Matematik dünyasında her fonksiyon bir ilişkidir, ancak her ilişki fonksiyon olarak nitelendirilemez. İlişki basitçe iki sayı kümesi arasındaki herhangi bir bağlantıyı tanımlarken, fonksiyon her girdinin tam olarak belirli bir çıktıya yol açmasını gerektiren disiplinli bir alt kümedir.
Girişler ve çıkışlar arasında bir bağlantı tanımlayan herhangi bir sıralı çift kümesi.
Her girdinin tek ve benzersiz bir çıktıya sahip olduğu özel bir ilişki türü.
| Özellik | İlişki | İşlev |
|---|---|---|
| Tanım | Sıralı çiftlerden oluşan herhangi bir koleksiyon | Her girdi için bir çıktı atayan kural |
| Giriş/Çıkış Oranı | Bire bir ilişkiye izin verilir. | Sadece bire bir veya çoklu bir görüşme |
| Dikey Çizgi Testi | Başarısız olabilir (iki veya daha fazla kez kesişebilir) | Geçmesi gerekir (en az bir kez kesişir) |
| Grafik Örnekleri | Daireler, yan paraboller, S eğrileri | Çizgiler, yukarı doğru paraboller, sinüs dalgaları |
| Matematiksel Kapsam | Genel kategori | İlişkilerin alt kategorisi |
| Öngörülebilirlik | Düşük (Birden fazla olası cevap) | Yüksek (Kesin bir cevap) |
Temel fark, etki alanının davranışında yatmaktadır. Bir ilişkide, 5 sayısını girdiğinizde 10 veya 20 gibi bir sonuç alabilirsiniz; bu da 'bire çok' bir senaryo yaratır. Bir fonksiyon bu belirsizliği ortadan kaldırır; 5'i girdiğinizde, her seferinde tek ve tutarlı bir sonuç almanız gerekir, bu da sistemin deterministik olmasını sağlar.
Dikey Çizgi Testi'ni kullanarak bir grafikte farkı anında görebilirsiniz. Grafikte herhangi bir yere çizebileceğiniz ve eğriye birden fazla noktada dokunan dikey bir çizgi varsa, bir ilişkiye bakıyorsunuz demektir. Fonksiyonlar daha 'akıcı'dır ve yatay olarak asla kendi üzerlerine geri dönmezler.
Bir kişinin boyunun zaman içindeki değişimini düşünün; belirli bir yaşta, bir kişinin tam olarak tek bir boyu vardır, bu da onu bir fonksiyon yapar. Tersine, insanların ve sahip oldukları arabaların bir listesini düşünün. Bir kişi üç farklı arabaya sahip olabileceğinden, bu bağlantı bir ilişkidir ancak bir fonksiyon değildir.
Fonksiyonlar, tahmin edilebilirlikleri sayesinde değişim oranlarını hesaplamamıza olanak sağladığı için matematik ve fiziğin temel araçlarıdır. Çıktının yalnızca 'x'e bağlı olduğunu göstermek için özellikle fonksiyonlar için 'f(x)' gösterimini kullanırız. İlişkiler, bu katı kurallara uymayan elips gibi şekilleri tanımlamak için geometride kullanışlıdır.
Bir fonksiyon, birbirinden farklı iki girdiyle aynı çıktıyı üretemez.
Bu aslında mümkündür. Örneğin, f(x) = x² fonksiyonunda hem -2 hem de 2'nin sonucu 4'tür. Bu, bir fonksiyon için tamamen geçerli olan 'çoktan bire' bir ilişkidir.
Çemberler için denklemler fonksiyonlardır.
Çemberler fonksiyon değil, ilişkilerdir. Bir çemberin içinden dikey bir çizgi çizerseniz, bu çizgi çemberin üst ve alt noktalarına denk gelir; yani bir x değeri iki y değerine karşılık gelir.
'İlişki' ve 'işlev' terimleri birbirinin yerine kullanılabilir.
Bunlar iç içe geçmiş terimlerdir. Bir fonksiyona ilişki diyebilirsiniz ancak genel bir ilişkiye fonksiyon demek, tek çıktı kuralını ihlal ediyorsa matematiksel olarak yanlıştır.
Fonksiyonlar her zaman denklem olarak yazılmalıdır.
Fonksiyonlar tablolar, grafikler veya hatta koordinat kümeleriyle temsil edilebilir. 'Her girdi için bir çıktı' kuralı korunduğu sürece, formatın önemi yoktur.
Genel bir bağlantıyı veya kendi üzerine geri dönen geometrik bir şekli tanımlamanız gerektiğinde ilişki kullanın. Her eylemin belirli, tekrarlanabilir bir tepkiyle sonuçlandığı öngörülebilir bir modele ihtiyacınız olduğunda fonksiyona geçin.
Açı ve eğim, bir doğrunun "dikliğini" nicel olarak ifade eder, ancak farklı matematiksel diller kullanırlar. Açı, kesişen iki doğru arasındaki dairesel dönüşü derece veya radyan cinsinden ölçerken, eğim dikey "yükselişi" yatay "koşuya" göre sayısal bir oran olarak ölçer.
Aritmetik ortalama, her veri noktasını nihai ortalamaya eşit katkıda bulunan bir unsur olarak ele alırken, ağırlıklı ortalama farklı değerlere belirli önem düzeyleri atar. Bu ayrımı anlamak, basit sınıf ortalamalarının hesaplanmasından, bazı varlıkların diğerlerinden daha önemli olduğu karmaşık finansal portföylerin belirlenmesine kadar her şey için çok önemlidir.
Özünde, aritmetik ve geometrik diziler, bir sayı listesini büyütmenin veya küçültmenin iki farklı yoludur. Aritmetik bir dizi, toplama veya çıkarma yoluyla sabit, doğrusal bir hızda değişirken, geometrik bir dizi çarpma veya bölme yoluyla üstel olarak hızlanır veya yavaşlar.
Asal çarpanlara ayırma, bileşik bir sayıyı temel yapı taşları olan asal sayılara ayırma matematiksel hedefidir; çarpan ağacı ise bu sonucu elde etmek için kullanılan görsel, dallanan bir araçtır. Biri nihai sayısal ifade iken, diğeri onu ortaya çıkarmak için kullanılan adım adım yol haritasıdır.
Bu karşılaştırma, doğal sayıların iki temel kategorisi olan asal ve bileşik sayıların tanımlarını, özelliklerini, örneklerini ve aralarındaki farkları açıklayarak, bu sayıların nasıl belirlendiğini, çarpanlara ayırma işleminde nasıl davrandıklarını ve temel sayı teorisinde bunları tanımanın neden önemli olduğunu ortaya koymaktadır.
