คณิตศาสตร์ระบบตัวเลขจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็มกับจำนวนตรรกยะ

การเปรียบเทียบนี้อธิบายความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ระหว่างจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ โดยแสดงให้เห็นว่าชนิดของตัวเลขแต่ละประเภทถูกนิยามอย่างไร มีความสัมพันธ์กันอย่างไรภายในระบบจำนวนที่กว้างขึ้น และสถานการณ์ใดที่การจัดประเภทหนึ่งเหมาะสมกว่าสำหรับการอธิบายค่าตัวเลข

ไฮไลต์

จำนวนเต็มคือจำนวนเต็มที่ไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วน รวมถึงจำนวนลบและศูนย์
จำนวนตรรกยะสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ได้
จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ แต่จำนวนตรรกยะไม่ได้ทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
จำนวนตรรกยะประกอบด้วยเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มและทศนิยมที่ซ้ำหรือสิ้นสุด

จำนวนเต็ม คืออะไร

จำนวนเต็มที่รวมถึงจำนวนลบ ศูนย์ และจำนวนบวก โดยไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยม

หมวดหมู่: เซตย่อยของจำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มที่ไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือทศนิยม
ตัวอย่าง: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
รวมถึง: ค่าลบ ค่าบวก และศูนย์
ไม่รวม: เศษส่วนและทศนิยมที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

เหตุผลนิยม คืออะไร

จำนวนที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

หมวดหมู่: จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน
นิยาม: ผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวนโดยตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่าง: ๑/๒, ๓, -๔/๗, ๐.๗๕
รูปแบบทศนิยม: อาจเป็นทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำ
ประกอบด้วย: จำนวนเต็มทั้งหมดเป็นกรณีพิเศษ

ตารางเปรียบเทียบ

ฟีเจอร์	จำนวนเต็ม	เหตุผลนิยม
คำนิยาม	จำนวนเต็มที่ไม่มีเศษส่วน	เศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน
ชุดสัญลักษณ์	ℤ (จำนวนเต็ม)	ℚ (จำนวนตรรกยะ)
รวมจำนวนเต็มหรือไม่?	ใช่ (เป็นจำนวนเต็ม)	ใช่ (ประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมด)
รวมเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม	ไม่	ใช่
การแทนค่าทศนิยม	ไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วน/ทศนิยม	สามารถเป็นแบบซ้ำหรือสิ้นสุดได้
แบบฟอร์มทั่วไป	…, -2, -1, 0, 1, 2, …	a/b เมื่อ b ≠ 0
ตัวอย่าง	-5, 0, 7	๑/๓, ๔.๕, -๒/๕

การเปรียบเทียบโดยละเอียด

คำจำกัดความหลัก

จำนวนเต็มคือจำนวนเต็มที่สมบูรณ์โดยไม่มีองค์ประกอบเป็นเศษส่วน ครอบคลุมจำนวนลบทั้งหมด ศูนย์ และจำนวนบวก จำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนใด ๆ ที่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนหารด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจำนวนตรรกยะรวมถึงจำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษเมื่อตัวหารเป็นหนึ่ง

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

จำนวนเต็มเป็นเซตย่อยของจำนวนตรรกยะ หมายความว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนถือเป็นจำนวนตรรกยะได้โดยการเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง จำนวนตรรกยะยังรวมเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย ซึ่งขยายเซตให้ครอบคลุมมากกว่าแค่ค่าที่เป็นจำนวนเต็ม

พฤติกรรมทศนิยม

จำนวนเต็มไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือทศนิยม ดังนั้นการแสดงผลในรูปทศนิยมจะจบลงทันที ตัวเลขตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมที่สิ้นสุดหรือซ้ำรูปแบบได้ เนื่องจากการหารจำนวนเต็มหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งจะให้การขยายทศนิยมที่คาดเดาได้

