فنکشن بمقابلہ رشتہ
ریاضی کی دنیا میں، ہر فعل ایک رشتہ ہے، لیکن ہر رشتہ فعل کے طور پر اہل نہیں ہے۔ جب کہ ایک رشتہ نمبروں کے دو سیٹوں کے درمیان کسی بھی وابستگی کو آسانی سے بیان کرتا ہے، ایک فنکشن ایک نظم و ضبط والا سب سیٹ ہے جس کے لیے ہر ان پٹ کو بالکل ایک مخصوص آؤٹ پٹ کی طرف لے جانے کی ضرورت ہوتی ہے۔
اہم نکات
- تمام افعال تعلقات ہیں، لیکن زیادہ تر تعلقات افعال نہیں ہیں۔
- افعال کی تعریف ان کی وشوسنییتا سے ہوتی ہے: ایک ان پٹ ایک آؤٹ پٹ کے برابر ہوتا ہے۔
- عمودی لائن ٹیسٹ کسی فنکشن کے لیے حتمی بصری ثبوت ہے۔
- تعلقات ایک 'x' قدر کو لامحدود تعداد میں 'y' قدروں سے نقشہ بنا سکتے ہیں۔
رشتہ کیا ہے؟
آرڈر شدہ جوڑوں کا کوئی بھی سیٹ جو ان پٹ اور آؤٹ پٹس کے درمیان تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔
- ایک رشتہ ایک ڈومین سے رینج تک عناصر کی نقشہ سازی کے لیے وسیع ترین زمرہ ہے۔
- ایک رشتہ میں ایک ان پٹ متعدد مختلف آؤٹ پٹ کے ساتھ منسلک کیا جا سکتا ہے۔
- انہیں پوائنٹس، مساوات، یا زبانی وضاحت کے سیٹ کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔
- رشتے کا گراف دائرے یا عمودی لکیروں سمیت کوئی بھی شکل بنا سکتا ہے۔
- تعلقات عام رکاوٹوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں، جیسے 'x y سے بڑا ہے'۔
فنکشن کیا ہے؟
ایک مخصوص قسم کا تعلق جہاں ہر ان پٹ کا ایک واحد، منفرد آؤٹ پٹ ہوتا ہے۔
- کوآرڈینیٹ ہوائی جہاز پر پلاٹ کرتے وقت فنکشنز کو عمودی لائن ٹیسٹ پاس کرنا ضروری ہے۔
- ڈومین (x) میں ہر عنصر رینج (y) میں بالکل ایک عنصر سے نقشہ بناتا ہے۔
- انہیں اکثر 'ریاضی کی مشینوں' کے طور پر دیکھا جاتا ہے جو پیش گوئی کے قابل نتائج پیدا کرتی ہیں۔
- جبکہ ایک ان پٹ میں صرف ایک آؤٹ پٹ ہو سکتا ہے، مختلف ان پٹ ایک ہی آؤٹ پٹ کا اشتراک کر سکتے ہیں۔
- انحصار پر زور دینے کے لیے عام طور پر اشارے جیسے f(x) کا استعمال کرتے ہوئے اشارہ کیا جاتا ہے۔
موازنہ جدول
| خصوصیت | رشتہ | فنکشن |
|---|---|---|
| تعریف | آرڈر شدہ جوڑوں کا کوئی بھی مجموعہ | فی ان پٹ ایک آؤٹ پٹ تفویض کرنے والا اصول |
| ان پٹ/آؤٹ پٹ کا تناسب | ایک سے کئی کی اجازت ہے۔ | صرف ایک سے ایک یا کئی سے ایک |
| عمودی لائن ٹیسٹ | ناکام ہو سکتا ہے (دو بار یا اس سے زیادہ کاٹتا ہے) | گزرنا ضروری ہے (ایک بار یا اس سے کم) |
| گرافک مثالیں۔ | حلقے، سائیڈ وے پارابولاس، ایس منحنی خطوط | لکیریں، اوپر کی طرف پارابولاس، سائن لہریں۔ |
| ریاضیاتی دائرہ کار | عام زمرہ | تعلقات کا ذیلی زمرہ |
| پیشین گوئی کی صلاحیت | کم (متعدد ممکنہ جوابات) | اعلیٰ (ایک یقینی جواب) |
تفصیلی موازنہ
ان پٹ آؤٹ پٹ اصول
