การเปรียบเทียบนี้อธิบายความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ระหว่างจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ โดยแสดงให้เห็นว่าชนิดของตัวเลขแต่ละประเภทถูกนิยามอย่างไร มีความสัมพันธ์กันอย่างไรภายในระบบจำนวนที่กว้างขึ้น และสถานการณ์ใดที่การจัดประเภทหนึ่งเหมาะสมกว่าสำหรับการอธิบายค่าตัวเลข
จำนวนเต็มที่รวมถึงจำนวนลบ ศูนย์ และจำนวนบวก โดยไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยม
จำนวนที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
| ฟีเจอร์ | จำนวนเต็ม | เหตุผลนิยม |
|---|---|---|
| คำนิยาม | จำนวนเต็มที่ไม่มีเศษส่วน | เศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน |
| ชุดสัญลักษณ์ | ℤ (จำนวนเต็ม) | ℚ (จำนวนตรรกยะ) |
| รวมจำนวนเต็มหรือไม่? | ใช่ (เป็นจำนวนเต็ม) | ใช่ (ประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมด) |
| รวมเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม | ไม่ | ใช่ |
| การแทนค่าทศนิยม | ไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วน/ทศนิยม | สามารถเป็นแบบซ้ำหรือสิ้นสุดได้ |
| แบบฟอร์มทั่วไป | …, -2, -1, 0, 1, 2, … | a/b เมื่อ b ≠ 0 |
| ตัวอย่าง | -5, 0, 7 | ๑/๓, ๔.๕, -๒/๕ |
จำนวนเต็มคือจำนวนเต็มที่สมบูรณ์โดยไม่มีองค์ประกอบเป็นเศษส่วน ครอบคลุมจำนวนลบทั้งหมด ศูนย์ และจำนวนบวก จำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนใด ๆ ที่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนหารด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจำนวนตรรกยะรวมถึงจำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษเมื่อตัวหารเป็นหนึ่ง
จำนวนเต็มเป็นเซตย่อยของจำนวนตรรกยะ หมายความว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนถือเป็นจำนวนตรรกยะได้โดยการเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง จำนวนตรรกยะยังรวมเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย ซึ่งขยายเซตให้ครอบคลุมมากกว่าแค่ค่าที่เป็นจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือทศนิยม ดังนั้นการแสดงผลในรูปทศนิยมจะจบลงทันที ตัวเลขตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมที่สิ้นสุดหรือซ้ำรูปแบบได้ เนื่องจากการหารจำนวนเต็มหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งจะให้การขยายทศนิยมที่คาดเดาได้
จำนวนเต็มมักใช้ในการนับแบบไม่ต่อเนื่อง ขั้นตอน และกรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าที่เป็นเศษส่วน ตัวเลขตรรกยะมีประโยชน์เมื่ออธิบายส่วนของทั้งหมด สัดส่วน อัตราส่วน และการวัดที่มีองค์ประกอบเป็นเศษส่วน
จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะเป็นหมวดหมู่ที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง
จำนวนเต็มเป็นกลุ่มย่อยของจำนวนตรรกยะ เนื่องจากจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่งได้ ทำให้จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะด้วยเช่นกัน
จำนวนตรรกยะต้องเป็นเศษส่วนเท่านั้น
จำนวนตรรกยะประกอบด้วยเศษส่วน แต่ก็รวมถึงจำนวนเต็มด้วย เพราะจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะเมื่อเขียนในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง
จำนวนตรรกยะจะให้ทศนิยมไม่รู้จบเสมอ
ตัวเลขตรรกยะบางจำนวนให้ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ แต่บางจำนวนให้ทศนิยมที่สิ้นสุดหลังจากจำนวนหลักที่จำกัด ขึ้นอยู่กับตัวส่วน
จำนวนเต็มสามารถเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ได้
จำนวนเต็มไม่สามารถมีเศษส่วนหรือทศนิยมได้ เฉพาะค่าที่เป็นจำนวนเต็มโดยไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วนเท่านั้นที่ถือเป็นจำนวนเต็ม
เลือกใช้คำว่า 'integer' เมื่อคุณหมายถึงจำนวนเต็มที่ไม่มีเศษส่วน ใช้คำว่า 'rational' เมื่อคุณต้องการอธิบายจำนวนที่สามารถมีเศษส่วนหรือทศนิยมที่กำหนดโดยอัตราส่วนของจำนวนเต็ม
ทั้งการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์จากโดเมนเวลาที่ซับซ้อนไปสู่โดเมนความถี่เชิงพีชคณิตที่ง่ายกว่า ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณสภาวะคงที่และรูปแบบคลื่น การแปลงลาปลาสเป็นการขยายความที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งสามารถจัดการกับพฤติกรรมชั่วคราวและระบบที่ไม่เสถียรได้โดยการเพิ่มปัจจัยการลดทอนในการคำนวณ
การแยกตัวประกอบเฉพาะคือเป้าหมายทางคณิตศาสตร์ในการแยกจำนวนประกอบออกเป็นหน่วยพื้นฐานที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่แผนผังตัวประกอบเป็นเครื่องมือแสดงภาพแบบแตกแขนงที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นั้น โดยที่อย่างหนึ่งคือผลลัพธ์เชิงตัวเลขสุดท้าย อีกอย่างหนึ่งคือแผนที่ขั้นตอนทีละขั้นที่ใช้ในการค้นหาผลลัพธ์นั้น
ในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' และ 'การจัดเรียง' มักถูกใช้แทนกันได้เพื่ออธิบายลำดับเฉพาะของชุดสิ่งของ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ในขณะที่การจัดเรียงเป็นผลลัพธ์ทางกายภาพหรือเชิงแนวคิดของกระบวนการนั้น ซึ่งแตกต่างจากการรวมกันแบบง่ายๆ ที่ลำดับไม่สำคัญ
แม้ว่าทั้งสองแนวคิดจะเกี่ยวข้องกับการเลือกรายการจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า แต่ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ว่าลำดับของรายการเหล่านั้นมีความสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยนมุ่งเน้นไปที่การจัดเรียงเฉพาะที่ตำแหน่งเป็นกุญแจสำคัญ ในขณะที่การจัดหมู่พิจารณาเฉพาะรายการที่ถูกเลือก ทำให้การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ชุดสิ่งของสามารถเรียงลำดับได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในขณะที่ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนที่เปรียบเทียบการเรียงลำดับเฉพาะเหล่านั้นกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อกำหนดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น