กรณีการใช้งานจริง

จำนวนเต็มมักใช้ในการนับแบบไม่ต่อเนื่อง ขั้นตอน และกรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าที่เป็นเศษส่วน ตัวเลขตรรกยะมีประโยชน์เมื่ออธิบายส่วนของทั้งหมด สัดส่วน อัตราส่วน และการวัดที่มีองค์ประกอบเป็นเศษส่วน

ข้อดีและข้อเสีย

จำนวนเต็ม

ข้อดี

+ไม่มีเศษส่วน/ทศนิยม
+ประเภทตัวเลขแบบง่าย
+มีประโยชน์สำหรับการนับ
+ค่าที่ไม่ต่อเนื่อง

ยืนยัน

−ไม่สามารถแสดงส่วนประกอบของทั้งหมดได้
−จำกัดสัดส่วนเท่านั้น
−ไม่มีทศนิยมซ้ำ
−ยืดหยุ่นน้อยกว่า

เหตุผลนิยม

ข้อดี

+ประกอบด้วยเศษส่วน
+ครอบคลุมจำนวนเต็มด้วย
+มีประโยชน์สำหรับอัตราส่วน
+ความหลากหลายของระบบเลขฐานสิบ

ยืนยัน

−ชุดที่ซับซ้อนขึ้น
−ตัวเลขทศนิยมอาจซ้ำกันได้
−ต้องการข้อจำกัดตัวหาร
−อาจจะไม่ค่อยใช้งานง่ายเท่าไหร่

ความเข้าใจผิดทั่วไป

ตำนาน

จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะเป็นหมวดหมู่ที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง

ความเป็นจริง

จำนวนเต็มเป็นกลุ่มย่อยของจำนวนตรรกยะ เนื่องจากจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่งได้ ทำให้จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะด้วยเช่นกัน

ตำนาน

จำนวนตรรกยะต้องเป็นเศษส่วนเท่านั้น

ความเป็นจริง

จำนวนตรรกยะประกอบด้วยเศษส่วน แต่ก็รวมถึงจำนวนเต็มด้วย เพราะจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะเมื่อเขียนในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง

ตำนาน

จำนวนตรรกยะจะให้ทศนิยมไม่รู้จบเสมอ

ความเป็นจริง

ตัวเลขตรรกยะบางจำนวนให้ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ แต่บางจำนวนให้ทศนิยมที่สิ้นสุดหลังจากจำนวนหลักที่จำกัด ขึ้นอยู่กับตัวส่วน

ตำนาน

จำนวนเต็มสามารถเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ได้

ความเป็นจริง

จำนวนเต็มไม่สามารถมีเศษส่วนหรือทศนิยมได้ เฉพาะค่าที่เป็นจำนวนเต็มโดยไม่มีส่วนที่เป็นเศษส่วนเท่านั้นที่ถือเป็นจำนวนเต็ม

คำถามที่พบบ่อย

จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

ใช่ ทุกจำนวนเต็มสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่งได้ จึงถือว่าเป็นจำนวนตรรกยะตามนิยาม ตัวอย่างเช่น 5 สามารถเขียนเป็น 5/1 ซึ่งทำให้เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะสามารถเป็นจำนวนเต็มได้หรือไม่

จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเต็มเมื่อรูปเศษส่วนของมันมีตัวส่วนเป็นหนึ่ง จำนวนตรรกยะอื่น ๆ มีตัวส่วนที่ไม่ใช่หนึ่งและไม่ใช่จำนวนเต็ม

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มคืออะไร

ตัวเลขเช่น 3/4 หรือ 0.5 เป็นจำนวนตรรกยะเพราะสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ แต่ตัวอย่างทั้งสองไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเต็ม

จำนวนตรรกยะรวมถึงทศนิยมหรือไม่

ใช่ ตัวเลขตรรกยะรวมถึงทศนิยมที่หยุดหลังจุดทศนิยมหรือซ้ำรูปแบบอย่างไม่สิ้นสุด เพราะสิ่งเหล่านี้เกิดจากการหารจำนวนเต็มหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง

