แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยแทนเจนต์จะเน้นที่อัตราส่วนของด้านตรงข้ามต่อด้านประชิด ในขณะที่โคแทนเจนต์จะกลับมุมมองนี้ โดยให้ค่าอัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม
อัตราส่วนของค่าไซน์ของมุมต่อค่าโคไซน์ของมุมนั้น แสดงถึงความชันของเส้นตรง
ส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ ซึ่งแสดงถึงอัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์
| ฟีเจอร์ | แทนเจนต์ (แทน) | โคแทนเจนต์ (cot) |
|---|---|---|
| อัตราส่วนตรีโกณมิติ | sin(x) / cos(x) | cos(x) / sin(x) |
| อัตราส่วนสามเหลี่ยม | ตรงข้าม / ติดกัน | ติดกัน / ตรงข้าม |
| ไม่ได้กำหนดไว้ที่ | π/2 + nπ | nπ |
| ค่าที่ 45° | 1 | 1 |
| ทิศทางการทำงาน | เพิ่มขึ้น (ระหว่างเส้นกำกับ) | ลดลง (ระหว่างเส้นกำกับ) |
| อนุพันธ์ | sec²(x) | -csc²(x) |
| ความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทน | 1 / cot(x) | 1 / tan(x) |
ค่าแทนเจนต์และค่าโคแทนเจนต์มีความสัมพันธ์ที่โดดเด่นสองประการ ประการแรก ทั้งสองเป็นส่วนกลับกัน กล่าวคือ ถ้าค่าแทนเจนต์ของมุมหนึ่งคือ 3/4 ค่าโคแทนเจนต์ก็จะเท่ากับ 4/3 โดยอัตโนมัติ ประการที่สอง ทั้งสองเป็นฟังก์ชันร่วม กล่าวคือ ค่าแทนเจนต์ของมุมหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีค่าเท่ากับค่าโคแทนเจนต์ของมุมอีกมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก
กราฟแทนเจนต์มีชื่อเสียงในเรื่องรูปทรงโค้งขึ้นที่ซ้ำกันระหว่างเส้นกำกับแนวตั้ง กราฟโคแทนเจนต์มีลักษณะคล้ายกันมาก แต่จะสะท้อนทิศทาง โดยโค้งลงเมื่อเคลื่อนจากซ้ายไปขวา เนื่องจากจุดที่ไม่นิยามของทั้งสองกราฟนั้นเหลื่อมกัน โดยที่แทนเจนต์มีเส้นกำกับ แต่โคแทนเจนต์มักมีจุดตัดกับศูนย์
ในระนาบพิกัด ค่าแทนเจนต์เป็นวิธีที่เข้าใจง่ายที่สุดในการอธิบาย "ความชัน" หรือความลาดเอียงของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด ส่วนค่าโคแทนเจนต์นั้น แม้จะไม่ค่อยได้ใช้บ่อยนักในการคำนวณความลาดเอียงพื้นฐาน แต่ก็มีความสำคัญอย่างยิ่งในการสำรวจและนำทาง เมื่อความสูงในแนวดิ่งเป็นค่าคงที่ที่ทราบ และระยะทางในแนวนอนเป็นตัวแปรที่ต้องการหาคำตอบ
เมื่อพูดถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันแทนเจนต์มีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันซีแคนต์ ในขณะที่ฟังก์ชันโคแทนเจนต์มีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันโคซีแคนต์ อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองสะท้อนความสมมาตรนี้ โดยที่ฟังก์ชันโคแทนเจนต์มักจะมีเครื่องหมายลบในการคำนวณ ซึ่งสะท้อนพฤติกรรมที่พบในความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
เส้นแทนเจนต์และเส้นโคแทนเจนต์มีคาบเท่ากับ 360 องศา
ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะวนซ้ำรอบเดิมทุกๆ 180 องศา (π เรเดียน) เนื่องจากอัตราส่วนของ x และ y จะวนซ้ำทุกครึ่งวงกลม
ค่าโคแทนเจนต์ก็คือค่าผกผันของแทนเจนต์ ($tan^{-1}$) นั่นเอง
