Mặc dù trông có vẻ giống nhau và cùng có nguồn gốc từ phép tính vi phân và tích phân, đạo hàm là tốc độ thay đổi biểu thị cách một biến số phản ứng với biến số khác, trong khi vi phân biểu thị sự thay đổi thực tế, vô cùng nhỏ của chính các biến số đó. Hãy nghĩ về đạo hàm như "tốc độ" của một hàm số tại một điểm cụ thể và vi phân như "bước nhỏ" được thực hiện dọc theo đường tiếp tuyến.
Giới hạn của tỷ lệ giữa sự thay đổi của một hàm số và sự thay đổi của giá trị đầu vào của nó.
Một đối tượng toán học biểu thị sự thay đổi vô cùng nhỏ trong một tọa độ hoặc biến số.
| Tính năng | Đạo hàm | Vi phân |
|---|---|---|
| Thiên nhiên | Tỷ lệ / tốc độ thay đổi | Một lượng nhỏ / tiền lẻ |
| Ký hiệu | $dy/dx$ hoặc $f'(x)$ | $dy$ hoặc $dx$ |
| Đường tròn đơn vị/Đồ thị | Độ dốc của đường tiếp tuyến | Độ dốc/chạy dọc theo đường tiếp tuyến |
| Loại biến | Một hàm dẫn xuất | Biến độc lập/vô cùng nhỏ |
| Mục đích chính | Tìm kiếm giải pháp tối ưu hóa/tốc độ | Xấp xỉ/Tích phân |
| Chiều không gian | Sản lượng trên mỗi đơn vị đầu vào | Cùng đơn vị với chính biến đó. |
Đạo hàm là một tỉ lệ—nó cho bạn biết rằng cứ mỗi đơn vị x di chuyển, y sẽ di chuyển f'(x) đơn vị. Tuy nhiên, vi phân mới là "phần" thay đổi thực tế. Nếu bạn hình dung một chiếc xe đang chạy, đồng hồ tốc độ hiển thị đạo hàm (dặm trên giờ), trong khi khoảng cách nhỏ bé được đi được trong một phần nhỏ của giây chính là vi phân.
Vi phân vô cùng hữu ích để ước lượng giá trị mà không cần máy tính. Vì $dy = f'(x) dx$, nếu bạn biết đạo hàm tại một điểm, bạn có thể nhân nó với một sự thay đổi nhỏ của $x$ để tìm ra gần đúng mức độ thay đổi của giá trị hàm số. Điều này sử dụng đường tiếp tuyến như một sự thay thế tạm thời cho đường cong thực tế.
Nhiều sinh viên nhầm lẫn vì đạo hàm được viết là $dy/dx$, trông giống như một phân số của hai đạo hàm. Trong nhiều phần của giải tích, chúng ta coi nó chính xác như một phân số—ví dụ, khi 'nhân' với $dx$ để giải các phương trình vi phân—nhưng nói một cách chính xác, đạo hàm là kết quả của một quá trình giới hạn, chứ không chỉ là một phép chia đơn giản.
Trong một tích phân như $\int f(x) dx$, $dx$ chính là một vi phân. Nó đóng vai trò như "chiều rộng" của vô số hình chữ nhật mà chúng ta cộng lại để tìm diện tích dưới một đường cong. Nếu không có vi phân, tích phân sẽ chỉ là chiều cao mà không có đáy, khiến việc tính diện tích trở nên bất khả thi.
Ký hiệu $dx$ ở cuối tích phân chỉ mang tính chất trang trí.
Đây là một phần thiết yếu của toán học. Nó cho bạn biết bạn đang tích phân theo biến nào và biểu thị độ rộng vô cùng nhỏ của các phân đoạn diện tích.
Vi phân và đạo hàm là cùng một khái niệm.
Chúng có liên quan nhưng khác biệt. Đạo hàm là giới hạn của tỉ số giữa các vi phân. Một là tốc độ (60 dặm/giờ), cái kia là khoảng cách (0,0001 dặm).
Bạn luôn có thể triệt tiêu $dx$ trong $dy/dx$.
Mặc dù nó hoạt động trong nhiều kỹ thuật giải tích cơ bản (như Quy tắc chuỗi), $dy/dx$ về mặt kỹ thuật là một toán tử đơn lẻ. Coi nó như một phân số là một cách viết tắt hữu ích nhưng có thể tiềm ẩn rủi ro toán học trong phân tích cấp cao hơn.
Vi phân chỉ dùng trong toán học hai chiều.
Vi phân đóng vai trò quan trọng trong giải tích đa biến, trong đó 'Vi phân toàn phần' ($dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$) theo dõi sự thay đổi của một bề mặt theo mọi hướng cùng một lúc.
Sử dụng đạo hàm khi bạn muốn tìm độ dốc, tốc độ hoặc tỷ lệ thay đổi của một hệ thống. Chọn vi phân khi bạn cần xấp xỉ những thay đổi nhỏ, thực hiện phép thế u trong tích phân hoặc giải các phương trình vi phân mà các biến phải được tách rời.
Cốt lõi của mọi mô hình toán học là mối quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả. Biến độc lập đại diện cho đầu vào hay "nguyên nhân" mà bạn kiểm soát hoặc thay đổi, trong khi biến phụ thuộc là "kết quả" hay hậu quả mà bạn quan sát và đo lường khi nó phản ứng với những thay đổi đó.
Cả phép biến đổi Laplace và Fourier đều là những công cụ không thể thiếu để chuyển đổi các phương trình vi phân từ miền thời gian phức tạp sang miền tần số đại số đơn giản hơn. Trong khi phép biến đổi Fourier được sử dụng phổ biến để phân tích các tín hiệu trạng thái ổn định và các dạng sóng, thì phép biến đổi Laplace là một phép tổng quát mạnh mẽ hơn, xử lý các hành vi thoáng qua và các hệ thống không ổn định bằng cách thêm một hệ số suy giảm vào phép tính.
Mặc dù tất cả các biểu thức hữu tỉ đều nằm trong phạm vi rộng lớn của các biểu thức đại số, nhưng chúng đại diện cho một loại phụ rất cụ thể và hạn chế. Biểu thức đại số là một phạm trù rộng bao gồm căn bậc hai và số mũ khác nhau, trong khi biểu thức hữu tỉ được định nghĩa một cách nghiêm ngặt là thương của hai đa thức, tương tự như một phân số được tạo thành từ các biến số.
Chu vi và diện tích là hai cách chính để đo kích thước của một hình hai chiều. Trong khi chu vi đo tổng khoảng cách tuyến tính xung quanh mép ngoài, diện tích tính toán tổng lượng không gian bề mặt phẳng nằm bên trong các ranh giới đó.
Sự khác biệt giữa chuỗi hội tụ và chuỗi phân kỳ quyết định liệu một tổng vô hạn các số có ổn định ở một giá trị hữu hạn cụ thể hay tiếp tục tăng lên vô cùng. Trong khi một chuỗi hội tụ "thu hẹp" dần các số hạng của nó cho đến khi tổng đạt đến một giới hạn ổn định, thì một chuỗi phân kỳ không ổn định, hoặc tăng trưởng vô hạn hoặc dao động mãi mãi.
