täiendus võimaldab matemaatikutel lahendada võrrandeid, millel pole reaalseid lahendeid, luues kahemõõtmelise arvusüsteemi, mis on tänapäeva füüsika ja inseneriteaduse jaoks hädavajalik.
Kõigi ratsionaalsete ja irratsionaalsete arvude hulk, mis asuvad pideval ühemõõtmelisel arvteljel.
Arvud, mis on esitatud kujul $a + bi$, kus $a$ ja $b$ on reaalsed ja $i$ on imaginaarühik.
| Funktsioon | Reaalarvud | Komplekssed numbrid |
|---|---|---|
| Üldine vorm | $x$ (kus $x$ on mis tahes reaalväärtus) | $a + bi$ (kus $i = ∫qrt{-1}$) |
| Mõõtmelisus | 1D (arvude sirge) | 2D (komplekstasand) |
| Arvu ruut | Alati mittenegatiivne ($x^2 \geq 0$) | Võib olla negatiivne (nt $(2i)^2 = -4$) |
| Tellimine | Saab tellida (1 $ < 2 < 3 $) | Standardset „suurem kui” või „väiksem kui” seost pole |
| Komponendid | Puhtreaalne | Reaalne osa ja kujuteldav osa |
| Füüsiline intuitsioon | Otseselt mõõdetavad suurused | Kirjeldab pöörlemist, faasi ja võnkumist |
Reaalarvud eksisteerivad lihtsal sirgel, mis ulatub lõpmatuseni mõlemas suunas. Kompleksarvud aga vajavad eksisteerimiseks tervet tasapinda; reaalosa liigutab sind vasakule või paremale, samas kui imaginaarosa liigutab sind üles või alla. See nihe ühemõõtmeliselt kahemõõtmelisele on fundamentaalne hüpe, mis muudab keerulise matemaatika nii võimsaks.
Kui proovite leida -9 ruutjuurt ainult reaalarvude abil, jõuate ummikteele, sest ükski reaalarv iseendaga korrutatuna ei anna negatiivset arvu. Kompleksarvud lahendavad selle probleemi, defineerides vastuseks $3i$. See võime negatiivsete juurtega toime tulla tagab, et elektroonika ja kvantmehaanika matemaatilised mudelid ei "katki" lihtsalt negatiivsete ruutjuurtega kokku puutudes.
Päris maailmas on „suurus” lihtne – 5 on suurem kui 2. Kompleksmaailmas räägime „suurusest” ehk „absoluutväärtusest” kui kaugusest alguspunktist (nullist) tasandil. Kuna kompleksarvud hõlmavad nurka ja kaugust, käituvad nad sarnaselt vektoritega, muutes need ideaalseks tööriistaks vahelduvvoolude või helilainete analüüsimiseks.
On levinud eksimus arvata, et need kaks rühma on täiesti eraldi. Tegelikkuses on iga reaalarv kompleksarv, mille imaginaarosa on null ($a + 0i$). Reaalarvusüsteem on lihtsalt kindel alamhulk – üks sirge – komplekstasandi tohutus, lõpmatus ookeanis.
Kujuteldavad numbrid ei ole "päris" ega reaalses maailmas kasulikud.
Vaatamata kahetsusväärsele nimele on imaginaararvud reaalse tehnoloogia jaoks üliolulised. Neid kasutatakse iga päev elektrivõrkude projekteerimiseks, lennukite stabiliseerimiseks ja digitaalsete signaalide töötlemiseks nutitelefonis.
Arv on kas reaalne või kompleksne arv, aga mitte kunagi mõlemat.
Kõik reaalarvud on kompleksarvud. Kui meil on arv 5, saab selle kirjutada kujul $5 + 0i$. Selle imaginaarkomponent on juhtumisi null.
Kompleksarvud on lihtsalt kaks omavahel seotud eraldi reaalarvu.
Kuigi neil on kaks osa, järgivad nad korrutamisel ja jagamisel unikaalseid reegleid (nagu $i \times i = -1$), mida lihtsad reaalarvude paarid ei järgi. Nad käituvad ühtse, sidusa matemaatilise üksusena.
Kompleksarvud leiutati, sest matemaatikutel oli igav.
Tegelikult töötati need välja kuupvõrrandite lahendamiseks 16. sajandil. Matemaatikud mõistsid, et nad ei saa õigeid „päris” vastuseid ilma arvutuste keskel „kujuteldavaid” samme läbimata.
Kasutage reaalarve igapäevaelus, standardarvestuses ja lihtsatel skaaladel paiknevates põhimõõtmistes. Kompleksarvude poole pöörduge mitmemõõtmeliste probleemide, laineanalüüsi või keerukate inseneritööde puhul, kus pöörlemine ja faas on sama olulised kui kogus.
Kuigi sissejuhatavas matemaatikas kasutatakse seda sageli sünonüümidena, viitab absoluutväärtus tavaliselt reaalarvu kaugusele nullist, samas kui moodul laiendab seda mõistet kompleksarvudele ja vektoritele. Mõlemal on sama põhieesmärk: suunamärkide eemaldamine, et paljastada matemaatilise olemi puhas suurusjärk.
See võrdlus selgitab alg- ja kordarvude definitsioone, omadusi, näiteid ning erinevusi – kaht looduslike arvude põhikategooriat. Selgitatakse, kuidas neid tuvastada, kuidas nad käituvad tegurdamisel ning miks nende äratundmine on oluline algebralise arvuteooria põhimõistetes.
Kui algebra keskendub abstraktsetele tehtereeglitele ja sümbolite manipuleerimisele tundmatute leidmiseks, siis geomeetria uurib ruumi füüsikalisi omadusi, sealhulgas kujundite suurust, kuju ja suhtelist asukohta. Koos moodustavad need matemaatika aluse, tõlkides loogilised seosed visuaalseteks struktuurideks.
Algteguriteks jagamine on matemaatiline eesmärk jagada liitarv algarvudeks, samas kui teguripuu on visuaalne hargnev tööriist selle tulemuse saavutamiseks. Üks on lõplik numbriline avaldis, teine aga samm-sammult juhend selle paljastamiseks.
Aritmeetiline keskmine käsitleb iga andmepunkti võrdse panustajana lõppkeskmisse, samas kui kaalutud keskmine määrab erinevatele väärtustele kindla tähtsuse taseme. Selle eristuse mõistmine on ülioluline kõige jaoks alates lihtsate klassikeskmiste arvutamisest kuni keerukate finantsportfellide määramiseni, kus mõned varad on teistest olulisemad.
