ในขณะที่จำนวนจริงครอบคลุมค่าทั้งหมดที่เราใช้ในการวัดโลกทางกายภาพโดยทั่วไป ตั้งแต่จำนวนเต็มไปจนถึงทศนิยมอนันต์ จำนวนเชิงซ้อนขยายขอบเขตนี้โดยการแนะนำหน่วยจินตนาการ $i$ การเพิ่มหน่วยนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถแก้สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงได้ ทำให้เกิดระบบจำนวนสองมิติซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อฟิสิกส์และวิศวกรรมสมัยใหม่
เซตของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะทั้งหมดที่สามารถพบได้บนเส้นจำนวนหนึ่งมิติต่อเนื่องกัน
จำนวนที่แสดงในรูปแบบ $a + $b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $i$ เป็นหน่วยจินตภาพ
| ฟีเจอร์ | ตัวเลขจริง | จำนวนเชิงซ้อน |
|---|---|---|
| แบบฟอร์มทั่วไป | $x$ (โดยที่ $x$ คือค่าจำนวนจริงใดๆ) | $a + bi$ (โดยที่ $i = \sqrt{-1}$) |
| มิติ | 1 มิติ (เส้นจำนวน) | 2 มิติ (ระนาบเชิงซ้อน) |
| กำลังสองของจำนวน | ต้องเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ ($x^2 \geq 0$) | ค่าอาจเป็นลบได้ (เช่น $(2i)^2 = -4$) |
| การสั่งซื้อ | สามารถสั่งซื้อได้ (ราคา 1 ดอลลาร์ < 2 ดอลลาร์ < 3 ดอลลาร์) | ไม่มีความสัมพันธ์แบบ "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" ที่เป็นมาตรฐาน |
| ส่วนประกอบ | ของจริงล้วนๆ | ส่วนจริงและส่วนจินตนาการ |
| สัญชาตญาณทางกายภาพ | ปริมาณที่วัดได้โดยตรง | อธิบายถึงการหมุน เฟส และการสั่น |
จำนวนจริงมีอยู่บนเส้นตรงที่เรียบง่ายซึ่งทอดยาวไปสู่อนันต์ในทั้งสองทิศทาง แต่จำนวนเชิงซ้อนนั้นต้องการระนาบทั้งหมดในการดำรงอยู่ ส่วนจริงจะเคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวา ในขณะที่ส่วนจินตนาการจะเคลื่อนที่ขึ้นหรือลง การเปลี่ยนจากมิติเดียวไปสู่สองมิตินี้คือการก้าวกระโดดพื้นฐานที่ทำให้คณิตศาสตร์เชิงซ้อนทรงพลังอย่างยิ่ง
ถ้าคุณพยายามหาค่ารากที่สองของ -9 โดยใช้เฉพาะจำนวนจริง คุณจะพบทางตัน เพราะไม่มีจำนวนจริงใดที่คูณด้วยตัวเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็นลบ จำนวนเชิงซ้อนช่วยแก้ปัญหานี้ได้โดยกำหนดให้ 3i เป็นคำตอบ ความสามารถในการจัดการกับรากที่เป็นลบนี้ทำให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอิเล็กทรอนิกส์และกลศาสตร์ควอนตัมไม่ "พัง" เมื่อพบกับรากที่สองของค่าลบ
ในโลกแห่งความเป็นจริง 'ขนาด' นั้นตรงไปตรงมา เช่น 5 ใหญ่กว่า 2 แต่ในโลกที่ซับซ้อน เราพูดถึง 'ขนาด' หรือ 'ค่าสัมบูรณ์' ซึ่งเป็นระยะทางจากจุดกำเนิด (ศูนย์) บนระนาบ เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับมุมและระยะทาง จึงมีพฤติกรรมคล้ายกับเวกเตอร์ ทำให้เป็นเครื่องมือที่สมบูรณ์แบบสำหรับการวิเคราะห์กระแสสลับหรือคลื่นเสียง
เป็นความเข้าใจผิดที่พบบ่อยที่คิดว่าสองกลุ่มนี้แยกจากกันโดยสิ้นเชิง ในความเป็นจริง จำนวนจริงทุกจำนวนล้วนเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ($a + 0i$) ระบบจำนวนจริงเป็นเพียงเซตย่อยเฉพาะส่วนหนึ่ง—เส้นเดียว—ภายในมหาสมุทรอันกว้างใหญ่ไพศาลของระนาบเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนไม่ใช่จำนวน 'จริง' และไม่มีประโยชน์ในโลกแห่งความเป็นจริง
แม้จะมีชื่อที่ฟังดูไม่น่าฟัง แต่จำนวนเชิงซ้อนมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อเทคโนโลยีในโลกแห่งความเป็นจริง พวกมันถูกนำไปใช้ทุกวันในการออกแบบโครงข่ายไฟฟ้า การรักษาเสถียรภาพของเครื่องบิน และการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลในสมาร์ทโฟนของคุณ
จำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ แต่ไม่สามารถเป็นทั้งสองอย่างพร้อมกันได้
จำนวนจริงทั้งหมดเป็นจำนวนเชิงซ้อน ถ้าคุณมีเลข 5 มันสามารถเขียนได้เป็น 5 + 0i ซึ่งบังเอิญมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์
จำนวนเชิงซ้อนก็คือจำนวนจริงสองจำนวนที่นำมาต่อกัน
ถึงแม้ว่าจำนวนจริงจะมีสองส่วน แต่ก็มีกฎการคูณและการหารที่เป็นเอกลักษณ์ (เช่น i × i = -1) ซึ่งจำนวนจริงทั่วไปไม่มี จำนวนจริงจึงทำหน้าที่เสมือนเป็นหน่วยทางคณิตศาสตร์เดียวที่สมบูรณ์
จำนวนเชิงซ้อนถูกคิดค้นขึ้นเพราะนักคณิตศาสตร์รู้สึกเบื่อ
อันที่จริงแล้ว ตัวดำเนินการเหล่านี้ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อแก้สมการกำลังสามในศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ตระหนักว่าพวกเขาไม่สามารถได้คำตอบที่ถูกต้อง "ที่แท้จริง" โดยไม่ต้องผ่านขั้นตอน "จินตนาการ" ในระหว่างการคำนวณ
ใช้จำนวนจริงสำหรับการใช้ชีวิตประจำวัน การบัญชีมาตรฐาน และการวัดพื้นฐานที่ค่าต่างๆ อยู่บนมาตราส่วนที่เรียบง่าย หันไปใช้จำนวนเชิงซ้อนเมื่อคุณทำงานกับปัญหาหลายมิติ การวิเคราะห์คลื่น หรือวิศวกรรมขั้นสูงที่ 'การหมุน' และ 'เฟส' มีความสำคัญเท่ากับ 'ปริมาณ'
ทั้งการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์จากโดเมนเวลาที่ซับซ้อนไปสู่โดเมนความถี่เชิงพีชคณิตที่ง่ายกว่า ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณสภาวะคงที่และรูปแบบคลื่น การแปลงลาปลาสเป็นการขยายความที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งสามารถจัดการกับพฤติกรรมชั่วคราวและระบบที่ไม่เสถียรได้โดยการเพิ่มปัจจัยการลดทอนในการคำนวณ
การแยกตัวประกอบเฉพาะคือเป้าหมายทางคณิตศาสตร์ในการแยกจำนวนประกอบออกเป็นหน่วยพื้นฐานที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่แผนผังตัวประกอบเป็นเครื่องมือแสดงภาพแบบแตกแขนงที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นั้น โดยที่อย่างหนึ่งคือผลลัพธ์เชิงตัวเลขสุดท้าย อีกอย่างหนึ่งคือแผนที่ขั้นตอนทีละขั้นที่ใช้ในการค้นหาผลลัพธ์นั้น
ในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' และ 'การจัดเรียง' มักถูกใช้แทนกันได้เพื่ออธิบายลำดับเฉพาะของชุดสิ่งของ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ในขณะที่การจัดเรียงเป็นผลลัพธ์ทางกายภาพหรือเชิงแนวคิดของกระบวนการนั้น ซึ่งแตกต่างจากการรวมกันแบบง่ายๆ ที่ลำดับไม่สำคัญ
แม้ว่าทั้งสองแนวคิดจะเกี่ยวข้องกับการเลือกรายการจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า แต่ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ว่าลำดับของรายการเหล่านั้นมีความสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยนมุ่งเน้นไปที่การจัดเรียงเฉพาะที่ตำแหน่งเป็นกุญแจสำคัญ ในขณะที่การจัดหมู่พิจารณาเฉพาะรายการที่ถูกเลือก ทำให้การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ชุดสิ่งของสามารถเรียงลำดับได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในขณะที่ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนที่เปรียบเทียบการเรียงลำดับเฉพาะเหล่านั้นกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อกำหนดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น