นี่เป็นจุดที่ทำให้สับสนอย่างมาก โคแทนเจนต์คือ *ตัวผกผันการคูณ* ($1/tan$) ในขณะที่ $tan^{-1}$ (arctan) คือ *ฟังก์ชันผกผัน* ที่ใช้ในการหาค่ามุมจากอัตราส่วน
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ไม่ค่อยได้ใช้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่แล้ว
แม้ว่าเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่จะไม่มีปุ่ม "cot" โดยเฉพาะ แต่ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในแคลคูลัสระดับสูง พิกัดเชิงขั้ว และการวิเคราะห์เชิงซ้อน
ฟังก์ชันแทนเจนต์สามารถใช้ได้กับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศาเท่านั้น
ค่าแทนเจนต์สามารถนิยามได้สำหรับจำนวนจริงเกือบทั้งหมด แม้ว่าจะมีพฤติกรรมแตกต่างกันในแต่ละควอดแรนต์ โดยแสดงค่าเป็นบวกในควอดแรนต์ที่ 1 และ 3
ใช้แทนเจนต์เมื่อคุณกำลังคำนวณความชันหรือต้องการหาความสูงในแนวดิ่งโดยอิงจากระยะทางในแนวนอน เลือกใช้โคแทนเจนต์เมื่อคุณกำลังทำงานกับเอกลักษณ์ส่วนกลับในแคลคูลัส หรือเมื่อด้าน 'ตรงข้าม' ของสามเหลี่ยมของคุณคือความยาวอ้างอิงที่ทราบแล้ว
ทั้งการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์จากโดเมนเวลาที่ซับซ้อนไปสู่โดเมนความถี่เชิงพีชคณิตที่ง่ายกว่า ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณสภาวะคงที่และรูปแบบคลื่น การแปลงลาปลาสเป็นการขยายความที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งสามารถจัดการกับพฤติกรรมชั่วคราวและระบบที่ไม่เสถียรได้โดยการเพิ่มปัจจัยการลดทอนในการคำนวณ
การแยกตัวประกอบเฉพาะคือเป้าหมายทางคณิตศาสตร์ในการแยกจำนวนประกอบออกเป็นหน่วยพื้นฐานที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่แผนผังตัวประกอบเป็นเครื่องมือแสดงภาพแบบแตกแขนงที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นั้น โดยที่อย่างหนึ่งคือผลลัพธ์เชิงตัวเลขสุดท้าย อีกอย่างหนึ่งคือแผนที่ขั้นตอนทีละขั้นที่ใช้ในการค้นหาผลลัพธ์นั้น
ในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' และ 'การจัดเรียง' มักถูกใช้แทนกันได้เพื่ออธิบายลำดับเฉพาะของชุดสิ่งของ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ในขณะที่การจัดเรียงเป็นผลลัพธ์ทางกายภาพหรือเชิงแนวคิดของกระบวนการนั้น ซึ่งแตกต่างจากการรวมกันแบบง่ายๆ ที่ลำดับไม่สำคัญ
แม้ว่าทั้งสองแนวคิดจะเกี่ยวข้องกับการเลือกรายการจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า แต่ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ว่าลำดับของรายการเหล่านั้นมีความสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยนมุ่งเน้นไปที่การจัดเรียงเฉพาะที่ตำแหน่งเป็นกุญแจสำคัญ ในขณะที่การจัดหมู่พิจารณาเฉพาะรายการที่ถูกเลือก ทำให้การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ชุดสิ่งของสามารถเรียงลำดับได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในขณะที่ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนที่เปรียบเทียบการเรียงลำดับเฉพาะเหล่านั้นกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อกำหนดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น