จำนวนตรรกยะสามารถเป็นลบได้หรือไม่

ใช่ ตัวเลขตรรกยะรวมถึงค่าลบ เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ตราบใดที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มที่มีตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ได้

สัญลักษณ์ใดที่แทนจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็มมักแสดงด้วย ℤ ในขณะที่จำนวนตรรกยะแสดงด้วย ℚ ซึ่งสะท้อนถึงสัญกรณ์ในคณิตศาสตร์

0 เป็นจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะหรือไม่?

ใช่ ศูนย์เป็นจำนวนเต็มและยังจัดเป็นจำนวนตรรกยะได้ด้วย เพราะสามารถแสดงได้ในรูป 0/1

ตัวเลขอตรรกยะเป็นตัวเลขตรรกยะหรือไม่

เลขอตรรกยะไม่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ จึงไม่ใช่เลขตรรกยะและอยู่นอกเซตของเลขตรรกยะ

คำตัดสิน

เลือกใช้คำว่า 'integer' เมื่อคุณหมายถึงจำนวนเต็มที่ไม่มีเศษส่วน ใช้คำว่า 'rational' เมื่อคุณต้องการอธิบายจำนวนที่สามารถมีเศษส่วนหรือทศนิยมที่กำหนดโดยอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

การเปรียบเทียบที่เกี่ยวข้อง

การแปลงลาปลาสเทียบกับการแปลงฟูริเยร์

ทั้งการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์จากโดเมนเวลาที่ซับซ้อนไปสู่โดเมนความถี่เชิงพีชคณิตที่ง่ายกว่า ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณสภาวะคงที่และรูปแบบคลื่น การแปลงลาปลาสเป็นการขยายความที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ซึ่งสามารถจัดการกับพฤติกรรมชั่วคราวและระบบที่ไม่เสถียรได้โดยการเพิ่มปัจจัยการลดทอนในการคำนวณ

การแยกตัวประกอบเฉพาะเทียบกับแผนผังตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบเฉพาะคือเป้าหมายทางคณิตศาสตร์ในการแยกจำนวนประกอบออกเป็นหน่วยพื้นฐานที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในขณะที่แผนผังตัวประกอบเป็นเครื่องมือแสดงภาพแบบแตกแขนงที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นั้น โดยที่อย่างหนึ่งคือผลลัพธ์เชิงตัวเลขสุดท้าย อีกอย่างหนึ่งคือแผนที่ขั้นตอนทีละขั้นที่ใช้ในการค้นหาผลลัพธ์นั้น

การเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดเรียง

ในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' และ 'การจัดเรียง' มักถูกใช้แทนกันได้เพื่ออธิบายลำดับเฉพาะของชุดสิ่งของ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ในขณะที่การจัดเรียงเป็นผลลัพธ์ทางกายภาพหรือเชิงแนวคิดของกระบวนการนั้น ซึ่งแตกต่างจากการรวมกันแบบง่ายๆ ที่ลำดับไม่สำคัญ

การเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่

แม้ว่าทั้งสองแนวคิดจะเกี่ยวข้องกับการเลือกรายการจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า แต่ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ว่าลำดับของรายการเหล่านั้นมีความสำคัญหรือไม่ การเรียงสับเปลี่ยนมุ่งเน้นไปที่การจัดเรียงเฉพาะที่ตำแหน่งเป็นกุญแจสำคัญ ในขณะที่การจัดหมู่พิจารณาเฉพาะรายการที่ถูกเลือก ทำให้การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

การเรียงสับเปลี่ยนเทียบกับความน่าจะเป็น

การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคการนับที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ชุดสิ่งของสามารถเรียงลำดับได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในขณะที่ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนที่เปรียบเทียบการเรียงลำดับเฉพาะเหล่านั้นกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อกำหนดโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น