Це порівняння пояснює математичну відмінність між цілими та раціональними числами, показуючи, як визначається кожен тип чисел, як вони співвідносяться в межах ширшої числової системи та ситуації, в яких одна класифікація є більш доречною для опису числових значень.
Цілі числа, що включають від'ємні, нуль та додатні числа без дробів або десяткових знаків.
Числа, які можна записати у вигляді дробу двох цілих чисел з ненульовим знаменником.
| Функція | Ціле число | Раціональний |
|---|---|---|
| Визначення | Ціле число без дробової частини | Частка двох цілих чисел |
| Набір символів | ℤ (цілі числа) | ℚ (раціональні числа) |
| Містить цілі числа? | Так (це цілі числа) | Так (містить усі цілі числа) |
| Містить нецілі дроби | Немає | Так |
| Десятковий запис | Без дробової/десяткової частини | Може бути періодичним або скінченним |
| Типові форми | …,−2, −1, 0, 1, 2,… | a/б, де б ≠ 0 |
| Приклад | -5, 0, 7 | 1/3, 4,5, -2/5 |
Цілі числа — це повні числа без будь-якої дробової частини, що охоплюють усі від'ємні числа, нуль та додатні числа. Раціональні числа складаються з будь-якого числа, яке можна записати як одне ціле число, поділене на інше ненульове ціле число, тобто раціональні числа включають цілі числа як окремий випадок, коли знаменник дорівнює одиниці.
Цілі числа утворюють підмножину раціональних чисел, тобто кожне ціле число є раціональним, якщо його подати у вигляді дробу з знаменником один. Раціональні числа також містять нецілі дроби, розширюючи множину за межі лише цілих значень.
Ціле число ніколи не має дробової або десяткової частини, тому його десятковий запис закінчується одразу. Раціональні числа можуть виражатися десятковими дробами, які або обриваються, або повторюють певний візерунок, оскільки ділення одного цілого числа на інше дає передбачуване десяткове розкладання.
Цілі числа зазвичай використовуються для дискретного підрахунку, кроків та випадків, коли дробові значення не потрібні. Раціональні числа корисні, коли потрібно описати частини цілого, пропорції, співвідношення та вимірювання, що включають дробові компоненти.
Цілі та раціональні числа є абсолютно окремими категоріями.
Цілі числа є підгрупою раціональних чисел, оскільки будь-яке ціле число можна записати у вигляді дробу з знаменником один, що робить кожне ціле число також раціональним числом.
Раціональні числа мають бути лише дробами.
Раціональні числа включають дроби, але вони також включають цілі числа, оскільки ціле число є раціональним числом, якщо його записати у вигляді дробу з знаменником один.
Раціональні числа завжди утворюють нескінченні десяткові дроби.
Деякі раціональні числа утворюють нескінченні періодичні десяткові дроби, тоді як інші утворюють дроби, що закінчуються після скінченної кількості цифр, залежно від знаменника.
Цілі числа можуть бути будь-яким дійсним числом.
Цілі числа не можуть містити дробів або десяткових знаків; лише цілі значення без будь-якої дробової частини вважаються цілими числами.
Використовуйте термін «integer», коли йдеться саме про цілі числа без дробів. Вживайте «rational», коли потрібно описати числа, які можуть включати дроби або десяткові значення, визначені відношенням цілих чисел.
Хоча в початковій математиці абсолютне значення часто використовується як взаємозамінне, воно зазвичай стосується відстані дійсного числа від нуля, тоді як модуль розширює цю концепцію на комплексні числа та вектори. Обидва терміни служать одній і тій самій фундаментальній меті: позбавлення від знаків напрямку, щоб показати чисту величину математичної сутності.
У той час як алгебра зосереджується на абстрактних правилах операцій та маніпуляціях символами для розв'язання задач щодо невідомих, геометрія досліджує фізичні властивості простору, включаючи розмір, форму та взаємне розташування фігур. Разом вони утворюють основу математики, перетворюючи логічні зв'язки на візуальні структури.
По суті, арифметичні та геометричні послідовності – це два різні способи збільшення або зменшення списку чисел. Арифметична послідовність змінюється зі стабільним, лінійним темпом шляхом додавання або віднімання, тоді як геометрична послідовність прискорюється або сповільнюється експоненціально шляхом множення або ділення.
Розуміння різниці між векторами та скалярами – це перший крок у переході від базової арифметики до вищої фізики та інженерії. У той час як скаляр просто показує, «скільки» чогось існує, вектор додає критичний контекст «в який бік», перетворюючи просте значення на спрямовану силу.
Хоча і визначник, і слід є фундаментальними скалярними властивостями квадратних матриць, вони охоплюють зовсім різні геометричні та алгебраїчні історії. Визначник вимірює коефіцієнт масштабування об'єму та те, чи змінює перетворення орієнтацію, тоді як слід забезпечує просту лінійну суму діагональних елементів, яка пов'язана із сумою власних значень матриці.