بنیادی فرق ڈومین کے رویے میں ہے۔ ایک رشتہ میں، آپ نمبر 5 داخل کر سکتے ہیں اور 10 یا 20 واپس حاصل کر سکتے ہیں، جس سے 'ایک سے کئی' کا منظر نامہ بنتا ہے۔ ایک فنکشن اس ابہام سے منع کرتا ہے۔ اگر آپ 5 میں پلگ ان کرتے ہیں، تو آپ کو ہر بار ایک واحد، مستقل نتیجہ حاصل کرنا چاہیے، اس بات کو یقینی بناتے ہوئے کہ نظام متعین ہے۔
بصری شناخت
آپ عمودی لائن ٹیسٹ کا استعمال کرتے ہوئے گراف پر فرق کو فوری طور پر دیکھ سکتے ہیں۔ اگر آپ پلاٹ پر کہیں بھی ایک عمودی لکیر کھینچ سکتے ہیں جو ایک سے زیادہ جگہوں پر منحنی خطوط کو چھوتی ہے، تو آپ ایک رشتہ دیکھ رہے ہیں۔ افعال زیادہ 'ہموار' ہوتے ہیں اور کبھی بھی افقی طور پر خود پر دوگنا نہیں ہوتے ہیں۔
حقیقی دنیا کی منطق
وقت کے ساتھ کسی شخص کے قد کے بارے میں سوچو؛ کسی بھی مخصوص عمر میں، ایک شخص کی اونچائی بالکل ایک ہوتی ہے، جو اسے ایک فنکشن بناتی ہے۔ اس کے برعکس، لوگوں کی فہرست اور ان کی کاروں کے بارے میں سوچیں۔ چونکہ ایک شخص تین مختلف کاروں کا مالک ہوسکتا ہے، اس لیے وہ تعلق ایک رشتہ ہے لیکن فنکشن نہیں۔
نوٹیشن اور مقصد
فنکشنز کیلکولس اور فزکس کے ورک ہارسز ہیں کیونکہ ان کی پیشین گوئی ہمیں تبدیلی کی شرحوں کا حساب لگانے کی اجازت دیتی ہے۔ ہم خاص طور پر فنکشنز کے لیے 'f(x)' اشارے استعمال کرتے ہیں تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ آؤٹ پٹ مکمل طور پر 'x' پر منحصر ہے۔ رشتے جیومیٹری میں بیضوی شکلوں کی وضاحت کے لیے مفید ہیں جو ان سخت اصولوں پر عمل نہیں کرتے ہیں۔
فوائد اور نقصانات
رشتہ
فوائد
- +لچکدار میپنگ
- +پیچیدہ شکلوں کو بیان کرتا ہے۔
- +یونیورسل زمرہ
- +تمام ڈیٹا پر مشتمل
کونس
- −حل کرنا مشکل
- −غیر متوقع نتائج
- −کیلکولس کا محدود استعمال
- −عمودی ٹیسٹ میں ناکام
فنکشن
فوائد
- +متوقع نتائج
- +معیاری اشارے
- +کیلکولس کی بنیاد
- +واضح انحصار
کونس
- −سخت تقاضے
- −حلقوں کو ماڈل نہیں کیا جا سکتا
- −کم لچکدار
- −محدود ڈومین کے قوانین
عام غلط فہمیاں
ایک فنکشن میں ایک ہی آؤٹ پٹ کے نتیجے میں دو مختلف ان پٹ نہیں ہوسکتے ہیں۔
اس کی اصل میں اجازت ہے۔ مثال کے طور پر، فنکشن f(x) = x² میں، -2 اور 2 دونوں کا نتیجہ 4 میں آتا ہے۔ یہ 'بہت سے ایک' رشتہ ہے، جو کسی فنکشن کے لیے بالکل درست ہے۔
دائروں کے لیے مساوات فنکشنز ہیں۔
حلقے تعلقات ہیں، افعال نہیں۔ اگر آپ دائرے کے ذریعے عمودی لکیر کھینچتے ہیں، تو یہ اوپر اور نیچے سے ٹکراتی ہے، یعنی ایک ایکس ویلیو کی دو y- ویلیو ہوتی ہے۔
اصطلاحات 'رشتہ' اور 'فنکشن' کو ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے۔
وہ نیسٹڈ اصطلاحات ہیں۔ جب کہ آپ کسی فنکشن کو رشتہ کہہ سکتے ہیں، عام رشتہ کو فنکشن کہنا ریاضیاتی طور پر غلط ہے اگر یہ ایک آؤٹ پٹ اصول کی خلاف ورزی کرتا ہے۔
افعال کو ہمیشہ مساوات کے طور پر لکھا جانا چاہیے۔
فنکشنز کو ٹیبلز، گرافس، یا یہاں تک کہ کوآرڈینیٹ کے سیٹ سے بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ جب تک 'ایک آؤٹ پٹ فی ان پٹ' کا اصول برقرار ہے، فارمیٹ سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔
عمومی پوچھے گئے سوالات
میں کیسے بتا سکتا ہوں کہ آیا نقاط کی فہرست ایک فنکشن ہے؟
عمودی لائن ٹیسٹ کیوں استعمال کیا جاتا ہے؟
'ون ٹو ون' فنکشن کیا ہے؟
کیا عمودی لائن ایک فنکشن ہے؟
کیا ایک فنکشن ایک نقطہ ہو سکتا ہے؟
ڈومین اور رینج کیا ہے؟
کیا تمام لکیری مساوات افعال ہیں؟
کیا ایک فنکشن کو ایک پیٹرن کی پیروی کرنا ہے؟
فیصلہ
جب آپ کو کسی عام کنکشن یا جیومیٹرک شکل کو بیان کرنے کی ضرورت ہو تو ایک رشتہ استعمال کریں۔ جب آپ کو پیشین گوئی کے قابل ماڈل کی ضرورت ہو تو کسی فنکشن پر سوئچ کریں جہاں ہر عمل کا نتیجہ ایک مخصوص، دوبارہ قابل رد عمل ہوتا ہے۔
متعلقہ موازنہ جات
آزاد بمقابلہ منحصر متغیر
ہر ریاضیاتی ماڈل کے دل میں وجہ اور اثر کے درمیان تعلق ہوتا ہے۔ آزاد متغیر ان پٹ یا 'وجہ' کی نمائندگی کرتا ہے جسے آپ کنٹرول کرتے ہیں یا تبدیل کرتے ہیں، جب کہ منحصر متغیر 'اثر' یا نتیجہ ہے جس کا آپ مشاہدہ اور پیمائش کرتے ہیں کیونکہ یہ ان تبدیلیوں کا جواب دیتا ہے۔
اسکیلر بمقابلہ ویکٹر مقدار
جبکہ اسکیلرز اور ویکٹر دونوں ہمارے اردگرد کی دنیا کی مقدار درست کرتے ہیں، بنیادی فرق ان کی پیچیدگی میں ہے۔ اسکیلر طول و عرض کی ایک سادہ پیمائش ہے، جب کہ ایک ویکٹر اس سائز کو ایک مخصوص سمت کے ساتھ جوڑتا ہے، جو اسے جسمانی خلا میں حرکت اور قوت کو بیان کرنے کے لیے ضروری بناتا ہے۔
اصلی بمقابلہ کمپلیکس نمبر
جبکہ حقیقی اعداد ان تمام اقدار کو گھیرے ہوئے ہیں جنہیں ہم عام طور پر طبعی دنیا کی پیمائش کے لیے استعمال کرتے ہیں—پورے عدد سے لے کر لامحدود اعشاریہ تک—پیچیدہ اعداد خیالی اکائی $i$ کو متعارف کروا کر اس افق کو بڑھاتے ہیں۔ یہ اضافہ ریاضی دانوں کو ان مساواتوں کو حل کرنے کی اجازت دیتا ہے جن کا کوئی حقیقی حل نہیں ہے، جس سے ایک دو جہتی نمبر کا نظام تشکیل پاتا ہے جو جدید طبیعیات اور انجینئرنگ کے لیے ضروری ہے۔
الجبرا بمقابلہ جیومیٹری
جب کہ الجبرا عمل کے تجریدی اصولوں اور نامعلوم کو حل کرنے کے لیے علامتوں کی ہیرا پھیری پر توجہ مرکوز کرتا ہے، جیومیٹری خلا کی طبعی خصوصیات کو دریافت کرتی ہے، بشمول سائز، شکل، اور اعداد و شمار کی رشتہ دار پوزیشن۔ ایک ساتھ مل کر، وہ ریاضی کی بنیاد بناتے ہیں، منطقی تعلقات کو بصری ڈھانچے میں ترجمہ کرتے ہیں۔
امکان بمقابلہ شماریات
امکان اور اعدادوشمار ایک ہی ریاضی کے سکے کے دو رخ ہیں، جو مخالف سمتوں سے آنے والی غیر یقینی صورتحال سے نمٹتے ہیں۔ اگرچہ امکان معلوم ماڈلز کی بنیاد پر مستقبل کے نتائج کے امکان کی پیشین گوئی کرتا ہے، اعداد و شمار ان ماڈلز کی تعمیر یا تصدیق کے لیے ماضی کے ڈیٹا کا تجزیہ کرتے ہیں، بنیادی سچائی کو تلاش کرنے کے لیے مشاہدات سے پیچھے ہٹ کر مؤثر طریقے سے کام کرتے ہیں۔